Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сведение показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений к квадратному или кубическому виду

\(\blacktriangleright\) Если показательное (I) или логарифмическое (II) уравнение можно свести к виду (\(A\ne 0\)): \[\textbf{I.} \quad {\large{A\cdot a^{2f(x)}+B\cdot a^{f(x)}+C=0}}\] \[\textbf{II.} \quad {\large{A\cdot \log^2_a{f(x)}+B\cdot \log_a{f(x)}+C=0}}\] то с помощью замены \(a^{f(x)}=t,\quad t>0\) или \(\log_a{f(x)}=t\) соответственно эти уравнения сводятся к квадратному: \[At^2+Bt+C=0\]

\(\blacktriangleright\) Если показательное (I’) или логарифмическое (II’) уравнение можно свести к виду (\(A\ne 0\)): \[\textbf{I'.} \quad {\large{A\cdot a^{3f(x)}+B\cdot a^{2f(x)}+C\cdot a^{f(x)}+D=0}}\] \[\textbf{II'.} \quad {\large{A\cdot \log^3_a{f(x)}+B\cdot \log^2_a{f(x)}+C\cdot \log_a{f(x)}+D=0}}\] то с помощью замены \(a^{f(x)}=t,\quad t>0\) или \(\log_a{f(x)}=t\) соответственно эти уравнения сводятся к кубическому: \[At^3+Bt^2+Ct+D=0\]

\(\blacktriangleright\) На ОДЗ верны следующие формулы:

\[\large{\begin{array}{|ll|} \hline a^0=1 &a^1=a\\ a^{nm}=(a^n)^m &a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\ \dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}&a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\\ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n &\\ a^{\frac{k}{r}}=\sqrt[r]{a^k} \qquad \qquad \qquad \qquad& \dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n\\&\\ a,b>0, \ \ a,b\ne 1, \ k\in \mathbb{Z},& r\in\mathbb{N}, \ m,n\in\mathbb{R}\\ \hline \end{array}}\]

 

\[\large{\begin{array}{|lcl|} \hline \log_a1=0& \qquad & \log_aa=1\\ &&\\ \log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_{|a|}{|b|}&& a^{\log_bc}=c^{\log_ba}\\ &&\\ \log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|}&& \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}\\ &&\\ \log_ab\cdot \log_bc=\log_ac & \Longleftrightarrow & \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}\\ &&\\ \log_ab\cdot \log_ba=1 & \Longleftrightarrow & \log_ab=\dfrac1{\log_ba}\\ &&\\ \hline \end{array}}\]

Задание 1 #3907
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[2^{2x+1}-3\cdot 2^{x+2}+14=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([1;3].\)

а) Так как \(2^{2x+1}=2^{2x}\cdot 2^1=(2^x)^2\cdot 2\), \(2^{x+2}=2^x\cdot 2^2\), то при помощи замены \(2^x=t\), \(t>0\), уравнение сведется к виду: \[2t^2-12t+14=0\quad\Leftrightarrow\quad t^2-6t+7=0\quad\Leftrightarrow\quad t_1=3-\sqrt2, \quad t_2=3+\sqrt2\] Оба корня положительные, следовательно, подходят под условие \(t>0\). Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2^x=3-\sqrt2\\[1ex] &2^x=3+\sqrt2\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\log_2(3-\sqrt2)\\[1ex] &x=\log_2(3+\sqrt2)\end{aligned}\end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни. Если \(x\in [1;3]\), то \(t\in [2;8]\).
Так как \(\sqrt2\sim 1,4\), то \(t_1\in (1;2)\), \(t_2\in (4;5)\). Следовательно, только \(t_2\) входит в отрезок \([2;8]\). Значит, только корень \(x=\log_2(3+\sqrt2)\) входит в отрезок \([1;3]\).

Ответ:

а) \(\log_2(3\pm \sqrt2)\)

 

б) \(\log_2(3+\sqrt2)\)

Задание 2 #3803
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[16^{\sin x}+16^{\sin (x+\pi)}=\dfrac{17}4\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[\dfrac{3\pi}2; 3\pi \right].\)

а) Так как по формуле приведения \(\sin (\pi +x)=-\sin x\), то заменой \(16^{\sin x}=t\) уравнение сводится к виду: \[t+\dfrac1t=\dfrac{17}4\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{4t^2-17t+4}{4t}=0\] Так как \(t>0\) как показательная функция, то \(4t^2-17t+4=0\), откуда \(t_1=4\) и \(t_2=\dfrac14\). Делаем обратную замену:

 

1) \(16^{\sin x}=4\quad\Leftrightarrow\quad 4^{2\sin x}=4\quad\Leftrightarrow\quad 2\sin x=1\quad\Leftrightarrow\quad \sin x=\dfrac12\).
Корнями такого уравнения будут \(x=\dfrac{\pi}6+2\pi n\) и \(x=\dfrac{5\pi}6+2\pi m\), \(m,n\in\mathbb{Z}\).

 

2) \(16^{\sin x}=4^{-1}\quad\Leftrightarrow\quad 2\sin x=-1\quad\Leftrightarrow\quad \sin x=-\dfrac12\).
Корнями такого уравнения будут \(x=-\dfrac{\pi}6+2\pi k\) и \(x=-\dfrac{5\pi}6+2\pi l\), \(k,l \in\mathbb{Z}\).

 

б) Отберем корни.   1) \(\dfrac{3\pi}2\leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi m\leqslant 3\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac13\leqslant m\leqslant \dfrac{13}{12}\quad\Rightarrow\quad m=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{17\pi}6\)   2) \(\dfrac{3\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}6+2\pi n\leqslant 3\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac23\leqslant n\leqslant \dfrac{17}{12}\quad\Rightarrow\quad n=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{13\pi}6\)   3) \(\dfrac{3\pi}2\leqslant -\dfrac{5\pi}6+2\pi l\leqslant 3\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac76\leqslant l\leqslant \dfrac{23}{12}\quad\Rightarrow\quad l\in\varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in \varnothing\)   4) \(\dfrac{3\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}6+2\pi k\leqslant 3\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac56\leqslant k\leqslant \dfrac{19}{12}\quad\Rightarrow\quad k=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{11\pi}6\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}6+2\pi n\), \(\dfrac{5\pi}6+2\pi m\), \(-\dfrac{5\pi}6+2\pi l\), \(-\dfrac{\pi}6+2\pi k\); \(m,n, k,l \in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{11\pi}6; \ \dfrac{13\pi}6;\ \dfrac{17\pi}6\)

Задание 3 #3802
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[2\log^2_4(4\sin x)-5\log_4(4\sin x)+2=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{3\pi}2; 0\right].\)

а) Сделаем замену \(\log_4(4\sin x)=t\), тогда уравнение примет вид: \[2t^2-5t+2=0\quad\Rightarrow\quad t_1=2; \quad t_2=\dfrac12\] Сделаем обратную замену:

 

1) \(\log_4(4\sin x)=2\quad\Rightarrow\quad 4\sin x=4^2\) – удовлетворяет ОДЗ логарифма \(4\sin x>0\).
Полученное уравнение равносильно \(\sin x=4\), что в свою очередь не имеет решений.

 

2) \(\log_4(4\sin x)=\frac12\quad\Rightarrow\quad 4\sin x=4^{\frac12}\) – также удовлетворяет ОДЗ.
Полученное уравнение равносильно \(\sin x=\frac12\), решением которого будут \(x=\dfrac{\pi}6+2\pi n\) и \(x=\dfrac{5\pi}6+2\pi m\), \(n,m\in\mathbb{Z}\).

 

б) Отберем корни.   1) \(-\dfrac{3\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}6+2\pi n\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac56\leqslant n\leqslant -\dfrac1{12}\quad\Rightarrow\quad n\in\varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in \varnothing\)   2) \(-\dfrac{3\pi}2\leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi m\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac76\leqslant m\leqslant -\dfrac5{12}\quad\Rightarrow\quad m=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{7\pi}6\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}6+2\pi n, \ \dfrac{5\pi}6+2\pi m\), \(n,m\in\mathbb{Z}\)

б) \(-\dfrac{7\pi}6\)

Задание 4 #3801
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[8\cdot 16^{\sin^2 x}-2\cdot 4^{\cos2x}=63\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[\dfrac{7\pi}2; 5\pi\right].\)

а) Заметим, что \(\cos2x=1-2\sin^2x\), следовательно, \(4^{1-2\sin^2x}=4^1:4^{2\sin^2x}=4:16^{\sin^2x}\). Сделаем замену \(16^{\sin^2x}=t\), тогда уравнение примет вид: \[8t-2\cdot 4\cdot \dfrac1t-63=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{8t^2-63t-8}t=0\] Так как \(t>0\), то данное уравнение равносильно \[8t^2-63t-8=0\] \(D=63^2+4\cdot 8\cdot 8=3969+256=4225=65^2\). Следовательно, \(t_1=-\dfrac18\) и \(t_2=8\). Сделаем обратную замену, учитывая, что корень \(t_1\) нам не подходит, так как он отрицателен: \[16^{\sin^2x}=8\quad\Leftrightarrow\quad 2^{4\cdot \sin^2x}=2^3 \quad\Leftrightarrow\quad4\sin^2x=3\quad\Leftrightarrow\quad \sin x=\pm\dfrac{\sqrt3}2\] Решениями данных двух уравнений будут: \(x=\pm \dfrac{\pi}3+2\pi m\) и \(x=\pm \dfrac{2\pi}3+2\pi n\), \(m,n\in\mathbb{Z}\).

 

б) Отберем корни.   1) \(\dfrac{7\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}3+2\pi m\leqslant 5\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{19}{12}\leqslant m\leqslant \dfrac73\quad\Rightarrow\quad m=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{13\pi}3\)   2) \(\dfrac{7\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}3+2\pi m\leqslant 5\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{23}{12}\leqslant m\leqslant \dfrac83\quad\Rightarrow\quad m=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{11\pi}3\)   3) \(\dfrac{7\pi}2\leqslant \dfrac{2\pi}3+2\pi n\leqslant 5\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{17}{12}\leqslant n\leqslant \dfrac{13}6\quad\Rightarrow\quad n=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{14\pi}3\)   4) \(\dfrac{7\pi}2\leqslant -\dfrac{2\pi}3+2\pi n\leqslant 5\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{25}{12}\leqslant n\leqslant \dfrac{17}6\quad\Rightarrow\quad n\in\varnothing\quad\Rightarrow\quad x=\in\varnothing\)

Ответ:

а) \(\pm \dfrac{\pi}3+2\pi m, \ \pm \dfrac{2\pi}3+2\pi n\), \(m,n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{11\pi}3; \ \dfrac{13\pi}3; \ \dfrac{14\pi}3\)

Задание 5 #3800
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[27^x-4\cdot 3^{x+2}+3^{5-x}=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[\log_74; \log_7 16\right].\)

а) Так как \(27^x=(3^x)^3\), \(3^{x+2}=3^x\cdot 3^2\), \(3^{5-x}=3^5:3^x\), то после замены \(3^x=t, t>0\), уравнение примет вид: \[t^3-4\cdot 9\cdot t+\dfrac{3^5}t=0 \Big| \cdot t>0 \quad\Leftrightarrow\quad t^4-36t^2+3^5=0\] Данное уравнение является биквадратным и решается как квадратное относительно \(t^2\).
\(D=36^2-4\cdot 3^5=3^4\cdot 4(4-3)=3^4\cdot4\), следовательно, \(\sqrt D=3^2\cdot 2=18\).   Следовательно, \(t^2=27\) и \(t^2=9\).

 

Тогда, учитывая, что \(t>0\), получаем решения: \(t=3\sqrt3\) и \(t=3\).   Сделаем обратную замену: \(x=\log_3 3\sqrt3=\log_3 \left(3^{\frac32}\right)=\dfrac32\) и \(x=\log_33=1\).

 

б) Отберем корни.
Так как \(y=\log_7x\) – возрастающая функция, то чем больше \(x\), тем больше \(y\). Следовательно:
\(\log_74<\log_77=1<\log_7 16\). Значит, \(x=1\) лежит в отрезке \(\left[\log_74; \log_7 16\right].\)   \(\frac32=\log_7 7\sqrt7\).
Сравним \(7\sqrt7\) и \(4\) и \(16\): \(4<7\sqrt7\);
\(7\sqrt7 \ \lor \ 16\), \(\quad (7\sqrt7)^2 \ \lor \ 16^2\), \(\quad 343 \ \lor \ 256\). Таким образом, так как \(343>256\), то \(7\sqrt7>16\), следовательно, \(\log_7 (7\sqrt7)>\log_7 16\), следовательно, \(\frac32\) не входит в отрезок \(\left[\log_74; \log_7 16\right].\)

Ответ:

а) \(1; \ \dfrac32\)

б) \(1\)

Задание 6 #3799
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[9^{x+1}-2\cdot 3^{x+2}+5=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left(\log_3\dfrac32; \sqrt5\right).\)

а) Так как \(a^{x+y}=a^x\cdot a^y\), то уравнение можно переписать в виде: \[9\cdot 9^x-2\cdot 3^2\cdot 3^x+5=0\] Так как \(9^x=(3^x)^2\), то заменой \(3^x=t\), \(t>0\), данное уравнение сводится к квадратному: \[9t^2-18t+5=0\] Корнями этого уравнения будут \(t_1=\dfrac 53\) и \(t_2=\dfrac13\). Следовательно:

 

1) \(3^x=\dfrac13\quad\Leftrightarrow\quad x=-1\)  

2) \(3^x=\dfrac53\quad\Leftrightarrow\quad x=\log_3\dfrac53\).

 

б) Отберем корни.
Так как \(\log_3\frac32>\log_31=0\), то \(\log_3\frac32>-1\), следовательно, \(x=-1\) не входит в промежуток.
Заметим, что \(\log_3\frac32<\log_3\frac53\), так как \(\frac32<\frac53\) и основание логарифма \(3>1\).
Следовательно, осталось сравнить \(\log_3\frac53\) и \(\sqrt5\).
Очевидно, что, если \(a<b\), то \(3^a<3^b\).
Воспользуемся этим свойством: \[\begin{aligned} \log_3\frac53 \ &\lor \ \sqrt5\\ 3^{\log_3\frac53} \ &\lor \ 3^{\sqrt5}\\ \dfrac53 \ &\lor \ 3^{\sqrt5}\\ 5 \ &\lor \ 3\cdot 3^{\sqrt5}=3^{1+\sqrt5} \end{aligned}\] Так как \(1+\sqrt5>2\), то \(3^{1+\sqrt5}>3^2=9\), следовательно, между данными числами должен стоять знак \(<\).
Таким образом, число \(\log_3\frac53\) больше левого конца промежутка и меньше правого, следовательно, лежит в данном промежутке.

Ответ:

а) \(-1; \ \log_3\dfrac53\)

б) \(\log_3\frac53\)

Задание 7 #3798
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[16^{x+0,25} -41\cdot 4^{x-1}+9=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \((0;1)\).

а) Перепишем левую часть уравнения в виде: \[16^x\cdot 16^{0,25}-41\cdot 4^x\cdot 4^{-1}+9=4^{2x}\cdot 2^{4\cdot 0,25}-41 \cdot 4^x\cdot \dfrac14+9=2\cdot 4^{2x}-\dfrac{41}4\cdot 4^x+9\] Тогда уравнение после замены \(4^x=t\) примет вид квадратного уравнения: \[2t^2-\dfrac{41}4t+9=0\quad\Leftrightarrow\quad 8t^2-41t+36=0\] \(D=41^2-4\cdot 8\cdot 36=1681-1152=529=23^2\)
Следовательно, \(t_1=4\), \(t_2=\frac98\).
Так как показательная функция всегда положительна, то \(t>0\), значит, оба корня нам подходят: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &4^x=4\\[1ex] &4^x=\frac98 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=1\\[1ex] &x=\log_4\left(\frac98\right)=\log_49-\log_{2^2}(2^3)=\log_49-1,5 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни.
Видно, что \(x=1\) не входит в промежуток.
Предположим, что \(\log_4\left(\frac98\right)\) входит в промежуток \((0;1)\): \[\begin{aligned} &0<\log_4\left(\frac98\right)<1\\[1ex] &\log_41<\log_4\left(\frac98\right)<\log_44\\[1ex] & 1<\frac98<4 \end{aligned}\] Полученное неравенство верно, следовательно, \(\log_4\left(\frac98\right)\in (0;1)\)

Ответ:

а) \(1; \log_49-1,5\)

б) \(\log_49-1,5\)