Математика
Русский язык

12. Исследование функций с помощью производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Поиск наибольшего/наименьшего значения у произведения

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке \([a,b]\), необходимо схематично изобразить график функции на этом отрезке.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f'>0\)) и убывания (\(f'<0\)) функции, критические точки (где \(f'=0\) или \(f'\) не существует).

 

\(\blacktriangleright\) Не стоит забывать, что наибольшее/наименьшее значение функция может принимать не только во внутренних точках отрезка \([a,b]\), а также на его концах.

 

\(\blacktriangleright\) Наибольшее/наименьшее значение функции — это значение координаты \(y=f(x)\).

 

\(\blacktriangleright\) Если функция задана как произведение двух других функций, то \[{\Large{(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'}}\]
\[\begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{1} & c & 0\\&&\\ \textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\ \textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\ \textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\ \textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf{8} & \cos x & -\sin x\\[1ex] \hline \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\ \textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\ \textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\ \textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[0.5ex] \hline \end{array}\]

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(y = 2x^2\cdot e^{x} - 3\).

Добавить задание в избранное

1) \[y' = 4x\cdot e^{x} + 2x^2\cdot e^{x} = 2x(x + 2)\cdot e^x\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[2x(x + 2)\cdot e^x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x(x + 2) = 0\,,\] откуда находим корни \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\). Производная функции \(y\) существует при любом \(x\). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика \(y\):


 

По полученному эскизу нельзя сказать наверняка, действительно ли в точке локального минимума \(x = 0\) значение функции наименьшее, или же при каком-то отрицательном \(x\) значение функции окажется меньше, чем при \(x = 0\). Найдём \(y(0)\): \[y(0) = 2\cdot 0\cdot e^{0} - 3 = -3\,.\] Рассмотрим произвольное \(x_0 < 0\), тогда \[y(x_0) = 2{x_0}^2\cdot e^{x_0} - 3\,,\] но \({x_0}^2\geqslant 0\) и \(e^{x_0}\geqslant 0\), тогда \[y(x_0) = 2{x_0}^2\cdot e^{x_0} - 3\geqslant 0 - 3\geqslant -3\,,\] следовательно, наименьшее значение функции \(y\) равно \(y(0) = -3\).

Ответ: -3

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(y = x\cdot e^{x}\cdot e - 11\).

Добавить задание в избранное

1) \(y' = e^{x}\cdot e + x\cdot e^{x}\cdot e = (x + 1)\cdot e^{x + 1}\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[y' = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x + 1)\cdot e^{x + 1} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = -1\] (так как \(e^t > 0\) при любом \(t\) и на неё можно поделить). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = -1\) – точка минимума функции \(y\).
\(y(-1) = -1\cdot e^0 - 11 = -12\),

Итого: наименьшее значение функции \(y\) равно \(-12\).

Ответ: -12

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(y = (2 - x)\cdot e^{-x}\cdot e^3 - 2\).

Добавить задание в избранное

1) \(y' = -e^{-x}\cdot e^3 - (2 - x)\cdot e^{-x}\cdot e^3 = (x - 3)\cdot e^{-x + 3}\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[y' = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x - 3)\cdot e^{-x + 3} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 3\] (так как \(e^t > 0\) при любом \(t\) и на неё можно поделить). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = 3\) – точка минимума функции \(y\).
\(y(3) = -1\cdot e^0 - 2 = -3\),

Итого: наименьшее значение функции \(y\) равно \(-3\).

Ответ: -3

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(y = (x^2 - 14x + 34)e^{x}\) на отрезке \([0; 2,5]\).

Добавить задание в избранное

1) \(y' = (2x - 14)e^{x} + e^{x}(x^2 - 14x + 34) = e^{x}(x^2 - 12x + 20)\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[y' = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad e^{x}(x^2 - 12x + 20) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 12x + 20 = 0\] (так как \(e^x > 0\) при любом \(x\) и на неё можно поделить), откуда находим корни \(x_1 = 2, \ x_2 = 10\). Таким образом, \[y' = e^{x}(x - 2)(x - 10).\] Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([0; 2,5]\):



4) Эскиз графика на отрезке \([0; 2,5]\):



Таким образом, \(x = 2\) – точка локального максимума функции \(y\) и наименьшее значение на \([0; 2,5]\) функция достигает либо в \(x = 0\), либо в \(x = 2,5\). Сравним эти значения:

\(y(0) = 34\cdot e^0 = 34\),

\(y(2,5) = (6,25 - 35 + 34)e^{2,5} = 5,25\cdot e^{2,5}\). Так как \(e > 2,7\), то \(5,25\cdot e^{2,5} > 5,25\cdot 2,7^{2,5} > 5,25\cdot 2,7^{2} = 38,2725 > 34 = y(0)\).

Итого: наименьшее значение функции \(y\) на \([0; 2,5]\) равно \(34\).

Ответ: 34

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции \(y = e^{-1}(x^2-8x+13)e^{x}\) на \([-1; 5,5]\).

Добавить задание в избранное

Заметим, что \(e^{-1}\) – просто число, тогда

1) \(y' = e^{-1}((2x-8)e^{x}+e^{x}(x^2-8x+13)) = e^{-1}(x^2-6x+5)e^{x}\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[y' = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad e^{-1}(x^2-6x+5)e^{x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2-6x+5 = 0\] (так как \(e^x > 0\) при любом \(x\) и на неё можно поделить), откуда находим корни \(x_1 = 1, \ x_2 = 5\). Таким образом, \[y' = e^{-1}(x - 1)(x - 5)e^{x}.\] Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([-1; 5,5]\):



4) Эскиз графика на отрезке \([-1; 5,5]\):



Таким образом, \(x = 1\) – точка локального максимума функции \(y\), \(x = 5\) - точка локального минимума функции и наибольшее значение на \([-1; 5,5]\) функция достигает либо в \(x = 1\), либо в \(x = 5,5\). Сравним эти значения:

\(y(1) = e^{-1}(1-8+13)e^{1} = 6\cdot e^{-1 + 1} = 6\cdot e^{0} = 6\),

\(y(5,5) = e^{-1}(30,25-44+13)e^{5,5} = -0,75\cdot e^{-1 + 5,5} = -0,75\cdot e^{4,5} < 0 < 6 = y(1)\).

Итого: наибольшее значение функции \(y\) на \([-1; 5,5]\) равно \(6\).

Ответ: 6

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(y = (-2x + 1)\cdot e^{-x}\cdot e^{1,5}\).

Добавить задание в избранное

1) \(y' = -2e^{-x}\cdot e^{1,5} - (-2x + 1)\cdot e^{-x}\cdot e^{1,5} = (2x - 3)\cdot e^{-x + 1,5}\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[y' = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (2x - 3)\cdot e^{-x + 1,5} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 1,5\] (так как \(e^t > 0\) при любом \(t\) и на неё можно поделить). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = 1,5\) – точка минимума функции \(y\).
\(y(1,5) = -2\cdot e^0 = -2\),

Итого: наименьшее значение функции \(y\) равно \(-2\).

Ответ: -2

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции \(y = (3x + 2)\cdot e^{-x}\cdot e^{\frac{1}{3}}\).

Добавить задание в избранное

1) \(y' = 3e^{-x}\cdot e^{\frac{1}{3}} - (3x + 2)\cdot e^{-x}\cdot e^{\frac{1}{3}} = (-3x + 1)\cdot e^{-x + \frac{1}{3}}\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[y' = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (-3x + 1)\cdot e^{-x + \frac{1}{3}} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac{1}{3}\] (так как \(e^t > 0\) при любом \(t\) и на неё можно поделить). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = \dfrac{1}{3}\) – точка максимума функции \(y\).
\(y\left(\dfrac{1}{3}\right) = 3\cdot e^0 = 3\),

Итого: наибольшее значение функции \(y\) равно \(3\).

Ответ: 3