Решите неравенство \[\dfrac{\log_2x}{\log_2x-6} \geqslant 10\cdot \log_x2+\dfrac{35}{\log^2_2x-6\cdot \log_2x}\]
(ЕГЭ 2017, основная волна)
Общее ОДЗ всех логарифмов: \(x>0,x\ne 1\). На этом ОДЗ \(\log_x2=\dfrac1{\log_2x}\). Сделаем замену \(\log_2x=t\): \[\dfrac{t}{t-6}\geqslant \dfrac{10}t+\dfrac{35}{t^2-6t}
\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t^2-10t+25}{t(t-6)}\geqslant 0
\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-5)^2}{t(t-6)}\geqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим ответ \[t\in (-\infty;0)\cup\{5\}\cup(6;+\infty)\] Сделаем обратную замену:
\(\bullet\) \(\log_2x<0\quad\Rightarrow\quad 0<x<1\)
\(\bullet\) \(\log_2x=5\quad\Rightarrow\quad x=2^5=32\)
\(\bullet\) \(\log_2x>6\quad\Rightarrow\quad x>2^6=64\).
Пересекая полученный ответ с ОДЗ, имеем: \[x\in (0;1)\cup\{32\}\cup(64;+\infty)\]
Ответ:
\((0;1)\cup\{32\}\cup(64;+\infty)\)