Математика
Русский язык

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Нахождение корней квадратного трехчлена

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Не решая уравнения \[3x^2 - 21x + 30 = 0,\] найдите значение выражения \(x_1 + x_2 + x_1x_2\), если известно, что \(x_1\), \(x_2\) – корни этого уравнения.

Добавить задание в избранное

По теореме Виета \(x_1 + x_2 = \dfrac{21}{3} = 7\), \(x_1\cdot x_2 = \dfrac{30}{3} = 10\), следовательно, \(x_1 + x_2 + x_1x_2 = 17\).

Ответ:

\(17\)

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Не решая уравнения \[2x^2 - 3x + 1 = 0,\] найдите значение выражения \(\sin\left(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}\right)\), если известно, что \(x_1\), \(x_2\) – корни этого уравнения.

Добавить задание в избранное

\[\sin\left(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}\right) = \sin\left(\dfrac{x_2 + x_1}{x_1\cdot x_2}\right).\]

По теореме Виета \(x_1 + x_2 = \dfrac{3}{2}\), \(x_1\cdot x_2 = \dfrac{1}{2}\), следовательно, \(\sin\left(\dfrac{x_2 + x_1}{x_1\cdot x_2}\right) = \sin\left(\dfrac{1,5}{0,5}\right) = \sin 3\).

Ответ:

\(\sin 3\)

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

При каких значениях \(a\neq -1\) сумма корней уравнения \[(a + 1)x^2 - \bigl(a(2a - 3)^2 + 1 + a + (3 - 2a)^2\bigr)x - (a + 2)^3 = 0\] будет наименьшей?

Добавить задание в избранное

По теореме Виета сумма корней этого уравнения при \(a\neq -1\) (если у него они есть) равна \[\dfrac{a(2a - 3)^2 + 1 + a + (2a - 3)^2}{a + 1} = \dfrac{(a + 1)((2a - 3)^2 + 1)}{a + 1} = (2a - 3)^2 + 1.\] Данное выражение будет наименьшим при \(a = 1,5\).

Остаётся только убедиться, что при \(a = 1,5\) у уравнения будут корни. При \(a = 1,5\): \[2,5x^2 - 2,5x - (3,5)^3 = 0.\] Так как дискриминант \(D = (2,5)^2 + 4\cdot 2,5\cdot (3,5)^3 > 0\), то у данного уравнения есть два корня.
В итоге ответ: при \(a = 1,5\).

Ответ:

\(1,5\)

Задание 4
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Антон предложил гипотезу: пусть есть квадратный трёхчлен \(P(x) = ax^2 + bx + c\), тогда у него найдутся два различных корня если и только если \(P^2(0) > 4P(-1)P(1)\). Прав ли он?

Добавить задание в избранное

Чтобы показать, что Антон не прав, достаточно придумать многочлен \(P(x)\), такой что \(x = 1\) – его единственный корень.

Таким образом, например, многочлен \[P(x) = (x - 1)^2\] опровергает гипотезу Антона, ведь \(P^2(0) = 1 > 0 = 4P(1)\cdot P(-1)\), но у данного многочлена нет двух различных корней.

Ответ:

Нет

Задание 5
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Вова прислал Маше фотографию многочлена вида \(P(x) = ax^2 + bx + c\) и утверждает, что \(P(0) = 1\), \(P(1) = 2\), \(P(2) = 4\), при этом существуют \(m,n \in\mathbb{N}\) такие, что \(P\left(\dfrac{m}{n}\right) - P\left(\dfrac{n}{m}\right)\) – иррационально. Маша утверждает, что Вова ошибся. Права ли Маша?

Добавить задание в избранное

\[\begin{aligned} \begin{cases} &1 = P(0) = c\\ &2 = P(1) = a + b + c\\ &4 = P(2) = 4a + 2b + c \end{cases} \end{aligned}\]

Тогда \[0 = P(2) - 2P(1) = 2a - c = 2a - 1\qquad\Rightarrow\qquad a = 0,5\,,\] следовательно, \[b = 2 - a - c = 2 - 0,5 - 1 = 0,5\,.\]

Таким образом, Вовин многочлен может быть только \(P(x) = 0,5x^2 + 0,5x + 1\), но тогда \(P\left(\dfrac{p}{q}\right)\) – рационально при любых \(p, q\in\mathbb{N}\), следовательно, \[P\left(\dfrac{m}{n}\right) - P\left(\dfrac{n}{m}\right)\] – рационально при любых \(m, n\in\mathbb{N}\).

Ответ:

Да

Задание 6
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Даны квадратные трехчлены \(f_1(x)=x^2+2a_1x+b_1\), \(f_2(x)=x^2+2a_2x+b_2\) и \(f_3(x)=x^2+2a_3x+b_3\). Известно, что \(a_1a_2a_3=b_1b_2b_3>1\). Может ли оказаться, что ни один из этих трехчленов не имеет более одного корня?

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Допустим, что все три трехчлена имеют не более одного корня. Это значит, что их дискриминанты неположительны: \[\begin{cases} D_1=4a_1^2-4b_1\leqslant 0\\ D_2=4a_2^2-4b_2\leqslant 0\\ D_3=4a_3^2-4b_3\leqslant 0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} a_1^2\leqslant b_1\\a_2^2\leqslant b_2\\a_3^2\leqslant b_3\end{cases}\] Так как любое число в квадрате неотрицательно, то можно умножить обе части первого неравенства на \(a_2^2\): \((a_1a_2)^2\leqslant b_1\cdot a_2^2\leqslant b_1b_2\). Аналогично умножим на \(a_3^2\) и получим: \[(a_1a_2a_3)^2\leqslant b_1b_2b_3\] Но по условию задачи \(a_1a_2a_3=b_1b_2b_3\), следовательно, получаем: \[(a_1a_2a_3)^2\leqslant a_1a_2a_3\quad\Leftrightarrow\quad (a_1a_2a_3-1)\cdot a_1a_2a_3\leqslant 0\] Так как к тому же по условию \(a_1a_2a_3>1\), то получаем, что должно быть выполнено: \(a_1a_2a_3\leqslant 0\), что противоречит условию.
Таким образом, предположение неверно и ответ: нет.

Ответ:

нет

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

При каких значениях параметра \(a\) сумма корней уравнения \[a^4x - 4a^2x + x^2 + a + 5x = 0\] будет наибольшей?

Добавить задание в избранное

\[\begin{aligned} &a^4x - 4a^2x + x^2 + a + 5x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 + (a^4 - 4a^2 + 5)x + a = 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad x^2 + \bigl((a^2 - 2)^2 + 1\bigr)x + a = 0. \end{aligned}\]

По теореме Виета сумма корней этого уравнения (если у него они есть) равна \[-((a^2 - 2)^2 + 1).\] Данное выражение будет наибольшим при \(a^2 = 2\), то есть при \(a = \pm\sqrt{2}\).

Остаётся только проверить, что при \(a = \pm\sqrt{2}\) у уравнения будут корни. При \(a = \sqrt{2}\): \[x^2 + x + \sqrt{2} = 0.\] Так как дискриминант \(D = 1 - 4\sqrt{2} < 0\), то у данного уравнения нет корней, следовательно, \(a = \sqrt{2}\) нам не подходит. При \(a = -\sqrt{2}\): \[x^2 + x - \sqrt{2} = 0.\] Так как дискриминант \(D = 1 + 4\sqrt{2} > 0\), то у данного уравнения есть два корня.
В итоге ответ: при \(a = -\sqrt{2}\).

Ответ:

\(-\sqrt{2}\)