Точка \(x_0\) называется точкой локального максимума функции \(f(x)\), если существует некоторый интервал \(I\), содержащий точку \(x_0\), такой что для любой точки \(a\) из \(I\) верно \(f(x_0) \geq f(a)\).

Точка \(x_0\) называется точкой локального минимума функции \(f(x)\), если существует некоторый интервал \(I\), содержащий точку \(x_0\), такой что для любой точки \(a\) из \(I\) верно \(f(x_0) \leq f(a)\).

Точка \(x_0\) называется точкой локального экстремума функции \(f(x)\), если она является точкой её локального максимума или точкой локального минимума.

Теорема

Если функция имеет экстремум в точке \(x_0\), то её производная в этой точке либо равна \(0\), либо не существует.

Определение

Точка \(x_0\), в которой \(f'(x_0)\) равно нулю или не существует, называется критической точкой функции \(f(x)\).

Таким образом, все точки экстремума функции \(f(x)\) являются и её критическими точками. Обратное, вообще говоря, не верно.

Теорема

Если существует интервал \(I\), содержащий точку \(x_0\), такую что \(f'(x_0) = 0\) и во всех точках \(x\) из \(I\), меньших \(x_0\), производная функции \(f(x)\) положительна, а во всех точках \(x\) из \(I\), больших \(x_0\), производная функции \(f(x)\) отрицательна, то \(x_0\) – точка локального максимума функции \(f(x)\).

Если существует интервал \(I\), содержащий точку \(x_0\), такую что \(f'(x_0) = 0\) и во всех точках \(x\) из \(I\), меньших \(x_0\), производная функции \(f(x)\) отрицательна, а во всех точках \(x\) из \(I\), больших \(x_0\), производная функции \(f(x)\) положительна, то \(x_0\) – точка локального минимума функции \(f(x)\).

Теорема

Дифференцируемая функция принимает наибольшее на отрезке значение в точке локального максимума или на концах этого отрезка.

Дифференцируемая функция принимает наименьшее на отрезке значение в точке локального минимума или на концах этого отрезка.

Производные элементарных функций

\[\begin{aligned} &C' = 0, где C - \text{число}\\ &(x^n)' = n\cdot x^{n - 1}, где n - \text{действительное}, x > 0\\ &(\ln x)' = \dfrac{1}{x}\\ &(a^x)' = a^x\ln a, где a > 0\\ &(\sin x)' = \cos x\\ &(\cos x)' = -\sin x\\ &(\mathrm{tg}\, x)' = \dfrac{1}{\cos^2x}\\ &(\mathrm{ctg}\, x)' = -\dfrac{1}{\sin^2x} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} &(\mathrm{arcsin}\, x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\\ &(\mathrm{arccos}\, x)' = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\\ &(\mathrm{arctg}\, x)' = \dfrac{1}{1 + x^2}\\ &(\mathrm{arcctg}\, x)' = -\dfrac{1}{1 + x^2} \end{aligned}\] Производная суммы функций в точке \(x_0\) равна сумме производных этих функций в точке \(x_0\).
Производная функции \(C\cdot f(x)\), где \(C\) – число, равна \(C\cdot f'(x)\).

Производная произведения

Пусть \(f(x)\) и \(g(x)\) имеют производные в точке \(x_0\), тогда

\[(f\cdot g)'(x_0) = f'(x_0)\cdot g(x_0) + f(x_0)\cdot g'(x_0).\]

Пример

\(f(x) = \sin x\), \(g(x) = e^x\), \(x_0 = 0\), тогда \((f\cdot g)'(x_0) = (\sin x)'|_{x_0}\cdot e^{x_0} + \sin x_0\cdot (e^x)'|_{x_0} = \cos x_0\cdot e^{x_0} + \sin x_0\cdot e^{x_0} = \cos 0\cdot e^{0} + \sin 0\cdot e^{0} = 1\). Здесь выражение \(h(x)|_{x_0}\) обозначает значение функции \(h(x)\) в точке \(x_0\).

Производная частного

Пусть \(f(x)\) и \(g(x)\) имеют производные в точке \(x_0\) и \(g(x_0)\neq 0\), тогда

\[\left(\dfrac{f}{g}\right)'(x_0) = \dfrac{f'(x_0)\cdot g(x_0) - f(x_0)\cdot g(x_0)}{g^2(x_0)}.\]

Пример

\(f(x) = e^x\), \(g(x) = x\), \(x_0 = 1\), тогда \(\left(\dfrac{e^x}{x}\right)'(x_0) = \dfrac{(e^x)'|_{x_0}\cdot x_0 - e^{x_0}\cdot 1|_{x_0}}{{x_0}^2}\), но так как \(1\) – константа, то \(1|_{x_0} = 1\), тогда \(\left(\dfrac{e^x}{x}\right)'(x_0) = \dfrac{e^{x_0}\cdot x_0 - e^{x_0}}{{x_0}^2} = e - e = 0\). Здесь выражение \(h(x)|_{x_0}\) обозначает значение функции \(h(x)\) в точке \(x_0\).

Определение

Сложная функция – функция вида \(f(g(x))\), где \(f(y)\) и \(g(x)\) – функции.

Производная сложной функции

Пусть \(f(y)\) и \(g(x)\) имеют производные в точках \(g(x_0)\) и \(x_0\) соответственно, тогда

\[\big(f(g(x))\big)'|_{x_0} = f'(g(x_0))\cdot g'(x_0).\]

Здесь выражение \(h(x)|_{x_0}\) обозначает значение функции \(h(x)\) в точке \(x_0\): \(h(x)|_{x_0} = h(x_0)\).

Пример

\(f(y) = e^y\), \(g(x) = x^2 + 1\), \(x_0 = 0\), тогда \(f(g(x))'|_{x_0} = (e^{y})'|_{{x_0}^2 + 1}\cdot 2x_0 = e^{{x_0}^2 + 1}\cdot 2x_0 = e\cdot 0 = 0\).