Математика
Русский язык

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на нахождение наибольшего/наименьшего значения величины

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

В прямоугольной комнате площадью 42 м\(^2\) требуется установить плинтусы по всему периметру. Стоимость 1 м плинтуса составляет 280 рублей. При каких целых линейных размерах комнаты затраты на покупку плинтуса будут наименьшими?

Добавить задание в избранное

1 способ.

 

Пусть ширина комнаты равна \(a\) м, а длина – \(b\) м. Тогда \(a\cdot b=42 \Rightarrow a=\dfrac{42}{b}\). Запишем, сколько составит затрата на плинтус:

\(Sum = 280\cdot 2(a+b)=280\cdot 2\left(b+\dfrac{42}{b}\right)\).

Наименьшее значение этого выражения будет достигаться при наименьшем значении выражения \(b+\dfrac{42}{b}\). Рассмотрим функцию \(f(x)=x+\dfrac{42}{x}\).

\(f'(x)=1-\dfrac{42}{x^2}\)

\(f'(x)=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pm \sqrt{42}\)
Т.к. \(0<x\leqslant 42\), потому что это ширина комнаты площадью 42 м\(^2\) \(\Rightarrow\) при \(0<x<\sqrt{42}\) функция \(f(x)\) убывает, а при \(\sqrt{42}<x\leqslant 42\) – возрастает. Следовательно, наименьшее значение будет достигаться в \(x=\sqrt{42}\). Но так как \(x\) – целое, а \(6<\sqrt{42}<7\), то наименьшее значение будет достигаться либо при \(x=6\), либо при \(x=7\).

 

Если \(x=6\), то есть \(b=6\), то \(a=7\). И наоборот, если \(x=b=7\), то \(a=6\). Следовательно, размеры комнаты \(6\times 7\).

 

2 способ.

 

Разложим 42 на простые множители: \(42=2\cdot 3\cdot 7\).

Так как ширина и длина – целые числа, то возможные варианты: \(2\) и \(21\); \(3\) и \(14\); \(6\) и \(7\); \(1\) и \(42\).

Тогда затрата на плинтус в этих случаях составит:
\(280\cdot 2(2+21)\); \(280\cdot 2(3+14)\); \(280\cdot 2(6+7)\); \(280\cdot 2(1+42)\) соответственно. Заметим, что наименьшее значение достигается при размерах комнаты \(6\times 7\).

Ответ:

\(6\times 7\).

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Компания изготавливает и продает изделия. Если одно изделие стоит \(2000\) рублей, то реализуется \(1000\) штук изделий. При снижении средней цены одного изделия на \(50\) рублей объемы реализации возрастают на \(50\) штук. При какой цене фирма получит максимальный доход и каково его значение?

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Пусть цена изделия снижалась \(k\) раз. Тогда цена изделия равна \(2000-50k\) рублей, а количество изготовленных изделий равно \(1000+50k\). Тогда доход фирмы равен \[D(k)=(1000+50k)(2000-50k)=50^2(20+k)(40-k)\] Нужно найти наибольшее значение функции \(D(k)\). Заметим, что графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, наибольшее значение она принимает в вершине: \[k_0=10.\] Следовательно, максимальный доход равен \[D_{max}=50^2(20+10)(40-10)=2\,250\,000,\] а цена изделия равна \[2000-50\cdot 10=1500.\]

Ответ:

\(1500\) рублей, \(2\,250\,000\) рублей

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В январе 2014 года процентная ставка по депозитам в банке составила \(x\%\) годовых, а в январе 2015 года – \(y\%\) годовых. Вкладчик положил на счет в этом банке в январе 2014 года некоторую сумму денег. В январе 2015 года, спустя год после открытия счета, он снял со счета пятую часть от той суммы, которую положил в 2014 году. Найдите значение \(x\), при котором сумма на счете в январе 2016 года будет наибольшей, если известно, что \(x+y=30\).

 

(пробный ЕГЭ 2015)

Добавить задание в избранное

Пусть вкладчик положил на счет \(A\) рублей. Тогда спустя год, то есть в 2015 году, на счете уже будет \((1+0,01x)A\) рублей. Затем вкладчик снял со счета \(\frac15A\), следовательно, на счете осталось \((1+0,01x)A-\frac15A\) рублей. Тогда в январе 2016 года на счете будет \((1+0,01y)\big((1+0,01x)A-\frac15A\big)=(1+0,01y)(1+0,01x-0,2)A\) рублей.
Выразим \(y=30-x\) и рассмотрим функцию: \[f(x)=(1+0,01(30-x))(1+0,01x-0,2)=\dfrac1{10^4}\cdot (-x^2+50x+130\cdot 80)\]

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, наибольшее значение она принимает в вершине: \(x_0=\frac{-50}{-2}=25\). Таким образом, наибольшая сумма на счете в январе 2016 года будет при \(x=25\).

Ответ: 25

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Часть денег от суммы 400 млн. рублей размещена в банке под \(12\%\) годовых, а другая часть инвестирована в производство, причем через год эффективность вложения ожидается в размере \(250\%\) (то есть вложенная сумма \(x\) млн. рублей оборачивается в капитал \(2,5x\) млн. рублей), затем отчисляются деньги на издержки, которые задаются квадратичной зависимостью \(0,0022x^2\) млн. рублей. Разность между капиталом и издержками в производстве облагается налогом в \(20\%\). Как распределить капитал между банком и производством, чтобы через год получить общую максимальную прибыль от размещения в банк и вложения денег в производство? Сколько млн. рублей составит эта прибыль?

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Пусть в банк было вложено \(A\) млн. рублей, а в производство – \(B\) млн. рублей. Тогда \(A+B=400\).
Тогда на счету в банке через год будет \(1,12A\) млн. рублей.
Через год вложенная сумма в производство обернется в \(2,5B\) млн. рублей. На издержки отдадут \(0,0022B^2\) млн. рублей, тогда останется \(2,5B-0,0022B^2\) млн. рублей. Эта сумма облагается налогом в \(20\%\), то есть остается от этой суммы только \(80\%\), то есть \(0,8\cdot (2,5B-0,0022B^2)\).
Таким образом, доход по истечении одного года будет равна \[P=1,12A+0,8\cdot (2,5B-0,0022B^2).\] Необходимо найти максимальное значение этого выражения, зная, что \(A+B=400\). Тогда прибыль будет равна \(P-400\). Выразим \(A=400-B\) и подставим в \(P\): \[P=-0,8\cdot 0,0022B^2+0,88B+448.\] Данная функция является квадратичной, ее графиком является парабола с ветвями, направленными вниз. Следовательно, максимальное значение функция принимает в вершине параболы: \[B_0=\dfrac{-0,88}{2\cdot (-0,8\cdot 0,0022)}=250.\] Следовательно, при \(B=250\) выражение \(P\) принимает наибольшее значение: \[P(250)=558.\] Следовательно, максимальный доход равен \(558-400=158\) млн. рублей.
Причем \(A=400-250=150\) млн. рублей.

Ответ:

В банк 150 млн. рублей, в производство 250 млн. рублей.

Прибыль составит 158 млн. рублей.

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Строительство нового завода стоит 76 млн. рублей. Затраты на производство \(x\) тысяч единиц продукции на таком заводе равны \(Z=0,5x^2+3x+13\) млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене \(q\) тысяч рублей за единицу, то прибыль в млн. рублей за один год составит \(qx-Z\). Когда завод будет построен, планируется выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении \(q\) строительство завода окупится не более, чем за 4 года?

 

(ЕГЭ 2015, резервный день)

Добавить задание в избранное

Так как строительство завода должно окупиться не более, чем за 4 года, то прибыль за 4 года должна составить не менее 76 млн. рублей. Следовательно, \[4(qx-(0,5x^2+3x+13))\geqslant 76 \quad\Leftrightarrow\quad qx-0,5x^2-3x-13\geqslant 19\] \(q\) принимает такие значения, при которых прибыль (значение выражения \(qx-0,5x^2-3x-13\)) будет наибольшей. Следовательно, наибольшее значение выражения \(qx-0,5x^2-3x-13\) должно быть \(\geqslant 19\).
Функция \(y=qx-0,5x^2-3x-13=-0,5x^2+(q-3)x-13\) является квадратичной, ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, наибольшее значение она принимает в своей вершине, то есть в точке \(x_0=\dfrac{-(q-3)}{2\cdot (-0,5)}=q-3\). Значит, \[-0,5(q-3)^2+(q-3)(q-3)-13\geqslant 19 \quad\Leftrightarrow\quad (q-3)^2\geqslant 64 \quad\Rightarrow\quad q\geqslant 11.\] Следовательно, наименьшее подходящее \(q=11\).

Ответ: 11

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Андрей владеет двумя заводами. Если на заводе рабочие суммарно трудятся \(t^2\) часов в неделю, то они производят \(t\) товаров. Заработная плата рабочего за час работы на первом заводе составляет 200 рублей, а на втором – 300 рублей. Андрей хочет выделять на заработную плату рабочим в неделю 2,7 млн. рублей и при этом получать наибольшее количество произведенных товаров. Определите, сколько в этом случае должно быть произведено товаров на каждом заводе.

Добавить задание в избранное

Пусть на первом заводе рабочие трудились \(t^2\) часов, тогда завод выпустил \(t\) единиц продукции; пусть на втором трудились \(p^2\) часов, тогда завод выпустил \(p\) продукции. Следовательно, необходимо найти такие целые неотрицательные \(p\) и \(t\), чтобы значение величины \(T=t+p\) было наибольшим. Так как заработная плата в час на первом заводе составляет \(200\) рублей, а на втором – \(300\) рублей, то \(2\,700\,000=200t^2+300p^2\).
Выразим \(t=T-p\) и подставим в уравнение: \[2\,700\,000=200(T-p)^2+300p^2 \quad\Leftrightarrow\quad 5p^2-4Tp+2T^2-27\,000=0\] Данное уравнение должно иметь корни, следовательно, его дискриминант должен быть неотрицательным: \[D=16T^2-4\cdot 5(2T^2-27\,000)=4\cdot 5\cdot 27\,000-24T^2\geqslant 0\] Отсюда получаем, что \[T^2\leqslant \dfrac{5\cdot 27\,000}{6}=5^2\cdot10^2\cdot 3^2,\] следовательно, \(T\in [0;150]\) (учитывая, что \(T\geqslant 0\), так как это количество продукции). Следовательно, наибольшее возможное \(T\) – это \(T=150\).
Тогда \[p=\dfrac{4\cdot 150}{2\cdot 5}=60 \quad\Rightarrow\quad t=150-60=90.\]

Ответ:

60 и 90

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На двух заводах, которыми владеет Александр, производят одинаковый товар. Если на первом заводе рабочие суммарно трудятся \(t^2\) часов в неделю, то они производят \(t\) товаров. Если на втором заводе рабочие трудятся \(t^2\) часов в неделю, то они производят \(2t\) товаров. Заработная плата рабочего за час работы составляет 300 рублей. Найдите наименьшую сумму, которую должен потратить на зарплаты рабочим в неделю Александр, чтобы оба завода произвели 600 единиц товара. Ответ дайте в млн. рублей.

Добавить задание в избранное

Пусть на первом заводе рабочие трудились \(t^2\) часов, тогда завод выпустил \(t\) единиц продукции; пусть на втором трудились \(p^2\) часов, тогда завод выпустил \(2p\) товаров. Тогда \(600=t+2p\). Так как заработная плата в час составляет \(300\) рублей, то сумма, которую должен заплатить Александр в неделю на зарплату рабочим, равна \[A=300(t^2+p^2)\] Выразим \(t=600-2p\) и подставим: \[A=A(p)=300(5p^2-4\cdot 600\cdot p+600^2)\] Таким образом, необходимо найти минимальное значение функции \(A(p)\), если \(2p\) – целое неотрицательное число (потому что это количество товаров), причем не превышающее \(600\) (так как иначе \(t\) будет отрицательным, что невозможно, так как это тоже количество товаров).
Заметим, что функция \(A(p)\) представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке \(p_0=\dfrac{4\cdot 600}{2\cdot 5}=240.\)

Следовательно, \(p_0\) и есть точка минимума (причем \(2p_0\in [0;600]\) – подходит), следовательно, при \(p=240\) значение функции будет наименьшим.
Тогда \(t=600-2p=600-480=120\). Таким образом, \[A_{min}=300\cdot (240^2+120^2)=21\,600\,000.\]

Ответ: 21,6