Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия (планиметрия и стереометрия). Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями.
Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить, выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена.
После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.
Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся виды рациональных уравнений.
\(\color{red}{I.}\) Уравнения вида \(x+\dfrac1x=a\), где \(a\) – число.
Способ решения данных уравнений — это перенос всех слагаемых в одну сторону и приведение к общему знаменателю:
\[x+\dfrac 1x-a=0 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{x^2-ax+1}x=0 \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x^2-ax+1=0\\ x\ne 0 \end{cases}\]
Заметим, что первое уравнение системы никогда не будет иметь решением \(x=0\) (т.к. тогда мы имеем \(1=0\), что неверно), значит, в уравнениях такого вида автоматически выполняется условие \(x\ne 0\).
Утверждение
Выражение \(x+\dfrac 1x\) при всех \(x>0\) больше или равно \(2\), а при всех \(x<0\) — меньше или равно \(-2\).
Иными словами, при всех \(x\ne 0\)
\[\left|x+\dfrac1x\right|\geqslant 2\]
Доказательство
1) Пусть \(x>0\). Докажем, что \(x+\dfrac 1x\geqslant 2\). Рассмотрим выражение \(x+\dfrac1x-2\):
\[x+\dfrac 1x-2=\dfrac{x^2-2x+1}x=\dfrac{(x-1)^2}x\]
Так как \(x>0\) и любое выражение в квадрате неотрицательно, то есть \((x-1)^2\geqslant 0\), то вся полученная дробь \(\geqslant 0\).
Следовательно, \(\dfrac{(x-1)^2}x\geqslant 0\), откуда \(x+\dfrac
1x\geqslant 2\).
2) Пусть \(x<0\). Докажем, что \(x+\dfrac 1x\leqslant -2\). Поступим аналогичным образом:
\[x+\dfrac 1x+2=\dfrac{x^2+2x+1}x=\dfrac{(x+1)^2}x\]
Так как \(x<0\) и любое выражение в квадрате неотрицательно, то есть \((x+1)^2\geqslant 0\), то вся полученная дробь \(\leqslant 0\).
Следовательно, \(\dfrac{(x+1)^2}x\leqslant 0\), откуда \(x+\dfrac
1x\leqslant -2\).
Замечание
1) \(x+\dfrac1x=2\) тогда и только тогда, когда \(x=1\);
2) \(x+\dfrac 1x=-2\) тогда и только тогда, когда \(x=-1\).
Следствие
Таким образом, уравнение I имеет решения тогда и только тогда, когда \(|a|\geqslant 2\).
Замечание
Уравнения вида \(f(x)+\dfrac 1{f(x)}=a\).
Данные уравнения с помощью замены \(f(x)=t\) сводятся к уравнению I: \(t+\dfrac 1t=a\).
\(\color{red}{II.}\) Уравнения вида \(Ax^4+Bx^3+Cx^2+Bx+A=0, \ A\ne 0\).
Заметим, что в данном уравнении \(x=0\) никогда не является решением, т.к. иначе мы получим \(A=0\), что исключено условием.
Значит, мы имеем право разделить левую и правую части уравнения на \(x^2\ne 0\):
\[\begin{aligned} Ax^4+Bx^3+Cx^2+Bx+A=0 \quad \Leftrightarrow \quad Ax^2+Bx+C+\dfrac Bx+\dfrac A{x^2}=0 \quad \Leftrightarrow \\[2ex] &\Leftrightarrow A\left(x^2+\dfrac 1{x^2}\right)+B\left(x+\dfrac 1x\right) +C=0 \end{aligned}\]
Заметим, что \(\left(x+\dfrac 1x\right)^2=x^2+2\cdot x\cdot \dfrac
1x+\dfrac 1{x^2}=x^2+\dfrac 1{x^2}+2\), следовательно \(x^2+\dfrac 1{x^2}=\left(x+\dfrac 1x\right)^2-2\).
Сделаем замену \(x+\dfrac 1x=t\), причем \(|t|\geqslant 2\). Тогда уравнение примет вид:
\[A(t^2-2)+Bt+C=0\]
Таким образом, мы получили квадратное уравнение относительно переменной \(t\), решив которое, найдем \(t\) и сделаем обратную замену, после чего найдем \(x\).
Пример
Решить уравнение \(6x^4-13x^3+12x^2-13x+6=0\).
Разделим на \(x^2\) и перегруппируем слагаемые:
\[6\left(x^2+\dfrac 1{x^2}\right) -13\left(x+\dfrac 1x\right)+12=0\]
Пусть \(x+\dfrac 1x=t \quad \Rightarrow \quad x^2+\dfrac 1{x^2}=t^2-2 \quad \Rightarrow \)
\[6(t^2-2)-13t+12=0 \quad \Rightarrow \quad t_1=0, \ t_2=\dfrac{13}6\]
Т.к. \(|t|\geqslant 2\), то корень \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену:
\(x+\dfrac 1x=\dfrac{13}6 \quad \Rightarrow x_1=\dfrac 32, \ x_2=\dfrac 23\).
Замечание
Если уравнение I имеет два различных корня, то они всегда будут взаимно обратными числами. То есть \(\frac 32\) и \(\frac
23\), \(\frac 12\) и \(2\) и т.д.
(напомним, что числа называются взаимно обратными, если их произведение равно \(1\)).
Следующее уравнение также можно отнести к возвратным уравнениям, потому что способ его решения аналогичен предыдущему примеру.
Пример
Решить уравнение \(2x^4-15x^3+40x^2-45x+18=0\).
Заметим, что в данном уравнении \(x=0\) не является корнем. Поэтому разделим правую и левую части уравнения на \(x^2\):
\[2x^2-15x+40-\dfrac {45}x+\dfrac {18}{x^2}=0 \quad \Leftrightarrow \quad 2\left(x^2+\dfrac 9{x^2}\right)-15\left(x+\dfrac 3x\right)+40=0\]
Сделаем замену \(x+\dfrac 3x=t\), тогда \(\left(x+\dfrac 3x\right)^2=x^2+6+\dfrac 9{x^2}\), значит, \(x^2+\dfrac 9{x^2}=t^2-6\).
\[2(t^2-6) -15t+40=0 \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &t=4\\ &t=\dfrac72 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]
Сделаем обратную замену:
\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x+\dfrac3x=4\\[4pt] &x+\dfrac3x=\dfrac72 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x^2-4x+3=0\\ &2x^2-7x+6=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=3\\ &x=1\\&x=2\\ &x=\frac32 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]
Значит, ответ \(x\in \Big\{1;\dfrac32;2;3\Big\}\).
Замечание
Уравнение из предыдущего примера можно отнести к типу уравнений, которые в общем виде записываются так:
\[Ax^4+Bx^3+Cx^2+kBx+k^2A=0\]
Пример
Решить уравнение \(40x^4-78x^3-53x^2+78x+40=0\).
Заметим, что \(x=0\) не является корнем данного уравнения, значит, разделим уравнение на \(x^2\):
\[40x^2-78x-53+\dfrac{78}x+\dfrac{40}{x^2}=0 \quad \Leftrightarrow \quad 40\left(x^2+\dfrac1{x^2}\right)-78\left(x-\dfrac1x\right)-53=0\]
Сделаем замену: \(x-\dfrac 1x=t\); тогда \(\left(x-\dfrac1x\right)^2=x^2-2+\dfrac 1{x^2}\), следовательно, \(x^2+\dfrac1{x^2}=t^2+2\):
\[40(t^2+2)-78t-53=0 \quad \Leftrightarrow \quad 40t^2-78t+27=0 \quad \Rightarrow \quad t_1=\dfrac32, \ t_2=\dfrac9{20}\]
Сделаем обратную замену:
\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x-\dfrac1x=\dfrac32\\[4pt] &x-\dfrac1x=\dfrac9{20} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &2x^2-3x-2=0\\ &20x^2-9x-20=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=2\\[4pt] &x=-\dfrac12\\[4pt] &x=\dfrac54\\[4pt] &x=-\dfrac45 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]
Значит, ответ: \(x\in \Big\{-\dfrac45; -\dfrac12; \dfrac54;
2\Big\}\).
\(\color{red}{III.}\) Уравнения вида \(a\cdot f^2(x)+b\cdot f(x)\cdot g(x)+c\cdot g^2(x)=0\).
1) Проверим, являются ли корни уравнения \(g(x)=0\) решением исходного уравнения. Если да – то запишем их в конечный ответ, а далее будем предполагать, что \(g(x)\ne 0\) ни при каких \(x\).
2) Теперь, когда \(g(x)\ne 0\), разделим правую и левую части уравнения на \(g^2(x)\):
\[a\cdot \dfrac{f^2(x)}{g^2(x)}+b\cdot \dfrac{f(x)g(x)}{g^2(x)}+c\cdot \dfrac{g^2(x)}{g^2(x)}=0 \quad \Leftrightarrow \quad a\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)^2+b\cdot \dfrac{f(x)}{g(x)}+c=0\]
С помощью замены \(\dfrac{f(x)}{g(x)}=t\) данное уравнение сводится к квадратному:
\[at^2+bt+c=0,\]
решив которое, можно найти \(t\), сделать обратную замену и найти \(x\).
3) В дополнение к ответу из второго пункта не забываем записать ответ (если таковой имелся) из первого пункта.
Пример
Решить уравнение \(6(x^2-16)^2+5(x^2-16)(x^2-7x+12)+(x^2-7x+12)^2=0\).
1) Будем делить правую и левую части на \((x^2-7x+12)^2\). Поэтому предварительно проверим, может ли \(x^2-7x+12=0\), то есть являются ли корни этого уравнения корнями исходного уравнения.
\[x^2-7x+12=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_1=4, \ x_2=3\]
Подставим в исходное уравнение \(x_1\): \(6(16-16)^2+5(16-16)\cdot 0+0^2=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\).
Значит, \(x_1=4\) является решением исходного уравнения.
Аналогично проверим \(x_2\): \(6(9-16)^2+5(9-16)\cdot 0+0^2=0 \quad \Leftrightarrow \quad 294=0\).
Значит, \(x_2=3\) не является решением исходного уравнения.
Далее предполагаем, что \(x^2-7x+12\ne 0\).
2) После деления уравнения на \((x^2-7x+12)^2\) получим следующее уравнение:
\[6\cdot \left(\dfrac{x^2-16}{x^2-7x+12}\right)^2+5\cdot \dfrac{x^2-16}{x^2-7x+12}+1=0\]
Сделаем замену: \(\dfrac{x^2-16}{x^2-7x+12}=t\), тогда:
\[6t^2+5t+1=0 \quad \Rightarrow \quad t_1=-\dfrac12, \ t_2=-\dfrac 13\]
Сделаем обратную замену:
\(\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\dfrac{x^2-16}{x^2-7x+12}=-\dfrac12\\[4pt] &\dfrac{x^2-16}{x^2-7x+12}=-\dfrac13 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\dfrac{3x^2-7x-20}{x^2-7x+12}=0\\[4pt] &\dfrac{4x^2-7x-36}{x^2-7x+12}=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \quad \begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &3x^2-7x-20=0\\ &4x^2-7x-36=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ x^2-7x+12\ne 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=4\\[3pt] &x=-\dfrac53\\[3pt] &x=4\\[3pt] &x=-\dfrac94 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ x\ne 4\\ x\ne 3 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=-\dfrac53\\[3pt] &x=-\dfrac94 \end{aligned} \end{gathered} \right. \)
3) Таким образом, ответ: \(x\in \Big\{-\dfrac94; -\dfrac53;
4\Big\}\).
\(\color{red}{IV.}\) Уравнения вида \((x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=f(x)\).
Для данных уравнений нет конкретного способа решения. Как правило, для того, чтобы решить подобное уравнение, нужно разбить четыре скобки в левой части на две пары так, чтобы после перемножения скобок в каждой паре получилась “удобная” замена. Поэтому рассмотрим несколько примеров.
Пример
Решить уравнение \((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24\).
Сгруппируем скобки так:
\[(x+1)(x+4)\cdot (x+2)(x+3)=24 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2+5x+4)\cdot (x^2+5x+6)=24\]
Сделаем замену \(x^2+5x+4=t\). Тогда уравнение примет вид:
\[t\cdot (t+2)=24 \quad \Leftrightarrow \quad t^2+2t-24=0 \quad \Rightarrow t_1=-6, \ t_2=4\]
Сделаем обратную замену:
\[\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x^2+5x+4=-6\\ &x^2+5x+4=4 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x^2+5x+10=0\\ &x^2+5x=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=0\\ &x=-5 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]
Таким образом, \(x\in \{-5;0\}\).
Замечание
Если бы мы просто раскрыли все скобки, то получили бы уравнение четвертой степени, для которого нет универсального способа решения.
Пример
Решить уравнение \((x-1)(x-2)(x-4)(x-8)=4x^2\).
Сгруппируем скобки так:
\[(x-2)(x-4)\cdot (x-1)(x-8)=4x^2 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2-6x+8)\cdot (x^2-9x+8)=4x^2\]
Заметим, что в данном уравнении \(x=0\) не является решением, следовательно, можно разделить правую и левую части уравнения на \(x^2\):
\[\dfrac{x^2-6x+8}x\cdot \dfrac{x^2-9x+8}x=\dfrac{4x^2}{x^2} \quad \Leftrightarrow \quad \left(x-6+\dfrac8x\right)\cdot \left(x-9+\dfrac8x\right)=4\]
Теперь можно сделать замену \(x+\dfrac8x=t\):
\[(t-6)(t-9)=4 \quad \Leftrightarrow \quad t^2-15t+50=0 \quad \Rightarrow t_1=5, \ t_2=10\]
Сделаем обратную замену:
\[\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x+\dfrac8x=5\\[4pt] &x+\dfrac8x=10 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x^2-5x+8=0\\ &x^2-10x+8=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=5-\sqrt{17}\\ &x=5+\sqrt{17} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]
Таким образом, ответ \(x\in\{5-\sqrt{17};5+\sqrt{17}\}\).
\(\color{red}{V.}\) Уравнения вида \((x+a)^n +(x+b)^n=f(x)\).
Как правило, в данных уравнениях \(n\) не превышает \(5\). Поэтому нам понадобятся следующие формулы сокращенного умножения:
\[\begin{aligned} & (x+a)^3=x^3+3x^2a+3xa^2+a^3\\ & (x+a)^4=x^4+4x^3a+6x^2a^2+4xa^3+a^4\\ & (x+a)^5=x^5+5x^4a+10x^3a^2+10x^2a^3+5xa^4+a^5 \end{aligned}\]
В данных задачах необходимо сделать замену \(x+\dfrac{a+b}2=t\). Тогда \(x+a=t+\dfrac{a-b}2, \quad x+b=t-\dfrac{a-b}2\) и уравнение примет вид:
\[\left(t+\dfrac{a-b}2\right)^n+\left(t-\dfrac{a-b}2\right)^n=f(x)\]
После возведения в степень по формулам, приведенным выше, часть слагаемых взаимно уничтожится. Рассмотрим на примере.
Пример
Решить уравнение \((x+3)^4+(x+5)^4=16\).
Сделаем замену \(t=x+\dfrac{3+5}2=x+4\). Тогда \(x+3=t-1, \ x+5=t+1\):
\(\begin{aligned} &(t-1)^4+(t+1)^4=16 \quad \Leftrightarrow \quad (t^4-4t^3+6t^2-4t+1)+ (t^4+4t^3+6t^2+4t+1)=16 \quad \Leftrightarrow \\[1ex] &\Leftrightarrow \quad 2(t^4+6t^2+1)=16 \quad \Leftrightarrow \quad t^4+6t^2-7=0 \end{aligned}\)
Данное уравнение является биквадратным и с помощью замены \(t^2=z, z\geqslant 0\) сводится к квадратному: \[z^2+6z-7=0 \quad \Rightarrow \quad z_1=-7, \ z_2=1\]
Заметим, что корень \(z_1\) не подходит. Вернемся к переменной \(t\):
\[t^2=1 \quad \Rightarrow \quad t_1=1, \ t_2=-1\]
Вернемся к переменной \(x\):
\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x+4=1\\ &x+4=-1 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=-3\\ &x=-5 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]
Таким образом, ответ \(x\in \{-5;-3\}\).
Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.
Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.