Математика
Русский язык

Тренировочные варианты "Школково". Уровень школьник

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Уровень школьник. Тренировочный вариант №5

Задание 1

Евро стоит \(90\) рублей. Какое наибольшее количество евро можно будет купить на \(2000\) рублей, когда он подорожает на \(20\%\)?

После подорожания евро будет стоить \(90 \cdot (1 + 0,2) = 108\) рублей. По условию задачи надо найти наибольшее целое число, при умножении которого на \(108\) результат останется не больше \(2000\). Это число получается после округления в меньшую сторону результата от деления \(2000\) на \(108\) и равно \(18\).

Ответ: 18

Задание 2

На диаграмме показано количество посетителей сайта Galois.ru во все дни первых двух недель сентября \(2013\) года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали – количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, какого числа количество посетителей сайта Galois.ru было наибольшим за указанный период.



По диаграмме видно, что наибольшее количество посетителей за указанный период было \(10\) числа.

Ответ: 10

Задание 3

В прямоугольнике \(ABCD\): \(AB = \dfrac{2}{5}BC\), периметр \(ABCD\) равен \(42\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).



Так как прямоугольник является частным случаем параллелограмма, то у него противоположные стороны равны, тогда \(2\cdot AB + 2\cdot BC = 42\), что при \(AB = \dfrac{2}{5}BC\) равносильно \(\dfrac{4}{5}BC + 2\cdot BC = 42\), откуда находим \(BC = 15\), значит, \(AB = 6\).

Треугольники \(ABC\) и \(ADC\) равны по двум катетам, тогда их площади равны, следовательно, площадь треугольника \(ABC\) равна половине площади \(ABCD\) и равна \(0,5\cdot 6\cdot 15 = 45\).

Ответ: 45

Задание 4

Если Тимур играет белыми шашками, то он выигрывает у Вани с вероятностью \(0,72\). Если Тимур играет черными шашками, то он выигрывает у Вани с вероятностью \(0,63\). Тимур и Ваня играют две партии, причем во второй партии меняют цвет шашек. Найдите вероятность того, что Ваня выиграет оба раза.

Ваня выигрывает белыми с вероятностью \(0,37\), а черными с вероятностью \(0,28\). События “из двух партий Ваня выиграл белыми”\(\ \)и “из двух партий Ваня выиграл черными”\(\ \)– независимы, тогда вероятность их одновременного наступления равна \[0,37 \cdot 0,28 = 0,1036.\]

Ответ: 0,1036

Задание 5

Найдите корень уравнения \(\dfrac{4}{7}x^2 = 46\dfrac{2}{7}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них.

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

После умножения на 7 левой и правой частей имеем \(4x^2 = 324\), что равносильно \(x^2 = 81\), что равносильно \(x = \pm 9\) – подходят по ОДЗ. Таким образом, больший из корней \(9\).

Ответ: 9

Задание 6

В прямоугольнике \(ABCD\) известно, что \(BC:AB = 2:1\), \(AC\) – диагональ. Найдите отношение косинуса угла \(CAD\) к косинусу угла \(ACD\).





По определению косинуса и синуса острого угла в прямоугольном треугольнике получаем, что \(\cos{\angle ACD} = \sin{\angle CAD}\), тогда \[\dfrac{\cos{\angle CAD}}{\cos{\angle ACD}} = \dfrac{\cos{\angle CAD}}{\sin{\angle CAD}} = \mathrm{ctg}\, \angle CAD = \dfrac{AD}{CD} = \dfrac{BC}{AB} = 2.\]

Ответ: 2

Задание 7

На рисунке изображены график функции \(y = f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0\). Найдите значение производной функции \(f'(x)\) в точке \(x_0\).

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна тангенсу угла наклона касательной к графику \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) (то есть угла между касательной к графику \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) и положительным направлением оси \(Ox\)).

По рисунку видно, что касательная проходит через точки \((0,5; 0)\) и \((1; 1)\), тогда тангенс угла наклона касательной составляет \(1 : 0,5 = 2\), следовательно, \(f'(x_0) = 2\).

Ответ: 2

Задание 8

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб. Точка \(K\) лежит на ребре \(AA_1\). Найдите угол между прямыми, содержащими отрезки \(D_1K\) и \(AB\). Ответ дайте в градусах.




 

Так как \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб, то \(AB\) перпендикулярен плоскости \((ADD_1)\), тогда \(AB\) перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости \((ADD_1)\), следовательно, угол между прямыми, содержащими отрезки \(D_1K\) и \(AB\), равен \(90^{\circ}\).

Ответ: 90

Задание 9

Найдите значение выражения \(\sqrt[3]{(-36)^2 - (-28)^2}\).

\[\sqrt[3]{(-36)^2 - (-28)^2} = \sqrt[3]{36^2 - 28^2}.\] Выражение под корнем можно преобразовать по формуле для разности квадратов: \[36^2 - 28^2 = (36 - 28)\cdot (36 + 28) = 8 \cdot 64 = 8\cdot 8^2 = 8^3.\] В итоге исходное выражение равносильно \(\sqrt[3]{8^3} = 8\).

Ответ: 8

Задание 10

Относительное удлинение твёрдого стержня может быть найдено по формуле \[\mathcal{E} = \dfrac{l - l_0}{l_0},\] где \(l_0\) – начальная длина стержня (в метрах), \(l\) – конечная длина (в метрах). Длина стержня сначала увеличилась (состояние \(1\)) в \(1,2\) раза, а затем уменьшилась (состояние \(2\)) и стала составлять \(80\%\) от длины, которая была в состоянии \(1\). Какое относительное удлинение получил стержень в состоянии \(2\) по отношению к первоначальному состоянию?

В состоянии \(1\) длина стержня стала \(1,2l_0\), а после перехода в состояние \(2\) она стала составлять \[\dfrac{80}{100}\cdot 1,2l_0 = 0,96l_0.\] Таким образом, относительное удлинение, которое получил стержень в состоянии \(2\) по отношению к первоначальному состоянию, равно \[\mathcal{E} = \dfrac{0,96l_0 - l_0}{l_0} = -0,04.\]

Ответ: -0,04

Задание 11

Два мотоциклиста стартуют одновременно из одной точки круговой трассы в разных направлениях. Скорость первого мотоциклиста в два раза больше, чем скорость второго. Через час после старта они встретились в третий раз (считайте, что в первый раз они встретились уже после старта). Найдите скорость первого мотоциклиста, если длина трассы \(40\, км\). Ответ дайте в км/ч.

В тот момент, когда мотоциклисты встретились в третий раз, суммарное расстояние, которое они проехали, было \(3 \cdot 40 = 120\, км\).

Так как скорость первого в \(2\) раза больше, чем скорость второго, то он проехал из \(120\, км\) часть в \(2\) раза большую, чем второй, то есть \(80\, км\).

Так как встретились в третий раз они через час, то \(80\, км\) первый проехал за час. Его скорость \(80\, км/ч\).

Ответ: 80

Задание 12

Найдите точку локального минимума функции \(y = \dfrac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8x + 2\).

1) \(y' = x^2 - 6x + 8\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):

\(x^2 - 6x + 8 = 0\), откуда находим корни \(x_1 = 2, \ x_2 = 4\). Таким образом, \[y' = (x-2)(x-4).\] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика \(y\):


 

Таким образом, \(x = 4\) – точка локального минимума функции \(y\).

Ответ: 4

Задание 13

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \cos^3{x} + 3\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((0; 2\pi)\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Данное уравнение является уравнением третьей степени относительно \(\cos{x}\). Сделаем замену \(\cos x = t\): \[t^3 + 3t^2 + 3t + 1 = 0.\] Полученное уравнение равносильно \[(t + 1)^3 = 0,\] откуда \(t = -1\), следовательно, \[\cos x = -1.\] Решения этого уравнения имеют вид \(x = \pi + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[0 < \pi + 2\pi k < 2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\pi < 2\pi k < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{1}{2} < k < \dfrac{1}{2},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда среди этих решений подходит только решение при \(k = 0\): \(x = \pi\).

Ответ:

а) \(\pi + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\pi\).

Задание 14

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). На ребрах \(AA_1\) и \(BC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причем \(AM:MA_1=2:1\), а \(N\) – середина \(BC\). Найдите сечение куба плоскостью \(DMN\).


 

Т.к. грани \(ADD_1A_1\) и \(BCC_1B_1\) куба параллельны, то плоскость \(DMN\) пересечет их по параллельным прямым. Таким образом, проведем \(NK\parallel DM\). Таким образом, \(DNKM\) – искомое сечение.

 

Необходимо найти точное расположение точки \(K\).

Обозначим ребро куба за \(6x\). Т.к. \(\bigtriangleup ADM \sim \bigtriangleup BNK \Rightarrow \dfrac{BK}{AM}=\dfrac{BN}{AD} \Rightarrow BK=2x\). Таким образом, \(BK:KB_1=1:2\).

Ответ:

Рисунок.

Задание 15

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{x^2} x\leqslant 5 + \log_{x^3} x^2 \end{aligned}\]

ОДЗ: \[\begin{cases} x^2 > 0\\ x^2\neq 1\\ x > 0\\ x^3 > 0\\ x^3\neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x > 0\\ x\neq 1 \end{cases}\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &\dfrac{1}{2}\log_{|x|} x\leqslant 5 + \dfrac{2}{3}\log_{x} x\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{1}{2}\log_{x} x\leqslant 5 + \dfrac{2}{3}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{2}\leqslant 5 + \dfrac{2}{3}\,. \end{aligned}\]

Таким образом, исходное неравенство верно на ОДЗ: \[x\in(0; 1)\cup(1; +\infty).\]

Ответ:

\((0; 1)\cup(1; +\infty)\)

Задание 16

На сторонах \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) отмечены точки \(D\) и \(E\) соответственно, \(O\) – точка пересечения \(AE\) и \(CD\). При этом \(\angle EAC = \angle DCB\), \(\angle BAE = \angle OBC\).

а) Докажите, что \(E\) – середина \(BC\).

б) Точка \(A_1\) симметрична точке \(A\) относительно прямой \(BC\). Сколько различных окружностей можно описать около четырёхугольника \(OBA_1C\)?

а) Рассмотрим треугольники \(AEC\) и \(OEC\): \(\angle EAC = \angle DCB\), \(\angle AEC\) – общий, тогда треугольники \(AEC\) и \(OEC\) подобны (по двум углам), откуда \[\dfrac{EC}{AE} = \dfrac{OE}{EC}\qquad\Rightarrow\qquad EC^2 = OE\cdot AE.\]

Рассмотрим треугольники \(ABE\) и \(OBE\): \(\angle BAE = \angle OBC\), \(\angle AEB\) – общий, тогда треугольники \(ABE\) и \(OBE\) подобны (по двум углам), откуда \[\dfrac{BE}{AE} = \dfrac{OE}{BE}\qquad\Rightarrow\qquad BE^2 = OE\cdot AE = EC^2,\] откуда в силу того, что \(BE > 0\), \(EC > 0\), получаем: \(BE = EC\).


 

б) Пусть \(AF\) – высота в треугольнике \(ABC\). Так как точка \(A_1\) симметрична точке \(A\) относительно прямой \(BC\), то \(AF = FA_1\), тогда треугольники \(ABF\) и \(A_1BF\) равны по двум катетам (\(BF\) – общий), следовательно, \(AB = A_1B\).


 

Аналогично треугольники \(AFC\) и \(A_1FC\) равны, откуда \(AC = A_1C\).

Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(A_1BC\): \(BC\) – общая, \(AB = A_1B\), \(AC = A_1C\), тогда треугольники \(ABC\) и \(A_1BC\) равны по трём сторонам, тогда \(\angle BAC = \angle BA_1C\). \[\angle BOC = 180^\circ - \angle OBC - \angle OCB = 180^\circ - \angle BAE - \angle EAC = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - \angle BA_1C,\] тогда \(\angle BOC + \angle BA_1C = 180^\circ\). Так как \(A_1BOC\) – четырёхугольник, то сумма его углов равна \(360^\circ\), следовательно, суммы его противоположных углов равны по \(180^\circ\) и, значит, около него можно описать окружность (и притом только одну).

Ответ:

б) \(1\).

Задание 17

Алексей решил внести некоторую сумму \(A\) рублей в банк под целое число \(y\) процентов годовых. Каждый год после начисления процентов он дополнительно вносит на счет сумму, равную половине от той, которая находилась на счете у Алексея в начале текущего года. Какая наименьшая процентная ставка \(y\) должна быть у банка, чтобы к концу третьего года (после внесения третьей дополнительной суммы) сумма на счете была не менее \(8A\) рублей?

Составим таблицу, обозначив за \(t=\dfrac{100+y}{100}\): \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма на счете} & \text{Сумма на счете} & \text{Сумма на счете}\\ & \text{до начисления }\% & \text{после начисления }\% & \text{после дополнительного взноса} \\ \hline &&&\\ 1 & A & tA & tA+\frac{1}{2}A\\ &&&\\ \hline &&&\\ 2 & tA+\frac{1}{2}A & t(tA+\frac{1}{2}A) & t(tA+\frac{1}{2}A)+\frac{1}{2}(tA+\frac{1}{2}A) \\ &&&\\ \hline &&&\\ 3 & t(tA+\frac{1}{2}A)+\frac{1}{2}(tA+\frac{1}{2}A) & t(t(tA+\frac{1}{2}A)+\frac{1}{2}(tA+\frac{1}{2}A)) & t(t(tA+\frac{1}{2}A)+\frac{1}{2}(tA+\frac{1}{2}A))+\\ &&&\\ &&& +\frac{1}{2}(t(tA+\frac{1}{2}A)+\frac{1}{2}(tA+\frac{1}{2}A))\\ &&&\\ \hline \end{array}\]

По условию итоговая сумма на счете должна быть не менее \(8A \Rightarrow\)

\(t(t(tA+\frac{A}{2})+\frac{1}{2}(tA+\frac{1}{2}A))+\frac{1}{2}(t(tA+\frac{1}{2}A)+\frac{1}{2}(tA+\frac{1}{2}A)) \geqslant 8A\)

Преобразовав левую часть неравенства, получим:

\(t^3A+\dfrac{3t^2A}{2}+\dfrac{3tA}{4}+\dfrac{A}{8} \geqslant 8A \Longleftrightarrow \dfrac{A(2t+1)^3}{8} \geqslant 8A\)

Решив данное неравенство, получим: \(t \geqslant 1,5 \Rightarrow y \geqslant 50\)

Таким образом, наименьшее целое значение \(y=50\%\).

Ответ:

\(50\%\).

Задание 18

Решите уравнение \(ax+a^2=0\) при всех значениях параметра \(a\).

Уравнение можно переписать в виде \(ax=-a^2\). Рассмотрим два случая:

1) \(a=0\). В этом случае левая и правая части равны \(0\), следовательно, уравнение верно при любых значениях переменной \(x\).

2) \(a\ne 0\). Тогда \(x=-a\).

Ответ:

\(a=0 \Rightarrow x\in \mathbb{R}; \\ a\ne 0 \Rightarrow x=-a\).

Задание 19

Найдите последнюю цифру числа:

а) \(3^{33}\)

б) \(57^{57}\)

в) \(2016^{2016}\)

а) Заметим, что последняя цифра произведения двух натуральных чисел такая же, как последняя цифра произведения последних цифр этих двух чисел.

То есть предположим, что нам нужно найти последнюю цифру произведения чисел \(457\) и \(369\). Для этого нам нужно перемножить последние цифры этих чисел, то есть \(7\cdot 9 = 63\), и так последняя цифра у \(63\) – это \(3\), то последняя цифра произведения чисел \(457\) и \(369\) тоже \(3\).

Пользуясь этим правилом, составим последовательность последних цифр степеней тройки:

\[3, \ 9, \ 7, \ 1, \ 3, \ 9, \ 7, \ 1, \cdots\]

Заметим, что в этой последовательности блоки по четыре цифры \(3,\ 9, \ 7, \ 1\) повторяются, значит, последняя цифра числа \(3^{33}\) зависит от того, какой остаток будет давать число \(33\) при делении на \(4\) (так как блоки по \(4\) цифры).

Так как остаток \(33\) при делении на \(4\) равен \(1\), то \(3^{33}\) заканчивается на такую же цифру как и \(3^1\). Таким образом, последняя цифра числа \(3^{33}\) – это \(3\).

б) Аналогично решая данный пункт задачи, найдем, что последняя цифра числа \(57^{57}\) – это \(7\).

в) Аналогично решая данный пункт задачи, найдем, что последняя цифра числа \(2016^{2016}\) – это \(6\).

Ответ:

а) \(3\)

б) \(7\)

в) \(6\).