Математика
Русский язык

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на нахождение площади и периметра треугольника

\(\blacktriangleright\) Площадь треугольника равна полупроизведению основания \(a\) и высоты \(h\), проведенной к этому основанию.

 

\(\blacktriangleright\) Формула Герона для площади треугольника:

\(\large{S_{\triangle}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\), где \(p\) – полупериметр.

 

\(\blacktriangleright\) Если треугольники имеют равные высоты (\(\triangle\) и \(\triangle_{1}\)), то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.
Как следствие: медиана треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) треугольника.

 

\(\blacktriangleright\) Если треугольники имеют по равному углу (\(\triangle\) и \(\triangle_{2}\)), то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

 

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 90^{\circ}\), \(CM\) – медиана, \(AC = 4\), \(CM = 2,5\). Найдите периметр треугольника \(ABC\).



Добавить задание в избранное

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда \(AB = 2,5 \cdot 2 = 5\). По теореме Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + CB^2\), откуда находим \(CB = 3\). Периметр треугольника \(ABC\) равен \(3 + 4 + 5 = 12\).

Ответ: 12

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Точка \(D\) лежит на стороне \(AC\) треугольника \(ABC\). Периметр треугольника \(ABD\) равен \(10\), периметр треугольника \(BDC\) равен \(7\), \(BD = 3\). Найдите периметр треугольника \(ABC\).



Добавить задание в избранное

Периметр треугольника \(ABC\) равен \(AB + AC + BC\).

Периметр треугольника \(BDC\) равен \(BD + DC + BC = 7\), а \(BD = 3\), тогда \(DC + BC = 4\),

периметр треугольника \(ABD\) равен \(AB + BD + AD = 10\), тогда \(AB + AD = 7\).

\(AB + AC + BC = AB + AD + DC + BC = 4 + 7 = 11\).

Ответ: 11

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(BD\) – высота, \(AD = 1\), \(DC = 3\), \(\angle DBC = 45^{\circ}\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).



Добавить задание в избранное

\(\angle BCD = 90^{\circ} - \angle DBC = 45^{\circ} = \angle DBC\), тогда \(BD = DC = 3\). Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда площадь треугольника \(ABC\) равна \(0,5 \cdot (3 + 1) \cdot 3 = 6\).

Ответ: 6

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(AF\) и \(BD\) – высоты, \(AF = 4\), \(BD = 3\), \(AC = 6\). Найдите \(BC\).



Добавить задание в избранное

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Так как площадь треугольника не зависит от выбора основания, то \(0,5 \cdot AC \cdot BD = 0,5 \cdot BC \cdot AF\), откуда \(9 = 0,5 \cdot BC \cdot 4\), значит, \(BC = 4,5\).

Ответ: 4,5

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Точки \(P\) и \(Q\) – середины сторон \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) соответственно. Найдите периметр треугольника \(ABC\), если периметр треугольника \(APQ\) равен \(21\).

 

(Задача от подписчиков.)

Добавить задание в избранное


 

Т.к. \(PQ\) – средняя линия \(\triangle ABC\), то \(2PQ=BC\). Периметр \(\triangle ABC\): \[P_{ABC}=AB+AC+BC=2AP+2AQ+2PQ=2(AP+AQ+PQ)=2\cdot P_{APQ}=2\cdot 21=42.\]

Ответ: 42

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(BD\) – медиана. Площадь треугольника \(ABD\) равна \(1\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).



Добавить задание в избранное

Так как медиана делит треугольник на два равновеликих (то есть, с равными площадями), то площадь треугольника \(BDC\) равна площади треугольника \(ABD\) и равна \(1\). Тогда площадь треугольника \(ABC\), равная сумме площадей треугольников \(ABD\) и \(BDC\), равна 2.

Покажем подробнее тот факт, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника:

площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда площадь треугольника \(ABD\) равна \(0,5 \cdot AD \cdot h\), где \(h\) – высота, проведённая из \(B\) к стороне \(AC\). Площадь треугольника \(BDC\) равна \(0,5 \cdot CD \cdot h\), но \(CD = AD\), тогда \(0,5 \cdot AD \cdot h = 0,5 \cdot CD \cdot h\) и, значит, площади треугольников \(ABD\) и \(BDC\) равны.

Ответ: 2

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): точка \(D\) лежит на \(AC\), причём \(\dfrac{AD}{DC} = \dfrac{2}{3}\). Площадь треугольника \(ABD\) равна \(7,5\). Найдите площадь треугольника \(BCD\).



Добавить задание в избранное

Построим высоту \(BK\)
Площадь треугольника \(ABD\) может быть найдена по формуле: \(S_{ABD} = 0,5\cdot AD\cdot BK\).
Аналогично \(S_{BCD} = 0,5\cdot CD\cdot BK\), откуда можно сделать вывод:
\(\dfrac{S_{BCD}}{S_{ABD}} = \dfrac{0,5\cdot CD\cdot BK}{0,5\cdot AD\cdot BK} = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{3}{2}\), тогда \(S_{BCD} = \dfrac{3}{2}\cdot S_{ABD} = \dfrac{3}{2}\cdot 7,5 = 11,25\).

Ответ: 11,25

Задачи на нахождение площади и периметра равностороннего и равнобедренного треугольника каждый год включаются в программу ЕГЭ по математике. Понимать принцип их решения должны старшеклассники, которые планируют сдавать базовый и профильный уровень аттестационного испытания. Научившись правильно решать задачи на нахождение периметра треугольника в ЕГЭ, школьники смогут оперативно выполнять задания в несколько действий и рассчитывать на получение достаточно высоких баллов по результатам сдачи единого госэкзамена.

Подготовка к аттестационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха

Зачастую во время занятий накануне сдачи единого государственного экзамена перед учащимися встает проблема поиска подходящего источника. Школьного учебника иногда просто не оказывается под рукой в нужный момент. А подобрать все необходимые формулы, к примеру, для вычисления площади прямоугольного треугольника оказывается вовсе не так легко даже в Интернете.

Чтобы успешно пройти выпускное аттестационное испытание, рекомендуем вам заниматься вместе с образовательным порталом «Школково». Наш ресурс предлагает учащимся и преподавателям выстроить процесс подготовки к единому госэкзамену по-новому. Занимаясь вместе с нами, старшеклассники смогут определить те разделы, которые вызывают у них наибольшие трудности, и улучшить собственные знания.

На сайте «Школково» собран весь базовый материал по теме «Вычисление длин и площадей треугольника», который позволит качественно подготовиться к единому государственному экзамену. Данная информация систематизирована и изложена нашими специалистами с учетом их богатого опыта максимально просто и понятно.

Чтобы задачи ЕГЭ на вычисление площади правильного треугольника по трем сторонам не вызывали особых затруднений, мы предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Множество подобных заданий представлено в разделе «Каталог». В каждом из них старшеклассники смогут увидеть подробный алгоритм решения и правильный ответ. Базу упражнений в соответствующем разделе мы регулярно обновляем и дополняем.

Выполнять задания на нахождение высоты треугольника или его площади учащиеся из МО и других регионов нашей страны могут в онлайн-режиме. В случае необходимости выполненное упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». В дальнейшем задачу, к примеру, на вычисление периметра треугольника можно будет оперативно найти, чтобы обсудить принцип ее решения со школьным преподавателем или репетитором.