а) Упорядочим числа в порядке возрастания: \(a_1, \ a_2, \ a_3, \
a_4, \ a_5\). Приведем пример. Пусть \(a_1=6\), \(a_5=17\). Тогда \(a_2+a_3+a_4=24\). Следовательно, можно взять \(a_2=7, \ a_3=8, \
a_4=9\).
Ответ: да.
б) Упорядочим числа в порядке возрастания: \(a_1, \ a_2, \ a_3, ...,
\ a_{10}\). Тогда \(a_i\leqslant 3a_1\), \(i=2;3;...; 10\). Предположим, что сумма может быть равна \(94\). Тогда \[a_1+a_2+a_3+...+a_{10}=94\leqslant a_1+9\cdot 3a_1=28a_1\] откуда \(a_1\geqslant 4\).
Так как все числа натуральные и различные, то при \(a_1=4\) наибольшее возможное значение \(a_{10}\) – это \(12\). Но тогда между \(4\) и \(12\) не умещается 8 различных чисел.
\((*)\) При \(a=5\) наименьшая сумма достигается, если числа равны \[5; \ 6; \ 7; \ 8; \ 9; \ 10; \ 11; \ 12; \ 13; \ 14,\] и равна \(0,5(5+14)\cdot 10=95>94\).
Заметим, что при увеличении \(a_1\) будет увеличиваться и значение наименьшей возможной суммы, следовательно, таких чисел не существует и ответ: нет.
Приведем другое доказательство пункта б):
Так как можно сказать, что \(a_{10}=3a_1-\alpha\), где \(\alpha\) – некоторое неотрицательное целое число, то количество натуральных чисел, находящихся между \(a_{10}\) и \(a_1\), будет равно \(2a_1-1-\alpha\). Так как чисел между \(a_{10}\) и \(a_1\) должно быть 8, то \(2a_1-1-\alpha\geqslant 8\), откуда \(a_1\geqslant 4,5+0,5\alpha\). Следовательно, \(a_1\geqslant 5\).
Далее можно привести то же рассуждение \((*)\).
в) Заметим, что \(8000=2^6\cdot 5^3\). Следовательно, любое число, записанное на доске, имеет вид \(2^x\cdot 5^y\) (\(x, y\geqslant 0\) – натуральные).
Начнем пробовать привести пример для двух чисел. Такой пример удается привести: \(a_1=2^6=64\) и \(a_2=5^3=125\).
Приведя пример для двух чисел, пробуем привести пример для трех чисел: \(a_1=2^4=16\), \(a_2=2^2\cdot
5=20\), \(a_3=5^2=25\).
Попробовав привести пример для четырех чисел и безуспешно потратив на это не более 10 минут, задумываемся над тем, что, вполне возможно, примера для четырех чисел не существует. Докажем, что на доске не может быть написано 4 числа и более.
Пусть \(a_1, \ a_2, \ ..., \ a_n\), \(n\geqslant 4\).
Рассмотрим два случая.
1) Пусть какое-то \(a_i\) содержит в разложении на простые множители как минимум две пятерки, то есть делится на \(25\): \(a_i=25\cdot k\) (\(k\geqslant 1\)). Тогда оставшиеся числа (их не менее трех) \(\geqslant \frac{25}3\cdot k\geqslant 9\). Тогда произведение всех чисел \(\geqslant 9\cdot 9\cdot 9\cdot 25=18225\), что больше \(8000\). Получили противоречие, следовательно, такого числа среди написанных на доске быть не может.
Приведем другое объяснение невозможности существования такого числа.
Если такое число есть, то оно \(\geqslant 25\). Но тогда произведение всех оставшихся чисел \(\leqslant 320\). Но тогда среди оставшихся чисел есть число \(<7\), так как, если бы все они были \(\geqslant 7\), то их произведение было бы \(\geqslant 7\cdot 7\cdot 7=343\) (так как оставшихся чисел как минимум три). Но \(7\cdot 3<25\), что противоречит условию о том, что любые два числа отличаются не более чем в 3 раза.
2) Пусть нет числа, в разложении которого на простые множители есть две пятерки, то есть все числа в разложении имеют максимум одну пятерку. Рассмотрим три числа \(a_i\), \(a_j\) и \(a_m\), имеющие в разложении одну пятерку: \(a_i=5k, a_j=5l, a_m=5p\), где \(k,l,p\) – степени двойки. Упорядочим их по возрастанию: пусть \(a_i\) – наименьшее среди них, \(a_m\) – наибольшее. Тогда \(l\geqslant 2k\), а \(p\geqslant 2l\), следовательно, \(p\geqslant 4k\), что невозможно (тогда \(a_m\) более чем в 4 раза больше \(a_i\)). Чтд.
Ответ:
а) да
б) нет
в) 2 или 3