а) Решите уравнение \[2^{2x+1}-3\cdot 2^{x+2}+14=0\]
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([1;3].\)
а) Так как \(2^{2x+1}=2^{2x}\cdot 2^1=(2^x)^2\cdot 2\), \(2^{x+2}=2^x\cdot 2^2\), то при помощи замены \(2^x=t\), \(t>0\), уравнение сведется к виду: \[2t^2-12t+14=0\quad\Leftrightarrow\quad t^2-6t+7=0\quad\Leftrightarrow\quad t_1=3-\sqrt2, \quad t_2=3+\sqrt2\] Оба корня положительные, следовательно, подходят под условие \(t>0\). Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2^x=3-\sqrt2\\[1ex] &2^x=3+\sqrt2\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\log_2(3-\sqrt2)\\[1ex] &x=\log_2(3+\sqrt2)\end{aligned}\end{gathered}\right.\]
б) Отберем корни. Если \(x\in [1;3]\), то \(t\in [2;8]\).
Так как \(\sqrt2\sim 1,4\), то \(t_1\in (1;2)\), \(t_2\in (4;5)\). Следовательно, только \(t_2\) входит в отрезок \([2;8]\). Значит, только корень \(x=\log_2(3+\sqrt2)\) входит в отрезок \([1;3]\).
Ответ:
а) \(\log_2(3\pm \sqrt2)\)
б) \(\log_2(3+\sqrt2)\)