Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сведение показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений к квадратному или кубическому виду

\(\blacktriangleright\) Если показательное (I) или логарифмическое (II) уравнение можно свести к виду (\(A\ne 0\)): \[\textbf{I.} \quad {\large{A\cdot a^{2f(x)}+B\cdot a^{f(x)}+C=0}}\] \[\textbf{II.} \quad {\large{A\cdot \log^2_a{f(x)}+B\cdot \log_a{f(x)}+C=0}}\] то с помощью замены \(a^{f(x)}=t,\quad t>0\) или \(\log_a{f(x)}=t\) соответственно эти уравнения сводятся к квадратному: \[At^2+Bt+C=0\]

\(\blacktriangleright\) Если показательное (I’) или логарифмическое (II’) уравнение можно свести к виду (\(A\ne 0\)): \[\textbf{I'.} \quad {\large{A\cdot a^{3f(x)}+B\cdot a^{2f(x)}+C\cdot a^{f(x)}+D=0}}\] \[\textbf{II'.} \quad {\large{A\cdot \log^3_a{f(x)}+B\cdot \log^2_a{f(x)}+C\cdot \log_a{f(x)}+D=0}}\] то с помощью замены \(a^{f(x)}=t,\quad t>0\) или \(\log_a{f(x)}=t\) соответственно эти уравнения сводятся к кубическому: \[At^3+Bt^2+Ct+D=0\]

\(\blacktriangleright\) На ОДЗ верны следующие формулы:

\[\large{\begin{array}{|ll|} \hline a^0=1 &a^1=a\\ a^{nm}=(a^n)^m &a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\ \dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}&a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\\ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n &\\ a^{\frac{k}{r}}=\sqrt[r]{a^k} \qquad \qquad \qquad \qquad& \dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n\\&\\ a,b>0, \ \ a,b\ne 1, \ k\in \mathbb{Z},& r\in\mathbb{N}, \ m,n\in\mathbb{R}\\ \hline \end{array}}\]

 

\[\large{\begin{array}{|lcl|} \hline \log_a1=0& \qquad & \log_aa=1\\ &&\\ \log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_{|a|}{|b|}&& a^{\log_bc}=c^{\log_ba}\\ &&\\ \log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|}&& \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}\\ &&\\ \log_ab\cdot \log_bc=\log_ac & \Longleftrightarrow & \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}\\ &&\\ \log_ab\cdot \log_ba=1 & \Longleftrightarrow & \log_ab=\dfrac1{\log_ba}\\ &&\\ \hline \end{array}}\]

Задание 1 #3907
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[2^{2x+1}-3\cdot 2^{x+2}+14=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([1;3].\)

а) Так как \(2^{2x+1}=2^{2x}\cdot 2^1=(2^x)^2\cdot 2\), \(2^{x+2}=2^x\cdot 2^2\), то при помощи замены \(2^x=t\), \(t>0\), уравнение сведется к виду: \[2t^2-12t+14=0\quad\Leftrightarrow\quad t^2-6t+7=0\quad\Leftrightarrow\quad t_1=3-\sqrt2, \quad t_2=3+\sqrt2\] Оба корня положительные, следовательно, подходят под условие \(t>0\). Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2^x=3-\sqrt2\\[1ex] &2^x=3+\sqrt2\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\log_2(3-\sqrt2)\\[1ex] &x=\log_2(3+\sqrt2)\end{aligned}\end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни. Если \(x\in [1;3]\), то \(t\in [2;8]\).
Так как \(\sqrt2\sim 1,4\), то \(t_1\in (1;2)\), \(t_2\in (4;5)\). Следовательно, только \(t_2\) входит в отрезок \([2;8]\). Значит, только корень \(x=\log_2(3+\sqrt2)\) входит в отрезок \([1;3]\).

Ответ:

а) \(\log_2(3\pm \sqrt2)\)

 

б) \(\log_2(3+\sqrt2)\)

Задание 2 #3803
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[16^{\sin x}+16^{\sin (x+\pi)}=\dfrac{17}4\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[\dfrac{3\pi}2; 3\pi \right].\)

а) Так как по формуле приведения \(\sin (\pi +x)=-\sin x\), то заменой \(16^{\sin x}=t\) уравнение сводится к виду: \[t+\dfrac1t=\dfrac{17}4\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{4t^2-17t+4}{4t}=0\] Так как \(t>0\) как показательная функция, то \(4t^2-17t+4=0\), откуда \(t_1=4\) и \(t_2=\dfrac14\). Делаем обратную замену:

 

1) \(16^{\sin x}=4\quad\Leftrightarrow\quad 4^{2\sin x}=4\quad\Leftrightarrow\quad 2\sin x=1\quad\Leftrightarrow\quad \sin x=\dfrac12\).
Корнями такого уравнения будут \(x=\dfrac{\pi}6+2\pi n\) и \(x=\dfrac{5\pi}6+2\pi m\), \(m,n\in\mathbb{Z}\).

 

2) \(16^{\sin x}=4^{-1}\quad\Leftrightarrow\quad 2\sin x=-1\quad\Leftrightarrow\quad \sin x=-\dfrac12\).
Корнями такого уравнения будут \(x=-\dfrac{\pi}6+2\pi k\) и \(x=-\dfrac{5\pi}6+2\pi l\), \(k,l \in\mathbb{Z}\).

 

б) Отберем корни.   1) \(\dfrac{3\pi}2\leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi m\leqslant 3\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac13\leqslant m\leqslant \dfrac{13}{12}\quad\Rightarrow\quad m=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{17\pi}6\)   2) \(\dfrac{3\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}6+2\pi n\leqslant 3\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac23\leqslant n\leqslant \dfrac{17}{12}\quad\Rightarrow\quad n=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{13\pi}6\)   3) \(\dfrac{3\pi}2\leqslant -\dfrac{5\pi}6+2\pi l\leqslant 3\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac76\leqslant l\leqslant \dfrac{23}{12}\quad\Rightarrow\quad l\in\varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in \varnothing\)   4) \(\dfrac{3\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}6+2\pi k\leqslant 3\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac56\leqslant k\leqslant \dfrac{19}{12}\quad\Rightarrow\quad k=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{11\pi}6\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}6+2\pi n\), \(\dfrac{5\pi}6+2\pi m\), \(-\dfrac{5\pi}6+2\pi l\), \(-\dfrac{\pi}6+2\pi k\); \(m,n, k,l \in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{11\pi}6; \ \dfrac{13\pi}6;\ \dfrac{17\pi}6\)

Задание 3 #3802
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[2\log^2_4(4\sin x)-5\log_4(4\sin x)+2=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{3\pi}2; 0\right].\)

а) Сделаем замену \(\log_4(4\sin x)=t\), тогда уравнение примет вид: \[2t^2-5t+2=0\quad\Rightarrow\quad t_1=2; \quad t_2=\dfrac12\] Сделаем обратную замену:

 

1) \(\log_4(4\sin x)=2\quad\Rightarrow\quad 4\sin x=4^2\) – удовлетворяет ОДЗ логарифма \(4\sin x>0\).
Полученное уравнение равносильно \(\sin x=4\), что в свою очередь не имеет решений.

 

2) \(\log_4(4\sin x)=\frac12\quad\Rightarrow\quad 4\sin x=4^{\frac12}\) – также удовлетворяет ОДЗ.
Полученное уравнение равносильно \(\sin x=\frac12\), решением которого будут \(x=\dfrac{\pi}6+2\pi n\) и \(x=\dfrac{5\pi}6+2\pi m\), \(n,m\in\mathbb{Z}\).

 

б) Отберем корни.   1) \(-\dfrac{3\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}6+2\pi n\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac56\leqslant n\leqslant -\dfrac1{12}\quad\Rightarrow\quad n\in\varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in \varnothing\)   2) \(-\dfrac{3\pi}2\leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi m\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac76\leqslant m\leqslant -\dfrac5{12}\quad\Rightarrow\quad m=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{7\pi}6\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}6+2\pi n, \ \dfrac{5\pi}6+2\pi m\), \(n,m\in\mathbb{Z}\)

б) \(-\dfrac{7\pi}6\)

Задание 4 #3801
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[8\cdot 16^{\sin^2 x}-2\cdot 4^{\cos2x}=63\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[\dfrac{7\pi}2; 5\pi\right].\)

а) Заметим, что \(\cos2x=1-2\sin^2x\), следовательно, \(4^{1-2\sin^2x}=4^1:4^{2\sin^2x}=4:16^{\sin^2x}\). Сделаем замену \(16^{\sin^2x}=t\), тогда уравнение примет вид: \[8t-2\cdot 4\cdot \dfrac1t-63=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{8t^2-63t-8}t=0\] Так как \(t>0\), то данное уравнение равносильно \[8t^2-63t-8=0\] \(D=63^2+4\cdot 8\cdot 8=3969+256=4225=65^2\). Следовательно, \(t_1=-\dfrac18\) и \(t_2=8\). Сделаем обратную замену, учитывая, что корень \(t_1\) нам не подходит, так как он отрицателен: \[16^{\sin^2x}=8\quad\Leftrightarrow\quad 2^{4\cdot \sin^2x}=2^3 \quad\Leftrightarrow\quad4\sin^2x=3\quad\Leftrightarrow\quad \sin x=\pm\dfrac{\sqrt3}2\] Решениями данных двух уравнений будут: \(x=\pm \dfrac{\pi}3+2\pi m\) и \(x=\pm \dfrac{2\pi}3+2\pi n\), \(m,n\in\mathbb{Z}\).

 

б) Отберем корни.   1) \(\dfrac{7\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}3+2\pi m\leqslant 5\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{19}{12}\leqslant m\leqslant \dfrac73\quad\Rightarrow\quad m=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{13\pi}3\)   2) \(\dfrac{7\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}3+2\pi m\leqslant 5\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{23}{12}\leqslant m\leqslant \dfrac83\quad\Rightarrow\quad m=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{11\pi}3\)   3) \(\dfrac{7\pi}2\leqslant \dfrac{2\pi}3+2\pi n\leqslant 5\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{17}{12}\leqslant n\leqslant \dfrac{13}6\quad\Rightarrow\quad n=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{14\pi}3\)   4) \(\dfrac{7\pi}2\leqslant -\dfrac{2\pi}3+2\pi n\leqslant 5\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{25}{12}\leqslant n\leqslant \dfrac{17}6\quad\Rightarrow\quad n\in\varnothing\quad\Rightarrow\quad x=\in\varnothing\)

Ответ:

а) \(\pm \dfrac{\pi}3+2\pi m, \ \pm \dfrac{2\pi}3+2\pi n\), \(m,n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{11\pi}3; \ \dfrac{13\pi}3; \ \dfrac{14\pi}3\)

Задание 5 #3800
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[27^x-4\cdot 3^{x+2}+3^{5-x}=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[\log_74; \log_7 16\right].\)

а) Так как \(27^x=(3^x)^3\), \(3^{x+2}=3^x\cdot 3^2\), \(3^{5-x}=3^5:3^x\), то после замены \(3^x=t, t>0\), уравнение примет вид: \[t^3-4\cdot 9\cdot t+\dfrac{3^5}t=0 \Big| \cdot t>0 \quad\Leftrightarrow\quad t^4-36t^2+3^5=0\] Данное уравнение является биквадратным и решается как квадратное относительно \(t^2\).
\(D=36^2-4\cdot 3^5=3^4\cdot 4(4-3)=3^4\cdot4\), следовательно, \(\sqrt D=3^2\cdot 2=18\).   Следовательно, \(t^2=27\) и \(t^2=9\).

 

Тогда, учитывая, что \(t>0\), получаем решения: \(t=3\sqrt3\) и \(t=3\).   Сделаем обратную замену: \(x=\log_3 3\sqrt3=\log_3 \left(3^{\frac32}\right)=\dfrac32\) и \(x=\log_33=1\).

 

б) Отберем корни.
Так как \(y=\log_7x\) – возрастающая функция, то чем больше \(x\), тем больше \(y\). Следовательно:
\(\log_74<\log_77=1<\log_7 16\). Значит, \(x=1\) лежит в отрезке \(\left[\log_74; \log_7 16\right].\)   \(\frac32=\log_7 7\sqrt7\).
Сравним \(7\sqrt7\) и \(4\) и \(16\): \(4<7\sqrt7\);
\(7\sqrt7 \ \lor \ 16\), \(\quad (7\sqrt7)^2 \ \lor \ 16^2\), \(\quad 343 \ \lor \ 256\). Таким образом, так как \(343>256\), то \(7\sqrt7>16\), следовательно, \(\log_7 (7\sqrt7)>\log_7 16\), следовательно, \(\frac32\) не входит в отрезок \(\left[\log_74; \log_7 16\right].\)

Ответ:

а) \(1; \ \dfrac32\)

б) \(1\)

Задание 6 #3799
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[9^{x+1}-2\cdot 3^{x+2}+5=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left(\log_3\dfrac32; \sqrt5\right).\)

а) Так как \(a^{x+y}=a^x\cdot a^y\), то уравнение можно переписать в виде: \[9\cdot 9^x-2\cdot 3^2\cdot 3^x+5=0\] Так как \(9^x=(3^x)^2\), то заменой \(3^x=t\), \(t>0\), данное уравнение сводится к квадратному: \[9t^2-18t+5=0\] Корнями этого уравнения будут \(t_1=\dfrac 53\) и \(t_2=\dfrac13\). Следовательно:

 

1) \(3^x=\dfrac13\quad\Leftrightarrow\quad x=-1\)  

2) \(3^x=\dfrac53\quad\Leftrightarrow\quad x=\log_3\dfrac53\).

 

б) Отберем корни.
Так как \(\log_3\frac32>\log_31=0\), то \(\log_3\frac32>-1\), следовательно, \(x=-1\) не входит в промежуток.
Заметим, что \(\log_3\frac32<\log_3\frac53\), так как \(\frac32<\frac53\) и основание логарифма \(3>1\).
Следовательно, осталось сравнить \(\log_3\frac53\) и \(\sqrt5\).
Очевидно, что, если \(a<b\), то \(3^a<3^b\).
Воспользуемся этим свойством: \[\begin{aligned} \log_3\frac53 \ &\lor \ \sqrt5\\ 3^{\log_3\frac53} \ &\lor \ 3^{\sqrt5}\\ \dfrac53 \ &\lor \ 3^{\sqrt5}\\ 5 \ &\lor \ 3\cdot 3^{\sqrt5}=3^{1+\sqrt5} \end{aligned}\] Так как \(1+\sqrt5>2\), то \(3^{1+\sqrt5}>3^2=9\), следовательно, между данными числами должен стоять знак \(<\).
Таким образом, число \(\log_3\frac53\) больше левого конца промежутка и меньше правого, следовательно, лежит в данном промежутке.

Ответ:

а) \(-1; \ \log_3\dfrac53\)

б) \(\log_3\frac53\)

Задание 7 #3798
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[16^{x+0,25} -41\cdot 4^{x-1}+9=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \((0;1)\).

а) Перепишем левую часть уравнения в виде: \[16^x\cdot 16^{0,25}-41\cdot 4^x\cdot 4^{-1}+9=4^{2x}\cdot 2^{4\cdot 0,25}-41 \cdot 4^x\cdot \dfrac14+9=2\cdot 4^{2x}-\dfrac{41}4\cdot 4^x+9\] Тогда уравнение после замены \(4^x=t\) примет вид квадратного уравнения: \[2t^2-\dfrac{41}4t+9=0\quad\Leftrightarrow\quad 8t^2-41t+36=0\] \(D=41^2-4\cdot 8\cdot 36=1681-1152=529=23^2\)
Следовательно, \(t_1=4\), \(t_2=\frac98\).
Так как показательная функция всегда положительна, то \(t>0\), значит, оба корня нам подходят: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &4^x=4\\[1ex] &4^x=\frac98 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=1\\[1ex] &x=\log_4\left(\frac98\right)=\log_49-\log_{2^2}(2^3)=\log_49-1,5 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни.
Видно, что \(x=1\) не входит в промежуток.
Предположим, что \(\log_4\left(\frac98\right)\) входит в промежуток \((0;1)\): \[\begin{aligned} &0<\log_4\left(\frac98\right)<1\\[1ex] &\log_41<\log_4\left(\frac98\right)<\log_44\\[1ex] & 1<\frac98<4 \end{aligned}\] Полученное неравенство верно, следовательно, \(\log_4\left(\frac98\right)\in (0;1)\)

Ответ:

а) \(1; \log_49-1,5\)

б) \(\log_49-1,5\)