Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

Тренировочные варианты ЕГЭ-2018

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты «Школково». Вариант № 2 от 27.11.2017

Задание 1

Инга хранит свои сбережения в трех разных валютах: \(10\,000\) долларов, \(5\,000\) евро и \(25\,000\) рублей. Оцените богатство Инги в рублях, если продажа \(1\) доллара составляет \(58,60\) рублей, продажа \(1\) евро составляет \(69,84\) рублей.

Из условия следует, что
\(10\,000\) долл. \(= 10\,000\cdot 58,6\) руб. \(=586\,000\) руб.,
\(5\,000\) евро \(=5\,000\cdot 69,84\) руб. \(= 349\,200\) руб.
Следовательно, богатство Инги составляет \(586\,000+349\,200+25\,000=960\,200\) рублей.

 

Ответ:

960200

Задание 2

На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат - крутящий момент в Н\(\cdot\)м. Скорость автомобиля (в км/ч) приближенно выражается формулой \(\nu =0,038n\), где \(n\) - число оборотов двигателя в минуту. С какой наименьшей скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий момент был не меньше \(100\) Н\(\cdot\!\!\!\)м? Ответ дайте в километрах в час.

Из графика видно, что впервые крутящий момент равен \(100\) Н\(\cdot\!\!\!\)м при \(n=2000\). Следовательно, скорость равна \(\nu = 0,038\cdot 2000=76\) км/ч.

 

Ответ:

76

Задание 3

В равностороннем треугольнике \(ABC\) высота \(CH\) равна \(2\sqrt3\). Найдите \(AB\).

Так как \(AC=BC\), то \(CH\) также является медианой. Следовательно, если \(AH=a\), то \(AB=AC=2a\). Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle ACH\): \[AC^2=AH^2+CH^2\quad\Rightarrow\quad 4a^2=a^2+12\quad\Rightarrow\quad a=2\quad\Rightarrow\quad AB=2a=4\]

Ответ:

4

Задание 4

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы \(4\) очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает \(3\) очка, в случае ничьей — \(1\) очко, если проигрывает — \(0\) очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны \(0,3\).

Чтобы команда в двух играх набрала не менее \(4\) очков, ей нужно: либо 1) выиграть обе игры, либо 2) выиграть в одной из игр и сыграть вничью в другой игре.
Так как вероятности выиграть и проиграть одинакова и равна \(0,3\), то вероятность сыграть вничью равна \(1-0,3-0,3=0,4\).
Следовательно, вероятности в этих случаях равны соответственно:
1) \(0,3\cdot 0,3\)
2) \(0,3\cdot 0,4+0,4\cdot 0,3\) (выиграть в первой игре и сыграть вничью во второй или сыграть вничью в первой и выиграть во второй).
Следовательно, вероятность того, что команда выйдет в следующий круг соревнований, равна \[0,3\cdot 0,3+0,3\cdot 0,4+0,4\cdot 0,3=0,33\]

Ответ:

0,33

Задание 5

Найдите корень уравнения \(\log_{0,5}(2x-5)=-2\).

ОДЗ уравнения: \(2x-5>0\).
На ОДЗ уравнение равносильно: \(2x-5=(0,5)^{-2}\quad\Leftrightarrow\quad 2x-5=4\) – подходит по ОДЗ.   Следовательно, \(x=\dfrac92=4,5\).

 

Ответ:

4,5

Задание 6

Сторона правильного треугольника равна \(\sqrt3\). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

По теореме синусов \[\dfrac a{\sin \alpha}=2R\] где \(a\) – сторона треугольника, \(\alpha\) – противолежащий этой стороне угол, \(R\) – радиус описанной окружности. Так как в правильном треугольнике все углы равны по \(60^\circ\), то \[2R=\dfrac {\sqrt3}{\sin60^\circ}=\dfrac{\sqrt3}{\frac{\sqrt3}2}=2 \quad\Rightarrow\quad R=1\]

Ответ:

1

Задание 7

Прямая \(y=7x-5\) параллельна касательной к графику функции \(y=x^2+6x-8\). Найдите абсциссу точки касания.

Пусть \(y_k=kx+b\) – уравнение касательной. Так как \(y=7x-5\) параллельна \(y_k\), то их угловые коэффициенты равны, следовательно, \(k=7\).
Так как угловой коэффициент касательной к графику функции \(f(x)\) равен значению производной функции в точке касания \(x_0\), то есть \(7=k=f'(x_0)\), а \(f'(x)=2x+6\), то \[7=2x_0+6\quad\Leftrightarrow\quad x_0=0,5\]

Ответ:

0,5

Задание 8

В прямоугольном параллелепипеде диагональ грани \(AA_1D_1D\) равна \(5\), а \(AB=2\sqrt6\). Найдите диагональ параллелепипеда.

 

Так как параллелепипед прямоугольный, то все его грани – прямоугольники, а у прямоугольника обе диагонали равны. Следовательно, \(A_1D=AD_1\). Рассмотрим диагональ \(A_1D\) и диагональ параллелепипеда \(B_1D\). Треугольник \(A_1B_1D\) прямоугольный, так как ребро \(A_1B_1\) перпендикулярно грани \(AA_1D_1D\) (по определению прямоугольного параллелепипеда). Следовательно, гипотенуза \[B_1D=\sqrt{A_1B_1^2+A_1D^2}=\sqrt{5^2+(2\sqrt6)^2}=7.\]

Ответ:

7

Задание 9

Найдите \(p(x)+p(6-x)\), если \(p(x)=\dfrac{x(6-x)}{x-3}\) при \(x\ne 3\).

 

\(p(6-x)=\dfrac{(6-x)(6-(6-x))}{(6-x)-3}=\dfrac{(6-x)x}{3-x}\), следовательно, \[p(x)+p(6-x)=\dfrac{x(6-x)}{x-3}+\dfrac{(6-x)x}{3-x}= \dfrac{x(6-x)}{x-3}-\dfrac{x(6-x)}{x-3}=0\]

Ответ:

0

Задание 10

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону , где \(m_0\) - начальная масса изотопа, \(t\) - время, прошедшее от начального момента, \(T\) - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа \(96\) мг. Период его полураспада составляет \(3\) мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна \(3\) мг.

Подставим значения в формулу: \[3=96\cdot 2^{-\frac t3}\quad\Leftrightarrow\quad 2^{-\frac t3}=\dfrac1{32} \quad\Leftrightarrow\quad 2^{-\frac t3}=2^{-5}\quad\Leftrightarrow\quad -\frac t3=-5\quad\Leftrightarrow\quad t=15\]

Ответ:

15

Задание 11

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна \(24\) км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна \(3\) км/ч, стоянка длится \(2\) часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через \(34\) часа после отправления из него. Сколько километров прошёл теплоход за весь рейс?

Пусть \(S\) – расстояние в километрах, которое проходит теплоход, двигаясь в одну сторону. Тогда: \[\dfrac S{24+3}+\dfrac S{24-3}+2=34\quad\Leftrightarrow\quad S=378\] Тогда за весь рейс теплоход прошел \(2S=2\cdot 378=756\) километров.

 

Ответ:

756

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции \(y=(x+10)^2(x+9)+1\) на отрезке \([-12;-9,5]\).

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно схематично изобразить график функции.
Для этого найдем производную: \[y'=\left((x+10)^2\right)'\cdot (x+9)+(x+10)^2\cdot (x+9)'=(x+10)(3x+28)\] Найдем нули производной: \(y'=0\), следовательно, \(x=-10\) или \(x=-\frac{28}3\).
Отметим нули на вещественной прямой и найдем знаки производной:



Следовательно, схематично график функции выглядит следующим образом:



Следовательно, наибольшее значение на отрезке \([-12;-9,5]\) функция принимает в своей точке максимума \(x_{max}=-10\) и оно равно: \[y(-10)=1\]

Ответ:

1

Задание 13

а) Решите уравнение \[\log_{\sqrt2}(\sin x)\cdot \log_{\sqrt2}(-\cos x)+\log_{\sqrt2}(-\sin x\cos x)+1=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{\pi}2;2\pi\right].\)

а) Так как \(\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac\), если выполнено ОДЗ, то на ОДЗ: \(\sin x>0\) и \(\cos x<0\) имеем: \[\log_{\sqrt2}(\sin x)\cdot \log_{\sqrt2}(-\cos x)+\log_{\sqrt2}(\sin x)+\log_{\sqrt2}(-\cos x)+1=0\] Пусть \(\log_{\sqrt2}(\sin x)=b\), \(\log_{\sqrt2}(-\cos x)=c\). Тогда уравнение принимает вид: \[bc+b+c+1=0\quad\Leftrightarrow\quad b(c+1)+c+1=0\quad\Leftrightarrow\quad (c+1)(b+1)=0\] Следовательно, или \(c=-1\), или \(b=-1\). Сделаем обратную замену:

 

1) \(\log_{\sqrt2}(\sin x)=-1\quad\Rightarrow\quad \sin x=\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2\). Решением этого уравнения будут \(x=\dfrac{\pi}4+2\pi n\) (не подходит по ОДЗ, так как углы лежат в первой четверти, а в ней \(\cos x>0\)) и \(x=\dfrac{3\pi}4+2\pi m\) (подходит по ОДЗ), \(n,m\in\mathbb{Z}\).

 

2) \(\log_{\sqrt2}(-\cos x)=-1\quad\Rightarrow\quad \cos x=-\dfrac{\sqrt2}2\). Решением будут \(x= \dfrac{3\pi}4+2\pi k\) (подходит по ОДЗ) и \(x=-\dfrac{3\pi}4+2\pi l\) (не подходит по ОДЗ, так как эти углы лежат в третьей четверти, а в ней \(\sin x<0\)), \(k,l\in\mathbb{Z}\).

 

Заметим, что в 1-ом и 2-ом пункте итоговые серии корней совпадают, то есть ответом будут: \(x=\dfrac{3\pi}4+2\pi n, \ n\in\mathbb{Z}\)

 

б) Отберем корни.   \(-\dfrac{\pi}2\leqslant \dfrac{3\pi}4+2\pi n\leqslant 2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac58\leqslant n\leqslant \dfrac58\quad\Rightarrow\quad n=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{3\pi}4\)

Ответ:

а) \(\dfrac{3\pi}4+2\pi n, \ n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{3\pi}4\)

Задание 14

Основанием прямой треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) является прямоугольный треугольник \(ABC\), причем \(\angle C=90^\circ\). Диагонали боковых граней \(AA_1B_1B\) и \(BB_1C_1C\) равны соответственно \(26\) и \(10\), \(AB=25\).

а) Докажите, что \(\triangle BA_1C_1\) – прямоугольный.

б) Найдите объем пирамиды \(AA_1C_1B\).

а) Так как \(BB_1\perp (A_1B_1C_1)\), \(B_1C_1\perp A_1C_1\), то по теореме о трех перпендикулярах \(BC_1\perp A_1C_1\) (как наклонная). Следовательно, \(\triangle A_1C_1B\) – прямоугольный.

 

б) Заметим, что \(BC\perp AC\) и \(BC\perp CC_1\), следовательно, по признаку \(BC\perp (AA_1C_1)\). Следовательно, \(BC\) – высота пирамиды \(BAA_1C_1\) с основанием \(AA_1C_1\).
Так как \(\triangle AA_1C_1\) прямоугольный, то \[V_{BAA_1C_1}=\dfrac{\frac12\cdot AA_1\cdot A_1C_1\cdot BC}3\] По теореме Пифагора \[\begin{aligned} &A_1C_1=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{16\cdot 36}=24\\[1ex] &AA_1=\sqrt{26^2-25^2}=\sqrt{1\cdot 51}=\sqrt{51}\\[1ex] &BC=\sqrt{10^2-51}=\sqrt{49}=7 \end{aligned}\] Тогда \[V_{BAA_1C_1}=\dfrac{\frac12\cdot 24\cdot \sqrt{51}\cdot 7}3=28\sqrt{51}\]

Ответ:

б) \(28\sqrt{51}\)

Задание 15

Решите неравенство \[\dfrac{9^x-3^x+2}{9^x-3^x}+\dfrac{5\cdot 3^x-19}{3^x-4}\leqslant \dfrac{2\cdot 3^{x+1}-2}{3^x}\]

Так как \(9^x=(3^x)^2\) и \(3^{x+1}=3\cdot 3^x\), то неравенство после замены \(t=3^x\) примет вид рационального неравенства: \[\dfrac{t^2-t+2}{t^2-t}+\dfrac{5t-19}{t-4}\leqslant \dfrac{6t-2}{t} \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t^2-t+2-(6t-2)(t-1)}{t(t-1)}+\dfrac{5t-19}{t-4}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{-t(5t-7)}{t(t-1)}+\dfrac{5t-19}{t-4}\leqslant 0\] Данное неравенство равносильно системе: \[\begin{cases} \dfrac{-(5t-7)}{t-1}+\dfrac{5t-19}{t-4}\leqslant 0\\[2ex] t\ne 0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \dfrac{3t-9}{(t-4)(t-1)}\leqslant 0\\[2ex] t\ne 0\end{cases}\] Решим первое неравенство методом интервалов:



Тогда решением будут \(t\in(-\infty;1)\cup[3;4)\).
Учитывая, что \(t\ne 0\), сделаем обратную замену: \[\begin{cases} 3^x\ne 0\\[1ex] \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &3^x<1\\[2ex] &3\leqslant 3^x<4\end{aligned} \end{gathered}\right. \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x\in \mathbb{R}\\ \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x<0\\[2ex] &1\leqslant x<\log_34\end{aligned} \end{gathered}\right.\end{cases}\] (так как \(3^x>0\) при всех \(x\), как показательная функция, следовательно, \(3^x\ne 0\) при всех \(x\))

Ответ:

\((-\infty;0)\cup[1;\log_34)\)

Задание 16

Окружность проходит через вершины \(B\) и \(C\) треугольника \(ABC\) и пересекает \(AB\) и \(AC\) в точках \(C_1\) и \(B_1\) соответственно.

 

а) Докажите, что треугольник \(ABC\) подобен треугольнику \(AB_1C_1\).

б) Вычислите длину стороны \(BC\) и радиус данной окружности, если \(\angle A=30^\circ\), \(B_1C_1= 5\) и площадь треугольника \(AB_1C_1\) в пять раз меньше площади четырёхугольника \(BCB_1C_1\).

а) Четырехугольник \(BCB_1C_1\) вписанный, следовательно, суммы его противоположных углов равны \(180^\circ\).



То есть \(\angle B+\angle CB_1C_1=180^\circ\). Но \(\angle CB_1C_1+\angle AB_1C_1=180^\circ\), откуда \(\angle B=\angle AB_1C_1\). Следовательно, \(\triangle ABC\sim AB_1C_1\) по двум углам (второй угол \(\angle A\) — общий).

 

б) Пусть \(S_{BCB_1C_1}=5S\), \(S_{AB_1C_1}=S\), следовательно, \(S_{ABC}=6S\). Тогда \(S_{ABC}:S_{AB_1C_1}=6:1=k^2\), откуда \(k=\sqrt6\). Тогда \(BC=B_1C_1\cdot k=5\sqrt6\).
Найдем радиус \(R\) окружности.

 

Способ 1.

 

Так как угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то \(\angle A=\angle BB_1C-\angle B_1BC_1\). Обозначим \(\angle BB_1C=\alpha, \angle B_1BC_1=\beta\). Тогда \(\alpha-\beta=30^\circ\).
Окружность описана около треугольников \(BB_1C\) и \(B_1BC_1\), следовательно, по теореме синусов \[\dfrac{BC}{\sin\alpha}=2R=\dfrac{B_1C_1}{\sin\beta}\quad\Rightarrow\quad \sin\alpha=\sqrt6\sin\beta\]

Отсюда: \[\begin{aligned} &\sin(30^\circ+\beta)=\sqrt6\sin \beta\quad\Rightarrow\quad \sin30^\circ \cdot \cos\beta+\cos30^\circ\cdot \sin \beta=\sqrt6\sin \beta \quad\Rightarrow\\ &\cos\beta=\sqrt3(2\sqrt2-1)\sin\beta\quad\Rightarrow\quad \mathrm{ctg}\,\beta=\sqrt3(2\sqrt2-1) \end{aligned}\] Тогда по формуле \(1+\mathrm{ctg}^2\beta=\dfrac1{\sin^2\beta}\) имеем: \[\sin\beta=\dfrac1{2\sqrt{7-3\sqrt2}}\] Следовательно, \[R=\dfrac{B_1C_1}{2\sin\beta}=5\sqrt{7-3\sqrt2}\]

Способ 2.

 

Проведем \(C_1D\parallel AC\):



Тогда \(\angle BC_1D=\angle A\); также \(\angle BC_1D=\angle BCD\) как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу.
Так как \(C_1D\parallel B_1C\), то \(CD=B_1C_1\), следовательно, в \(\triangle BCD\): \(\angle C=30^\circ\), \(CD=5\), \(BC=5\sqrt6\).
Следовательно, по теореме косинусов: \[BD^2=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cdot \cos30^\circ=25(7-3\sqrt2) \quad\Rightarrow\quad BD=5\sqrt{7-3\sqrt2}\] Тогда по теореме синусов (так как окружность описана около \(\triangle BCD\): \[R=\dfrac{BD}{2\sin \angle BCD}=5\sqrt{7-3\sqrt2}\]

Ответ:

б) \(5\sqrt6\), \(5\sqrt{7-3\sqrt2}\)

Задание 17

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(14\) млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(24,5\) млн. рублей?

Пусть \(n\) – число лет, на которое взят кредит. Так как годовой процент в банке равен \(25\%\), то это значит, что каждый год долг увеличивается на четверть. Из условия следует, что система выплат дифференцированная, следовательно, каждый год долг должен уменьшаться на \(\frac 1n\) часть, то есть на \(\frac{14}n\) млн. рублей. Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления } \% & \text{Выплата}\\ \hline 1 & 14 & 14+\frac14\cdot 14 & \frac{14}n+\frac14\cdot 14\\ \hline 2 & \frac{n-1}n\cdot 14 & \frac{n-1}n\cdot 14+\frac14\cdot \frac{n-1}n\cdot 14 & \frac{14}n + \frac14\cdot \frac{n-1}n\cdot 14\\ \hline ... & ... & ... & ...\\ \hline n & \frac{14}n & \frac{14}n+\frac14\cdot \frac{14}n & \frac{14}n +\frac14\cdot \frac{14}n \\ \hline \end{array}\] Таким образом, общая сумма выплат составляет \[\begin{aligned} &\dfrac{14}n+\dfrac14\cdot 14+\dfrac{14}n + \dfrac14\cdot \dfrac{n-1}n\cdot 14+\dots+\dfrac{14}n +\dfrac14\cdot \frac{14}n=\\[1ex] &=\dfrac14\cdot 14\cdot \left(1+\dfrac{n-1}n+\dots+\dfrac1n\right)+ n\cdot \dfrac{14}n=\\[1ex] &=\dfrac14\cdot 14\cdot \dfrac{1+\frac1n}2\cdot n+14=\dfrac74(n+1)+14 \end{aligned}\] (в скобках мы получили сумму арифметической прогрессии, где первый член равен \(\frac1n\), \(n\)-ый равен \(1\), соответственно, количество членов равно \(n\))

 

Таким образом, так как общая сумма выплат равна по условию \(24,5\) млн. рублей, то получаем: \[\dfrac74(n+1)+14=24,5\quad\Leftrightarrow\quad n=5\]

Ответ:

5

Задание 18

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[|\cos^2x+2\sin x-2a|=\cos^2x+\sin x+2a\]

имеет на промежутке \(\left[-\dfrac{\pi}2;0\right)\) единственный корень.

Так как \(\cos^2x=1-\sin^2x\), то уравнение равносильно \[|1-\sin^2x+2\sin x-2a|=1-\sin^2x+\sin x+2a\] Сделаем замену: \(t=\sin x\). Тогда если нам было нужно, чтобы уравнение имело один корень \(x\) на промежутке \(\left[-\dfrac{\pi}2;0\right)\), то новое уравнение должно иметь один корень \(t\) на промежутке \([-1;0)\). \[|1-t^2+2t-2a|=1-t^2+t+2a\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} 1-t^2+t+2a\geqslant 0\\ \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &1-t^2+2a-2a=1-t^2+t+2a\\ &1-t^2+2t-2a=-(1-t^2+t+2a) \end{aligned}\end{gathered}\right.\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} t^2-t-1-2a\leqslant 0\qquad (*)\\ \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &t_1=4a\\[1ex] &t_2=-\dfrac12\\[1ex] &t_3=2 \end{aligned}\end{gathered}\right.\end{cases}\] Заметим, что корень \(t_3\) не удовлетворяет условию (не лежит в \([-1;0)\). Следовательно, для того, чтобы уравнение имело один корень на \([-1;0)\), нужно, чтобы: 1) подходил корень \(t_2\) и не подходил корень \(t_1\) (или совпадал с \(t_2\)); 2) подходил корень \(t_1\) и не подходил корень \(t_2\).
Рассмотрим эти случаи.

 

1) Чтобы подходил \(t_2\), он должен удовлетворять неравенству \((*)\). Чтобы не подходил \(t_1\), он должен либо не принадлежать \([-1;0)\), либо совпадать с \(t_2\), либо не удовлетворять \((*)\). Таким образом, получаем: \[\begin{cases} \dfrac14+\dfrac12-1-2a\leqslant 0\\[2ex] \left[\begin{gathered}\begin{aligned} & 4a<-1\\ &4a\geqslant 0\\[1ex] &4a=-\dfrac12\\[1ex] &16a^2-4a-1-2a>0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad a\in \left\{-\dfrac18\right\}\cup[0;+\infty)\]

2) Чтобы подходил \(t_1\), он должен принадлежать \([-1;0)\) и удовлетворять \((*)\). Чтобы не подходил \(t_2\), он должен не удовлетворять \((*)\) и не совпадать с \(t_1\): \[\begin{cases} -1\leqslant 4a<0\\ 16a^2-6a-1\leqslant 0\\[1ex] \dfrac14+\dfrac12-1-2a> 0\\[1ex] 4a\ne -\dfrac12\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad a\in \varnothing\]

Ответ:

\(\left\{-\frac18\right\}\cup[0;+\infty)\)

Задание 19

Имеются каменные глыбы: \(50\) штук по \(700\) кг, \(60\) штук по \(1\,000\) кг и \(80\) штук по \(1\,500\) кг (раскалывать глыбы нельзя).

а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на \(65\) грузовиках, грузоподъёмностью \(5\) тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на \(43\) грузовиках, грузоподъёмностью \(5\) тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью \(5\) тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

а) Все глыбы по \(1\) т можно увезти в 12 грузовиках (5 глыб в одном грузовике); все глыбы по \(1,5\) т можно увезти в 27 грузовиках (26 грузовиков по 3 глыбы и 1 с двумя глыбами); все глыбы по \(0,7\) т можно увезти в 8 грузовиках (7 грузовиков по 7 глыб и 1 с одной глыбой). Всего при таком разложении глыб нужно \(12+27+8=47\) грузовиков, а у нас – 65. Следовательно, ответ: да.

 

б) Заметим, что масса всех глыб равна: \(50\cdot 0,7+60\cdot 1+80\cdot 1,5=215\) т и грузоподъемность 43-х грузовиков равна также \(43\cdot 5=215\) т. Следовательно, если и возможно вывезти все глыбы на 43 грузовиках, то каждый грузовик должен быть забит полностью.
Пусть в грузовике глыба массой \(0,7\) т. Тогда, чтобы он был забит полностью, в нем должно быть еще ровно 4 такие глыбы, то есть всего 5 таких глыб, и одна глыба массой \(1,5\) т.
Следовательно, чтобы вывести глыбы по \(0,7\) т, нужно 10 грузовиков, и тогда будет вывезено также еще 10 глыб по \(1,5\) т.
Остается 70 глыб по \(1,5\) т и 60 глыб по \(1\) т и 33 грузовика.
Если в грузовике будет глыба по \(1,5\) т, то таких глыб должно быть всего 2, а также 2 глыбы по \(1\) т (чтобы грузовик был забит полностью). Следовательно, чтобы вывезти все глыбы по \(1\) т, нужно 30 грузовиков. Тогда останется 10 глыб по \(1,5\) т и 3 грузовика. Видим, что мы не можем поместить 10 таких глыб в 3 грузовика.
Ответ: нет.

 

в) В предыдущем пункте мы показали, что увезти все глыбы на 43 грузовиках не получится. На меньшем количестве грузовиков также не получится, так как их суммарная грузоподъемность будет меньше суммарной массы всех глыб.
Следовательно, грузовиков нужно точно \(\geqslant 44\). Докажем, что на 44 грузовиках можно вывезти все глыбы.
Возьмем разложение глыб по грузовикам из пункта б). На последнем шаге у нас осталось 10 глыб по \(1,5\) т и использовано уже 40 грузовиков. Но 10 глыб по \(1,5\) т можно спокойно увезти на 4-х грузовиках. Таким образом, получаем, что всего использовано 44 грузовика. Чтд.

Ответ:

а) да

б) нет

в) 44