Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Нахождение корней квадратного трехчлена

Задание 1 #2229
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Не решая уравнения \[3x^2 - 21x + 30 = 0,\] найдите значение выражения \(x_1 + x_2 + x_1x_2\), если известно, что \(x_1\), \(x_2\) – корни этого уравнения.

Добавить задание в избранное

По теореме Виета \(x_1 + x_2 = \dfrac{21}{3} = 7\), \(x_1\cdot x_2 = \dfrac{30}{3} = 10\), следовательно, \(x_1 + x_2 + x_1x_2 = 17\).

Ответ:

\(17\)

Задание 2 #2230
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Не решая уравнения \[2x^2 - 3x + 1 = 0,\] найдите значение выражения \(\sin\left(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}\right)\), если известно, что \(x_1\), \(x_2\) – корни этого уравнения.

Добавить задание в избранное

\[\sin\left(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}\right) = \sin\left(\dfrac{x_2 + x_1}{x_1\cdot x_2}\right).\]

По теореме Виета \(x_1 + x_2 = \dfrac{3}{2}\), \(x_1\cdot x_2 = \dfrac{1}{2}\), следовательно, \(\sin\left(\dfrac{x_2 + x_1}{x_1\cdot x_2}\right) = \sin\left(\dfrac{1,5}{0,5}\right) = \sin 3\).

Ответ:

\(\sin 3\)

Задание 3 #2231
Уровень задания: Легче ЕГЭ

При каких значениях \(a\neq -1\) сумма корней уравнения \[(a + 1)x^2 - \bigl(a(2a - 3)^2 + 1 + a + (3 - 2a)^2\bigr)x - (a + 2)^3 = 0\] будет наименьшей?

Добавить задание в избранное

По теореме Виета сумма корней этого уравнения при \(a\neq -1\) (если у него они есть) равна \[\dfrac{a(2a - 3)^2 + 1 + a + (2a - 3)^2}{a + 1} = \dfrac{(a + 1)((2a - 3)^2 + 1)}{a + 1} = (2a - 3)^2 + 1.\] Данное выражение будет наименьшим при \(a = 1,5\).

Остаётся только убедиться, что при \(a = 1,5\) у уравнения будут корни. При \(a = 1,5\): \[2,5x^2 - 2,5x - (3,5)^3 = 0.\] Так как дискриминант \(D = (2,5)^2 + 4\cdot 2,5\cdot (3,5)^3 > 0\), то у данного уравнения есть два корня.
В итоге ответ: при \(a = 1,5\).

Ответ:

\(1,5\)

Задание 4 #2509
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Антон предложил гипотезу: пусть есть квадратный трёхчлен \(P(x) = ax^2 + bx + c\), тогда у него найдутся два различных корня если и только если \(P^2(0) > 4P(-1)P(1)\). Прав ли он?

Добавить задание в избранное

Чтобы показать, что Антон не прав, достаточно придумать многочлен \(P(x)\), такой что \(x = 1\) – его единственный корень.

Таким образом, например, многочлен \[P(x) = (x - 1)^2\] опровергает гипотезу Антона, ведь \(P^2(0) = 1 > 0 = 4P(1)\cdot P(-1)\), но у данного многочлена нет двух различных корней.

Ответ:

Нет

Задание 5 #2510
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Вова прислал Маше фотографию многочлена вида \(P(x) = ax^2 + bx + c\) и утверждает, что \(P(0) = 1\), \(P(1) = 2\), \(P(2) = 4\), при этом существуют \(m,n \in\mathbb{N}\) такие, что \(P\left(\dfrac{m}{n}\right) - P\left(\dfrac{n}{m}\right)\) – иррационально. Маша утверждает, что Вова ошибся. Права ли Маша?

Добавить задание в избранное

\[\begin{aligned} \begin{cases} &1 = P(0) = c\\ &2 = P(1) = a + b + c\\ &4 = P(2) = 4a + 2b + c \end{cases} \end{aligned}\]

Тогда \[0 = P(2) - 2P(1) = 2a - c = 2a - 1\qquad\Rightarrow\qquad a = 0,5\,,\] следовательно, \[b = 2 - a - c = 2 - 0,5 - 1 = 0,5\,.\]

Таким образом, Вовин многочлен может быть только \(P(x) = 0,5x^2 + 0,5x + 1\), но тогда \(P\left(\dfrac{p}{q}\right)\) – рационально при любых \(p, q\in\mathbb{N}\), следовательно, \[P\left(\dfrac{m}{n}\right) - P\left(\dfrac{n}{m}\right)\] – рационально при любых \(m, n\in\mathbb{N}\).

Ответ:

Да

Задание 6 #3765
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Даны квадратные трехчлены \(f_1(x)=x^2+2a_1x+b_1\), \(f_2(x)=x^2+2a_2x+b_2\) и \(f_3(x)=x^2+2a_3x+b_3\). Известно, что \(a_1a_2a_3=b_1b_2b_3>1\). Может ли оказаться, что ни один из этих трехчленов не имеет более одного корня?

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Допустим, что все три трехчлена имеют не более одного корня. Это значит, что их дискриминанты неположительны: \[\begin{cases} D_1=4a_1^2-4b_1\leqslant 0\\ D_2=4a_2^2-4b_2\leqslant 0\\ D_3=4a_3^2-4b_3\leqslant 0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} a_1^2\leqslant b_1\\a_2^2\leqslant b_2\\a_3^2\leqslant b_3\end{cases}\] Так как любое число в квадрате неотрицательно, то можно умножить обе части первого неравенства на \(a_2^2\): \((a_1a_2)^2\leqslant b_1\cdot a_2^2\leqslant b_1b_2\). Аналогично умножим на \(a_3^2\) и получим: \[(a_1a_2a_3)^2\leqslant b_1b_2b_3\] Но по условию задачи \(a_1a_2a_3=b_1b_2b_3\), следовательно, получаем: \[(a_1a_2a_3)^2\leqslant a_1a_2a_3\quad\Leftrightarrow\quad (a_1a_2a_3-1)\cdot a_1a_2a_3\leqslant 0\] Так как к тому же по условию \(a_1a_2a_3>1\), то получаем, что должно быть выполнено: \(a_1a_2a_3\leqslant 0\), что противоречит условию.
Таким образом, предположение неверно и ответ: нет.

Ответ:

нет

Задание 7 #2232
Уровень задания: Легче ЕГЭ

При каких значениях параметра \(a\) сумма корней уравнения \[a^4x - 4a^2x + x^2 + a + 5x = 0\] будет наибольшей?

Добавить задание в избранное

\[\begin{aligned} &a^4x - 4a^2x + x^2 + a + 5x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 + (a^4 - 4a^2 + 5)x + a = 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad x^2 + \bigl((a^2 - 2)^2 + 1\bigr)x + a = 0. \end{aligned}\]

По теореме Виета сумма корней этого уравнения (если у него они есть) равна \[-((a^2 - 2)^2 + 1).\] Данное выражение будет наибольшим при \(a^2 = 2\), то есть при \(a = \pm\sqrt{2}\).

Остаётся только проверить, что при \(a = \pm\sqrt{2}\) у уравнения будут корни. При \(a = \sqrt{2}\): \[x^2 + x + \sqrt{2} = 0.\] Так как дискриминант \(D = 1 - 4\sqrt{2} < 0\), то у данного уравнения нет корней, следовательно, \(a = \sqrt{2}\) нам не подходит. При \(a = -\sqrt{2}\): \[x^2 + x - \sqrt{2} = 0.\] Так как дискриминант \(D = 1 + 4\sqrt{2} > 0\), то у данного уравнения есть два корня.
В итоге ответ: при \(a = -\sqrt{2}\).

Ответ:

\(-\sqrt{2}\)