15. Решение неравенств
\(\blacktriangleright\) Стандартное логарифмическое неравенство \[{\Large{\log_a{f(x)}\geqslant \log_a{g(x)}}}\] где \(a>0,\ a\ne 1\)
(на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant,\
>,\ <\))
Если \({\large{a>1}}\), то данное неравенство равносильно системе \[{\Large{\begin{cases} f(x)\geqslant g(x)\\ g(x)>0 \end{cases}}}\] Заметим, что условие \(f(x)>0\) учитывается автоматически в такой системе.
Если \({\large{0<a<1}}\), то данное неравенство равносильно системе \[{\Large{\begin{cases}f(x)\leqslant g(x)\\f(x)>0 \end{cases}}}\] Заметим, что условие \(g(x)>0\) учитывается автоматически в такой системе.
\(\blacktriangleright\) С помощью формулы \({\Large{b=\log_a{a^b}}}\) можно любое число \(b\) представить в виде логарифма по необходимому нам основанию \(a>0,\ a\ne 1\).
Решите неравенство
\[\begin{aligned} \log_2 x^2\geqslant 1 \end{aligned}\]
ОДЗ:\[x^2 > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\neq 0.\]
При \(x\neq 0\):
исходное неравенство равносильно неравенству
\[\begin{aligned} \log_2 x^2 \geqslant \log_2 2\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2\geqslant 2\qquad\Leftrightarrow\qquad x\in(-\infty; -\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2}; +\infty) \end{aligned}\]
– сюда не вошёл \(x = 0\), следовательно, это и есть ответ.
Ответ:
\((-\infty; -\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2}; +\infty)\)
Решите неравенство
\[\begin{aligned} \log_2 x^2\geqslant 1 +\log_2 x \end{aligned}\]
ОДЗ:\[\begin{cases} x^2 > 0\\ x > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x > 0.\]
При \(x > 0\):
исходное неравенство равносильно неравенству
\[\begin{aligned} &\log_2 x^2 \geqslant\log_2 2 + \log_2 x\qquad\Leftrightarrow\qquad\log_2 x^2 \geqslant\log_2 2x\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad x^2\geqslant 2x\qquad\Leftrightarrow\qquad x(x - 2)\geqslant 0\,. \end{aligned}\]
По методу интервалов:
то есть решения последнего неравенства без учёта ОДЗ: \[x\in (-\infty; 0]\cup[2; +\infty),\] но \(x > 0\), следовательно, решение исходного неравенства \[x\in [2; +\infty).\]
Ответ:
\([2; +\infty)\)
Решите неравенство
\[\begin{aligned} \log_5^3 x + \log_5 x\geqslant 0 \end{aligned}\]
ОДЗ: \(x > 0\).
Сделаем замену \(t = \log_5 x\):
\[\begin{aligned} t^3 + t\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad t(t^2 + 1)\geqslant 0 \end{aligned}\]
Так как \(t^2\geqslant 0\), то \(t^2 + 1\geqslant 1 > 0\), следовательно, последнее неравенство равносильно неравенству \[t\geqslant 0\,,\] откуда \[\log_5 x \geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_5 x \geqslant \log_5 1 \qquad\Leftrightarrow\qquad x \geqslant 1\,.\]
С учётом ОДЗ ответ: \(x\in[1; +\infty)\).
Ответ:
\([1; +\infty)\)
Решите неравенство
\[\begin{aligned} 2\log_4 x\cdot (\log_4 x - 2)\geqslant -1,5 \end{aligned}\]
ОДЗ:
\[\begin{aligned} x > 0 \end{aligned}\]
Сделаем замену \(\log_2 x = t\) с учётом того, что на ОДЗ \(\log_4 x = 0,5\log_2 x\):
\[\begin{aligned} t(0,5t - 2)\geqslant -1,5\qquad\Leftrightarrow\qquad t^2 - 4t + 3\geqslant 0 \end{aligned}\]
По методу интервалов:
откуда \(t\in(-\infty; 1]\cup[3; +\infty)\), тогда
\(\log_2 x\in (-\infty; 1]\cup[3; +\infty)\), следовательно, с учётом ОДЗ \[x\in(0; 2]\cup [8; +\infty)\,.\]
Ответ:
\((0; 2]\cup [8; +\infty)\)
Решите неравенство
\[\begin{aligned} \log^2_2 x + 3\log_2 x + 3\leqslant 1 \end{aligned}\]
ОДЗ: \(x > 0\).
Исходное неравенство равносильно неравенству
\[\begin{aligned} \log^2_2 x + 3\log_2 x + 2\leqslant 0 \end{aligned}\]
Сделаем замену \(t = \log_2 x\):
\[\begin{aligned} t^2 + 3t + 2\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t + 1)(t + 2)\leqslant 0 \end{aligned}\]
По методу интервалов: 
откуда \(t\in [-2; -1]\).
Тогда \(-2 \leqslant \log_2 x\leqslant -1\), что равносильно \[\log_2 \dfrac{1}{4} \leqslant \log_2 x\leqslant \log_2 \dfrac{1}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{4} \leqslant x\leqslant \dfrac{1}{2}\,.\]
С учётом ОДЗ ответ: \(x\in[0,25; 0,5]\).
Ответ:
\([0,25; 0,5]\)
Решите неравенство
\[\begin{aligned} \log^2_3 x + 6\log_3 x + 8\leqslant 0 \end{aligned}\]
ОДЗ: \(x > 0\).
Сделаем замену \(t = \log_3 x\):
\[\begin{aligned} t^2 + 6t + 8\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t + 2)(t + 4)\leqslant 0 \end{aligned}\]
По методу интервалов: 
откуда \(t\in [-4; -2]\).
Тогда \(-4 \leqslant \log_3 x\leqslant -2\), что равносильно \[\log_3 \dfrac{1}{81} \leqslant \log_3 x\leqslant \log_3 \dfrac{1}{9}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{81} \leqslant x\leqslant \dfrac{1}{9}\,.\]
С учётом ОДЗ ответ: \(x\in\left[\dfrac{1}{81}; \dfrac{1}{9}\right]\).
Ответ:
\(\left[\dfrac{1}{81}; \dfrac{1}{9}\right]\)
Решите неравенство
\[\begin{aligned} \ln^2 x - 7\ln x + 12\geqslant 0 \end{aligned}\]
ОДЗ: \(x > 0\).
Сделаем замену \(t = \ln x\):
\[\begin{aligned} t^2 - 7t + 12\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t - 3)(t - 4)\geqslant 0 \end{aligned}\]
По методу интервалов: 
откуда \(t\in (-\infty; 3]\cup [4; +\infty)\).
Тогда на ОДЗ \[\left[ \begin{gathered} \ln x\leqslant 3\\ \ln x\geqslant 4 \end{gathered} \right. \qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} \ln x\leqslant \ln e^3\\ \ln x\geqslant \ln e^4 \end{gathered} \right. \qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x\leqslant e^3\\ x\geqslant e^4 \end{gathered} \right.\]
С учётом ОДЗ ответ: \[x\in (0; e^3]\cup[e^4; +\infty)\,.\]
Ответ:
\((0; e^3]\cup[e^4; +\infty)\)
