3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I
\(\blacktriangleright\) Площадь треугольника равна полупроизведению основания \(a\) и высоты \(h\), проведенной к этому основанию.
\(\blacktriangleright\) Формула Герона для площади треугольника:
\(\large{S_{\triangle}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\), где \(p\) – полупериметр.
\(\blacktriangleright\) Если треугольники имеют равные высоты (\(\triangle\) и \(\triangle_{1}\)), то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.
Как следствие: медиана треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) треугольника.
\(\blacktriangleright\) Если треугольники имеют по равному углу (\(\triangle\) и \(\triangle_{2}\)), то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.
В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 90^{\circ}\), \(CM\) – медиана, \(AC = 4\), \(CM = 2,5\). Найдите периметр треугольника \(ABC\).
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда \(AB = 2,5 \cdot 2 = 5\). По теореме Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + CB^2\), откуда находим \(CB = 3\). Периметр треугольника \(ABC\) равен \(3 + 4 + 5 = 12\).
Ответ: 12
Точка \(D\) лежит на стороне \(AC\) треугольника \(ABC\). Периметр треугольника \(ABD\) равен \(10\), периметр треугольника \(BDC\) равен \(7\), \(BD = 3\). Найдите периметр треугольника \(ABC\).
Периметр треугольника \(ABC\) равен \(AB + AC + BC\).
Периметр треугольника \(BDC\) равен \(BD + DC + BC = 7\), а \(BD = 3\), тогда \(DC + BC = 4\),
периметр треугольника \(ABD\) равен \(AB + BD + AD = 10\), тогда \(AB + AD = 7\).
\(AB + AC + BC = AB + AD + DC + BC = 4 + 7 = 11\).
Ответ: 11
В треугольнике \(ABC\): \(BD\) – высота, \(AD = 1\), \(DC = 3\), \(\angle DBC = 45^{\circ}\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).
\(\angle BCD = 90^{\circ} - \angle DBC = 45^{\circ} = \angle DBC\), тогда \(BD = DC = 3\). Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда площадь треугольника \(ABC\) равна \(0,5 \cdot (3 + 1) \cdot 3 = 6\).
Ответ: 6
В треугольнике \(ABC\): \(AF\) и \(BD\) – высоты, \(AF = 4\), \(BD = 3\), \(AC = 6\). Найдите \(BC\).
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Так как площадь треугольника не зависит от выбора основания, то \(0,5 \cdot AC \cdot BD = 0,5 \cdot BC \cdot AF\), откуда \(9 = 0,5 \cdot BC \cdot 4\), значит, \(BC = 4,5\).
Ответ: 4,5
Точки \(P\) и \(Q\) – середины сторон \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) соответственно. Найдите периметр треугольника \(ABC\), если периметр треугольника \(APQ\) равен \(21\).
(Задача от подписчиков.)
Т.к. \(PQ\) – средняя линия \(\triangle ABC\), то \(2PQ=BC\). Периметр \(\triangle ABC\): \[P_{ABC}=AB+AC+BC=2AP+2AQ+2PQ=2(AP+AQ+PQ)=2\cdot P_{APQ}=2\cdot 21=42.\]
Ответ: 42
В треугольнике \(ABC\): \(BD\) – медиана. Площадь треугольника \(ABD\) равна \(1\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).
Так как медиана делит треугольник на два равновеликих (то есть, с равными площадями), то площадь треугольника \(BDC\) равна площади треугольника \(ABD\) и равна \(1\). Тогда площадь треугольника \(ABC\), равная сумме площадей треугольников \(ABD\) и \(BDC\), равна 2.
Покажем подробнее тот факт, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника:
площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда площадь треугольника \(ABD\) равна \(0,5 \cdot AD \cdot h\), где \(h\) – высота, проведённая из \(B\) к стороне \(AC\). Площадь треугольника \(BDC\) равна \(0,5 \cdot CD \cdot h\), но \(CD = AD\), тогда \(0,5 \cdot AD \cdot h = 0,5 \cdot CD \cdot h\) и, значит, площади треугольников \(ABD\) и \(BDC\) равны.
Ответ: 2
В треугольнике \(ABC\): точка \(D\) лежит на \(AC\), причём \(\dfrac{AD}{DC} = \dfrac{2}{3}\). Площадь треугольника \(ABD\) равна \(7,5\). Найдите площадь треугольника \(BCD\).
Построим высоту \(BK\) 
Площадь треугольника \(ABD\) может быть найдена по формуле: \(S_{ABD} = 0,5\cdot AD\cdot BK\).
Аналогично \(S_{BCD} = 0,5\cdot CD\cdot BK\), откуда можно сделать вывод:
\(\dfrac{S_{BCD}}{S_{ABD}} = \dfrac{0,5\cdot CD\cdot BK}{0,5\cdot AD\cdot BK} = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{3}{2}\), тогда \(S_{BCD} = \dfrac{3}{2}\cdot S_{ABD} = \dfrac{3}{2}\cdot 7,5 = 11,25\).
Ответ: 11,25
Задачи на нахождение площади и периметра равностороннего и равнобедренного треугольника каждый год включаются в программу ЕГЭ по математике. Понимать принцип их решения должны старшеклассники, которые планируют сдавать базовый и профильный уровень аттестационного испытания. Научившись правильно решать задачи на нахождение периметра треугольника в ЕГЭ, школьники смогут оперативно выполнять задания в несколько действий и рассчитывать на получение достаточно высоких баллов по результатам сдачи единого госэкзамена.
Зачастую во время занятий накануне сдачи единого государственного экзамена перед учащимися встает проблема поиска подходящего источника. Школьного учебника иногда просто не оказывается под рукой в нужный момент. А подобрать все необходимые формулы, к примеру, для вычисления площади прямоугольного треугольника оказывается вовсе не так легко даже в Интернете.
Чтобы успешно пройти выпускное аттестационное испытание, рекомендуем вам заниматься вместе с образовательным порталом «Школково». Наш ресурс предлагает учащимся и преподавателям выстроить процесс подготовки к единому госэкзамену по-новому. Занимаясь вместе с нами, старшеклассники смогут определить те разделы, которые вызывают у них наибольшие трудности, и улучшить собственные знания.
На сайте «Школково» собран весь базовый материал по теме «Вычисление длин и площадей треугольника», который позволит качественно подготовиться к единому государственному экзамену. Данная информация систематизирована и изложена нашими специалистами с учетом их богатого опыта максимально просто и понятно.
Чтобы задачи ЕГЭ на вычисление площади правильного треугольника по трем сторонам не вызывали особых затруднений, мы предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Множество подобных заданий представлено в разделе «Каталог». В каждом из них старшеклассники смогут увидеть подробный алгоритм решения и правильный ответ. Базу упражнений в соответствующем разделе мы регулярно обновляем и дополняем.
Выполнять задания на нахождение высоты треугольника или его площади учащиеся из МО и других регионов нашей страны могут в онлайн-режиме. В случае необходимости выполненное упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». В дальнейшем задачу, к примеру, на вычисление периметра треугольника можно будет оперативно найти, чтобы обсудить принцип ее решения со школьным преподавателем или репетитором.
