Дан параллелограмм \(ABCD\). Из вершины острого угла \(A\) проведены две прямые, делящие угол на три равные части, причем одна пересекает сторону \(BC\) в точке \(N\), а другая – сторону \(CD\) в точке \(L\), причем \(CN=CL=2\). Известно также, что \(AB=5\). Найдите \(AN+AL\).
Пусть \(Y\) – точка пересечения прямых \(AN\) и \(CD\), а \(T\) – прямых \(AL\) и \(BC\). Пусть \(\frac13\angle A=\alpha\).
\(\angle CTL=\angle DAL=\alpha\) как накрест лежащие при \(AD\parallel
BC\) и секущей \(AT\). Также \(\angle CYN=\angle BAN=\alpha\) как накрест лежащие при \(AB\parallel CD\) и секущей \(AY\). Заметим, что \(\angle
NCY=\angle LCT\) как вертикальные. Следовательно, в \(\triangle NCY\) и \(\triangle LCT\) равны два угла, следовательно, равны и третьи углы. Также у них \(NC=LC\), следовательно, по признаку “сторона и два прилежащих угла” эти треугольники равны. Значит, \(CY=CT\) и \(NY=LT\).
Тогда \(\triangle ANT=\triangle ALY\), так как \(NT=LY\) и прилежащие углы равны (\(\angle NTA=\angle LYA=\alpha\) по доказанному, \(\angle ANT=\angle ALY=180^\circ-2\alpha\)). Отсюда \(AL=AN=NT=LY\).
Тогда \(\triangle ABN=\triangle ADL\) по этому же признаку (\(\angle
BAN=\angle DAL=\alpha\), \(\angle ABN=\angle ADL\) как противоположные углы параллелограмма \(\Rightarrow\) \(\angle ANB=\angle ALD\)). Значит, \(AD=AB=5\). Следовательно, \(ABCD\) – ромб. Отсюда \(BN=5-2=3\).
Заметим, что \(\triangle ABN\sim \triangle YCN\) по двум углам, следовательно, \[\dfrac{AB}{CY}=\dfrac{BN}{CN} \quad\Rightarrow\quad
\dfrac5{CY}=\dfrac32 \quad\Rightarrow\quad CY=\dfrac{10}3.\] Тогда по доказанному выше \(AN=AL=LY=2+\frac{10}3=\frac{16}3.\) Тогда \[AN+AL=\dfrac{32}3.\]
Ответ:
\(\dfrac{32}3\)