В прямоугольной комнате площадью 42 м\(^2\) требуется установить плинтусы по всему периметру. Стоимость 1 м плинтуса составляет 280 рублей. При каких целых линейных размерах комнаты затраты на покупку плинтуса будут наименьшими?
1 способ.
Пусть ширина комнаты равна \(a\) м, а длина – \(b\) м. Тогда \(a\cdot
b=42 \Rightarrow a=\dfrac{42}{b}\). Запишем, сколько составит затрата на плинтус:
\(Sum = 280\cdot 2(a+b)=280\cdot 2\left(b+\dfrac{42}{b}\right)\).
Наименьшее значение этого выражения будет достигаться при наименьшем значении выражения \(b+\dfrac{42}{b}\). Рассмотрим функцию \(f(x)=x+\dfrac{42}{x}\).
\(f'(x)=1-\dfrac{42}{x^2}\)
\(f'(x)=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pm \sqrt{42}\)
Т.к. \(0<x\leqslant 42\), потому что это ширина комнаты площадью 42 м\(^2\) \(\Rightarrow\) при \(0<x<\sqrt{42}\) функция \(f(x)\) убывает, а при \(\sqrt{42}<x\leqslant 42\) – возрастает. Следовательно, наименьшее значение будет достигаться в \(x=\sqrt{42}\). Но так как \(x\) – целое, а \(6<\sqrt{42}<7\), то наименьшее значение будет достигаться либо при \(x=6\), либо при \(x=7\).
Если \(x=6\), то есть \(b=6\), то \(a=7\). И наоборот, если \(x=b=7\), то \(a=6\). Следовательно, размеры комнаты \(6\times 7\).
2 способ.
Разложим 42 на простые множители: \(42=2\cdot 3\cdot 7\).
Так как ширина и длина – целые числа, то возможные варианты: \(2\) и \(21\); \(3\) и \(14\); \(6\) и \(7\); \(1\) и \(42\).
Тогда затрата на плинтус в этих случаях составит:
\(280\cdot 2(2+21)\); \(280\cdot 2(3+14)\); \(280\cdot 2(6+7)\); \(280\cdot
2(1+42)\) соответственно. Заметим, что наименьшее значение достигается при размерах комнаты \(6\times 7\).
Ответ:
\(6\times 7\).