Две хорды окружности \(AC\) и \(BD\) взаимно перпендикулярны.
а) Найдите отрезок, соединяющий середины хорд \(AC\) и \(BD\), если отрезок, соединяющий точку их пересечения с центром окружности, равен \(3\).
б) При условиях пункта а) найдите \(AD\), если \(AD>BC\), \(AC=BD\) и отрезок, соединяющий середины хорд \(AB\) и \(CD\), равен \(5\).
а) Пусть \(O\) – центр окружности, \(Q\) – точка пересечения хорд \(AC\) и \(BD\). Пусть также \(M\) и \(N\) – середины этих хорд. Тогда \(OM\) и \(ON\) – перпендикуляры к этим хордам.
Действительно, \(\triangle AOC\) – равнобедренный (\(OA=OC\) – радиусы), поэтому медиана \(OM\) в нем является и высотой. Аналогично доказывается, что \(ON\perp BD\).
Таким образом, в четырехугольнике \(OMQN\) три угла – прямые (\(\angle M=\angle Q=\angle N=90^\circ\)), следовательно, этот четырехугольник по признаку является прямоугольником. Т.к. в прямоугольнике диагонали равны, то \(MN=OQ=3\).
б) Докажем, что \(ABCD\) – равнобедренная трапеция.
Т.к. \(AC=BD\), то \(\angle ADC=\angle BAD=\alpha\) как вписанные углы, опирающиеся на равные хорды. \(\angle BAC=\angle BDC=\beta\) как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду \(BC\). Таким образом, \(\angle CAD=\angle BDA=\alpha-\beta\). Следовательно, равны и хорды \(AB\) и \(CD\).
Также можно сказать, что \(\angle CAD=\angle BCA\) как вписанные углы, опирающиеся на равные хорды. Следовательно, это накрест лежащие углы при \(AD\) и \(BC\) и \(AC\) – секущей. Значит, по признаку прямые \(AD\parallel BC\). Таким образом, \(ABCD\) – трапеция. А т.к. \(AB=CD\), то она равнобедренная.
Пусть \(E\) и \(T\) – середины хорд \(AB\) и \(CD\) соответственно, то есть \(ET=5\). Тогда \(ET\) – средняя линия трапеции, следовательно, \(ET\parallel AD\parallel BC\). Тогда по теореме Фалеса прямая \(ET\) пересечет отрезки \(AC\) и \(BD\) также в серединах, следовательно, \(MN\subset ET\).
Обозначим \(AD=x, BC=y\). Тогда \(ET=\frac12\left(x+y\right)\). \(EM\) – средняя линия в \(\triangle BAC\), следовательно, \(EM=\frac12y\). Аналогично \(NT=\frac12y\) как средняя линия в \(\triangle BDC\). Тогда \(MN=ET-EM-NT=\frac12\left(x-y\right)\). Таким образом, имеем систему из двух уравнений:
\[\begin{cases} \frac12\left(x+y\right)=5\\ \frac12\left(x-y\right)=3 \end{cases}\]
Откуда находим, что \(x=AD=8\).
Ответ:
а) 3
б) 8