Математика
Русский язык

Реальные варианты ЕГЭ 2017

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты «Школково». Досрочная волна. Резерв. 14 апреля 2017

Задание 1

а) Решите уравнение \[\cos^2(\pi -x)+\sin \left(x+\dfrac{3\pi}2\right)=0\]

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[3\pi; \dfrac{9\pi}2\right].\)

ОДЗ уравнения: \(x\in \mathbb{R}\).
По формулам приведения \[\begin{aligned} &\cos(\pi-x)=-\cos x\\[2ex] &\sin \left(x+\dfrac{3\pi}2\right)=-\cos x \end{aligned}\] Следовательно, уравнение равносильно: \[\cos^2x-\cos x=0\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\cos x=0\\ &\cos x=1\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}2+\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=2\pi m, m\in\mathbb{Z}\end{aligned}\end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни.

\(3\pi\leqslant \dfrac{\pi}2+\pi n\leqslant \dfrac{9\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac52\leqslant n\leqslant 4\quad\Rightarrow\quad n=3;\ 4\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{7\pi}2; \ \dfrac{9\pi}2.\)   \(3\pi\leqslant 2\pi m\leqslant \dfrac{9\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac32\leqslant m\leqslant \dfrac94\quad\Rightarrow\quad m=2\quad\Rightarrow\quad x=4\pi.\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2+\pi n, \ 2\pi m, \ n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{7\pi}2; \ 4\pi; \ \dfrac{9\pi}2\)

Задание 2

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), длина диагонали которого равна \(3\). На луче \(A_1C\) отмечена точка \(P\) так, что \(A_1P=4\).

 

а) Докажите, что многогранник \(DBPC_1\) – правильный тетраэдр.

 

б) Найдите длину отрезка \(AP\).


 

а) Так как \(A_1C=3\), а \(A_1P=4\), то точка \(P\) находится на луче \(A_1C\) за точкой \(C\).
Правильный тетраэдр – правильная треугольная пирамида, все грани которой – равные треугольники. Следовательно, нужно доказать, что все грани \(DBPC_1\) – равные равносторонние треугольники, то есть доказать равенство \(DB=DP=DC_1=BC_1=BP=PC_1\).
Так как диагональ куба в \(\sqrt3\) раз больше ребра куба, то ребро куба равно \(\sqrt3\). Так как \(BC_1\), \(BD\) и \(DC_1\) – диагонали граней куба, то каждая из них в \(\sqrt2\) раз больше ребра куба, следовательно, \(BC_1=BD=DC_1=\sqrt6\).
Найдем \(PC_1\). Рассмотрим плоскость \(AA_1C_1\). Так как \(A_1, C\) лежат в этой плоскости, то и вся прямая \(A_1C\) в ней лежит, следовательно, и точка \(P\).



Найдем \(PC_1\) по теореме косинусов из \(\triangle PC_1A_1\). \[\cos\alpha=\dfrac{\sqrt6}3=\sqrt{\dfrac23}\quad\Rightarrow\quad PC_1^2=6+16-2\cdot \sqrt6\cdot 4\cdot \sqrt{\dfrac23}=6\quad\Rightarrow\quad PC_1=\sqrt6.\] Найдем \(BP\). Рассмотрим плоскость \(A_1BCD_1\). Аналогичным образом по теореме косинусов из \(\triangle BPA_1\) найдем, что \(BP=\sqrt6\):



Аналогично рассмотрим плоскость \(A_1B_1CD\) и найдем \(DP\) по теореме косинусов из \(\triangle DPA_1\):



\(DP=\sqrt6\).
Таким образом, мы доказали, что \(DB=DP=DC_1=BC_1=BP=PC_1=\sqrt6,\) чтд.

 

б) Рассмотрим плоскость \(AA_1C_1C\):



Найдем \(AP\) по теореме косинусов из \(\triangle APA_1\): \[\cos\beta=\dfrac{\sqrt3}3=\dfrac1{\sqrt3}\quad\Rightarrow\quad AP^2=3+16-2\cdot \sqrt3\cdot 4\cdot \dfrac1{\sqrt3}=11\quad\Rightarrow\quad AP=\sqrt{11}.\]

Ответ:

б) \(\sqrt{11}\)

Задание 3

Решите неравенство \[\left(9^x-2\cdot 3^x\right)^2-62\cdot \left(9^x-2\cdot 3^x\right)-63 \geqslant 0\]

ОДЗ неравенства: \(x\in\mathbb{R}\).

 

Сделаем замену: \(9^x-2\cdot 3^x=t\). Тогда неравенство примет вид: \[t^2-62t-63\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (t+1)(t-63)\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &t\leqslant -1\\ &t\geqslant 63 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Пусть \(3^x=z\), тогда \(t=z^2-2z\), следовательно, имеем: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &z^2-2z\leqslant -1\\ &z^2-2z\geqslant 63 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &(z-1)^2\leqslant 0\\ &(z-9)(z+7)\geqslant 0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &z=1\\ &z\geqslant 9\\ &z\leqslant -7 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &3^x=1\\ &3^x\geqslant 9\\ &3^x\leqslant -7 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=0\\ &x\geqslant 2\\ &x\in \varnothing \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Тогда итоговый ответ: \[x\in \{0\}\cup [2;+\infty)\]

Ответ:

\(\{0\}\cup[2;+\infty)\)

Задание 4

Точка \(M\) – середина гипотенузы \(AB\) треугольника \(ABC\). Серединный перпендикуляр к \(AB\) пересекает катет \(BC\) в точке \(N\).

 

а) Докажите, что \(\angle CAN=\angle CMN\).

 

б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников \(ANB\) и \(CBM\), если \(\mathrm{tg}\angle BAC=\dfrac43\).


 

а) Четырехугольник \(CAMN\) является вписанным в окружность, так как \(\angle ACN+\angle AMN=90^\circ+90^\circ=180^\circ\). Следовательно, \(\angle CAN=\angle CMN\) как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу \(CN\).

 

б) Заметим, что \(\triangle ANB\) равнобедренный: \(NM\) – медиана и высота, следовательно, \(AN=NB\).
Так как медиана из прямого угла равна половине гипотенузы, то \(CM=MB\), следовательно, \(\triangle CMB\) также равнобедренный.
Так как \(\angle ABN\) у них общий, то \(\angle NAB=\angle ABN=\angle MCB\), следовательно, эти треугольники подобны.
По теореме синусов радиус описанной около треугольника окружности равен половине отношения стороны к синусу противолежащего угла, следовательно, \[\dfrac{R_{\triangle ANB}}{R_{\triangle CMB}}= \dfrac{\frac{AN}{2\sin B}}{\frac{CM}{2\sin B}}=\dfrac{AN}{CM}\] Так как \(\mathrm{tg}\angle BAC=\dfrac43=\dfrac{BC}{AC}\), то можно принять \(BC=4x, AC=3x\). Тогда \(AB=5x\), следовательно, \(CM=\frac12AB=2,5x\).

Заметим, что \(\triangle ABC\sim \triangle NMB\) по двум углам, следовательно, \[\dfrac{MB}{BC}=\dfrac{NB}{AB} \quad\Rightarrow\quad NB=\dfrac{2,5x\cdot 5x}{4x}=\dfrac{25}8x\] Тогда \(AN=\dfrac{25}8x\). Следовательно, \[\dfrac{R_{\triangle ANB}}{R_{\triangle CMB}}= \dfrac{\frac{25}8}{\frac52}=\dfrac54\]

Ответ:

\(5:4\)

Задание 5

В июне 2020 года планируется взять кредит в банке на 3 года в размере \(A\) млн. рублей, где \(A\) – целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь банк увеличивает сумму долга на \(20\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по май необходимо выплатить часть долга одним платежом;
— в июне каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц и год} & \text{июнь 2020}& \text{июнь 2021} & \text{июнь 2022} & \text{июнь 2023} \\ \hline \text{Долг (в млн. рублей)} & A & 0,8A & 0,4A & 0\\ \hline \end{array}\)

 

Найдите наибольшее значение \(A\), при котором каждый платеж будет менее \(5\) млн. рублей.

Составим таблицу: \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{год} & \text{июнь}& \text{январь} & \text{платеж} \\ \hline 2020 & A & A+0,2A & x_1=0,2A+0,2A\\ \hline 2021 & 0,8A & 0,8A+0,2\cdot 0,8A & x_2=0,2\cdot 0,8A+0,4A\\ \hline 2022 & 0,4A & 0,4A+0,2\cdot 0,4A & x_3=0,2\cdot 0,4A+0,4A\\ \hline 2023 & 0 & &\\ \hline \end{array}\] По условию \[\begin{cases} x_1=0,4A<5\\ x_2=0,56A<5\\ x_3=0,48A<5\end{cases}\quad\Rightarrow\quad A<\dfrac5{0,56}=8\frac{52}{56}\] Следовательно, наибольшее целое \(A=8\).

Ответ: 8

Задание 6

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система \[\begin{cases} |x|+|a|\leqslant 4\\ x^2+8x<16a+48 \end{cases}\]

имеет хотя бы одно решение на отрезке \([-1;0]\).

1 способ. Алгебраический

 

Заметим, что при \(|a|>4\) первое неравенство системы не будет иметь решений (так как тогда \(|x|\) должен быть не больше отрицательного числа), следовательно, и вся система не будет иметь решений.
При \(|a|=4\) решением первого неравенства будет \(x=0\) (\(\in [-1;0]\)). Заметим, что пара \(x=0\) и \(a=4\) является решением второго неравенства, пара \(x=0\) и \(a=-4\) – нет.
Следовательно, \(a=4\) – подходит.

 

1) Пусть \(0<a<4\). Тогда \(|a|=a\) и система перепишется в виде: \[\begin{cases} |x|\leqslant 4-a\\ (x+4)^2<16(a+4)\end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} -4+a\leqslant x\leqslant 4-a\\ -4-4\sqrt{4+a}<x<-4+4\sqrt{4+a} \end{cases}\] Заметим, что \(-4+a<0; \ -4+4\sqrt{4+a}>4>4-a\), \(-4-4\sqrt{4+a}<-4+a\), следовательно:



Таким образом, решением системы будут \(x\in [-4+a;4-a]\), что содержит хотя бы одну точку из \([-1;0]\) (например, \(x=0\)).
Таким образом, все \(a\in (0;4)\) – подходят.

 

2) При \(a=0\) система перепишется в виде: \[\begin{cases} -4\leqslant x\leqslant 4\\ -12<x<4 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad -4\leqslant x<4\] Следовательно, \(a=0\) – подходит.

 

3) Пусть \(-4<a<0\). Тогда \(|a|=-a\) и система примет вид: \[\begin{cases} |x|\leqslant 4+a\\ (x+4)^2<16(4+a) \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} -4-a\leqslant x\leqslant 4+a\\ -4-4\sqrt{4+a}<x<-4+4\sqrt{4+a} \end{cases}\] Заметим, что \(-4-a>-4\), а \(-4-4\sqrt{4+a}<-4\). Также \(-4+4\sqrt{4+a}\leqslant 4+a\) (так как \((4+a)-4\sqrt{4+a}+4\geqslant 0 \ \Rightarrow \ (\sqrt{4+a}-2)^2\geqslant 0\) – верно при всех \(a\in(-4;0)\))
Следовательно, нам подходит такая картинка:



То есть \(-4+4\sqrt{4+a}\) должно быть больше \(-4-a\) (тогда решением будут \(x\in [-4-a;-4+4\sqrt{4+a})\)), а также больше \(-1\) (тогда хотя бы одно число из \([-1;0]\) будет содержаться в решении). \[\begin{cases} -4+4\sqrt{4+a}>-4-a\\ -4+4\sqrt{4+a}>-1 \end{cases}\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} 8-8\sqrt2<a<0\\[1ex] a>-\dfrac{55}{16} \end{cases}\] (так как \(a\in (-4;0)\)).
Для того, чтобы дать окончательный ответ, нужно сравнить числа \(8-8\sqrt2\) и \(-\frac{55}{16}\): \[\begin{aligned} 8\sqrt2-8 &\lor \dfrac{55}{16}\\[1ex] 128\sqrt2 &\lor 183\\ 32768 &\lor 33489\end{aligned}\] Следовательно, \(8\sqrt2-8<\dfrac{55}{16}\), значит, \(8-8\sqrt2>-\dfrac{55}{16}\), следовательно, \(a\in (8-8\sqrt2;0)\).

 

Тогда окончательный ответ для \(a\): \[a\in (8-8\sqrt2;4]\]

 

2 способ. Геометрический

 

Рассмотрим прямоугольную систему координат \(xOa\), где ось \(Oa\) — ось ординат.
Изобразим область, являющуюся решением системы. Тогда те значения \(a\), при которых существуют точки \((x;a)\) из этой области с \(x\in [-1;0]\), пойдут в ответ.

 

Второе неравенство системы можно переписать в виде \[a>\dfrac1{16}(x+4)^2-4\] Следовательно, оно задает область между ветвями параболы \(a=\frac1{16}(x+4)^2-4\) (ветви параболы направлены вверх). Вершина параболы находится в точке \((-4;-4)\), пересекает ось абсцисс парабола в точках \(x=-12\) и \(x=4\) (находятся из уравнения \(0=\frac1{16}(x+4)^2-4\)).


 

Изобразим область, являющуюся решением первого неравенства. При \(x,a\) из \(I\) четверти (то есть \(x>0, a>0\)) неравенство переписывается в виде \(x+a\leqslant 4\quad\Rightarrow\quad a\leqslant 4-x\) и задает область первой четверти, находящуюся под прямой. Аналогично рассмотрев по отдельности случаи, когда \(x, a\) лежат в \(II\), \(III\) и \(IV\) четвертях, найдем, что первое неравенство задает внутренность квадрата:



Тогда зеленая область – область, являющаяся решением системы.
Найдем все \(x\in[-1;0]\) и лежащие в это области. Для этого необходимо найти точку \((x_0;a_0)\) пересечения параболы со стороной квадрата из \(III\) четверти и понять, правее или левее \(-1\) ее абсцисса \(x_0\) (заметим, что эта точка не будет лежать в области, так как граница области, являющаяся частью параболы, не входит в область).
Сторона квадрата в \(III\) четверти задается уравнением \(-x-a=4\), откуда \(a=-(x+4)\). Следовательно, \[-(x+4)=\dfrac1{16}(x+4)^2-4 \quad\Leftrightarrow\quad (x+12)^2=2\cdot 64 \quad\Leftrightarrow\quad x=-12\pm 8\sqrt2\] Так как \(x_0\in (-4;0)\), то подходит \(x_0=-12+8\sqrt2\). Сравним \(-12+8\sqrt2\) и \(-1\): \[\begin{aligned} 12-8\sqrt2 &\lor 1\\ 11 &\lor 8\sqrt2\\ 121 &\lor 128\end{aligned}\] Следовательно, \(12-8\sqrt2<1\), значит, \(-12+8\sqrt2>-1\).



Таким образом, мы видим, что точки из области, лежащие в \([-1;0]\), имеют ординаты \(a\): \[a_0<a\leqslant 4 \quad\Rightarrow\quad -(-12+8\sqrt2+4)<a\leqslant 4 \quad\Rightarrow\quad 8-8\sqrt2<a\leqslant 4\]

Ответ:

\((8-8\sqrt2;4]\)

Задание 7

На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причем любые два из них отличаются не более чем в 3 раза.

 

а) Может ли на доске быть написано 5 чисел, сумма которых равна 47?

 

б) Может ли на доске быть написано 10 чисел, сумма которых равна 94?

 

в) Сколько чисел может быть написано на доске, если их произведение равно 8000?

а) Упорядочим числа в порядке возрастания: \(a_1, \ a_2, \ a_3, \ a_4, \ a_5\). Приведем пример. Пусть \(a_1=6\), \(a_5=17\). Тогда \(a_2+a_3+a_4=24\). Следовательно, можно взять \(a_2=7, \ a_3=8, \ a_4=9\).
Ответ: да.

 

б) Упорядочим числа в порядке возрастания: \(a_1, \ a_2, \ a_3, ..., \ a_{10}\). Тогда \(a_i\leqslant 3a_1\), \(i=2;3;...; 10\). Предположим, что сумма может быть равна \(94\). Тогда \[a_1+a_2+a_3+...+a_{10}=94\leqslant a_1+9\cdot 3a_1=28a_1\] откуда \(a_1\geqslant 4\).
Так как все числа натуральные и различные, то при \(a_1=4\) наибольшее возможное значение \(a_{10}\) – это \(12\). Но тогда между \(4\) и \(12\) не умещается 8 различных чисел.
\((*)\) При \(a=5\) наименьшая сумма достигается, если числа равны \[5; \ 6; \ 7; \ 8; \ 9; \ 10; \ 11; \ 12; \ 13; \ 14,\] и равна \(0,5(5+14)\cdot 10=95>94\).
Заметим, что при увеличении \(a_1\) будет увеличиваться и значение наименьшей возможной суммы, следовательно, таких чисел не существует и ответ: нет.

 

Приведем другое доказательство пункта б):
Так как можно сказать, что \(a_{10}=3a_1-\alpha\), где \(\alpha\) – некоторое неотрицательное целое число, то количество натуральных чисел, находящихся между \(a_{10}\) и \(a_1\), будет равно \(2a_1-1-\alpha\). Так как чисел между \(a_{10}\) и \(a_1\) должно быть 8, то \(2a_1-1-\alpha\geqslant 8\), откуда \(a_1\geqslant 4,5+0,5\alpha\). Следовательно, \(a_1\geqslant 5\).
Далее можно привести то же рассуждение \((*)\).

 

в) Заметим, что \(8000=2^6\cdot 5^3\). Следовательно, любое число, записанное на доске, имеет вид \(2^x\cdot 5^y\) (\(x, y\geqslant 0\) – натуральные).
Начнем пробовать привести пример для двух чисел. Такой пример удается привести: \(a_1=2^6=64\) и \(a_2=5^3=125\).
Приведя пример для двух чисел, пробуем привести пример для трех чисел: \(a_1=2^4=16\), \(a_2=2^2\cdot 5=20\), \(a_3=5^2=25\).
Попробовав привести пример для четырех чисел и безуспешно потратив на это не более 10 минут, задумываемся над тем, что, вполне возможно, примера для четырех чисел не существует. Докажем, что на доске не может быть написано 4 числа и более.
Пусть \(a_1, \ a_2, \ ..., \ a_n\), \(n\geqslant 4\).
Рассмотрим два случая.

 

1) Пусть какое-то \(a_i\) содержит в разложении на простые множители как минимум две пятерки, то есть делится на \(25\): \(a_i=25\cdot k\) (\(k\geqslant 1\)). Тогда оставшиеся числа (их не менее трех) \(\geqslant \frac{25}3\cdot k\geqslant 9\). Тогда произведение всех чисел \(\geqslant 9\cdot 9\cdot 9\cdot 25=18225\), что больше \(8000\). Получили противоречие, следовательно, такого числа среди написанных на доске быть не может.

 

Приведем другое объяснение невозможности существования такого числа.
Если такое число есть, то оно \(\geqslant 25\). Но тогда произведение всех оставшихся чисел \(\leqslant 320\). Но тогда среди оставшихся чисел есть число \(<7\), так как, если бы все они были \(\geqslant 7\), то их произведение было бы \(\geqslant 7\cdot 7\cdot 7=343\) (так как оставшихся чисел как минимум три). Но \(7\cdot 3<25\), что противоречит условию о том, что любые два числа отличаются не более чем в 3 раза.

 

2) Пусть нет числа, в разложении которого на простые множители есть две пятерки, то есть все числа в разложении имеют максимум одну пятерку. Рассмотрим три числа \(a_i\), \(a_j\) и \(a_m\), имеющие в разложении одну пятерку: \(a_i=5k, a_j=5l, a_m=5p\), где \(k,l,p\) – степени двойки. Упорядочим их по возрастанию: пусть \(a_i\) – наименьшее среди них, \(a_m\) – наибольшее. Тогда \(l\geqslant 2k\), а \(p\geqslant 2l\), следовательно, \(p\geqslant 4k\), что невозможно (тогда \(a_m\) более чем в 4 раза больше \(a_i\)). Чтд.

Ответ:

а) да

б) нет

в) 2 или 3