а) Заметим, что последняя цифра произведения двух натуральных чисел такая же, как последняя цифра произведения последних цифр этих двух чисел.
То есть предположим, что нам нужно найти последнюю цифру произведения чисел \(457\) и \(369\). Для этого нам нужно перемножить последние цифры этих чисел, то есть \(7\cdot 9 = 63\), и так последняя цифра у \(63\) – это \(3\), то последняя цифра произведения чисел \(457\) и \(369\) тоже \(3\).
Пользуясь этим правилом, составим последовательность последних цифр степеней тройки:
\[3, \ 9, \ 7, \ 1, \ 3, \ 9, \ 7, \ 1, \cdots\]
Заметим, что в этой последовательности блоки по четыре цифры \(3,\ 9, \ 7, \ 1\) повторяются, значит, последняя цифра числа \(3^{33}\) зависит от того, какой остаток будет давать число \(33\) при делении на \(4\) (так как блоки по \(4\) цифры).
Так как остаток \(33\) при делении на \(4\) равен \(1\), то \(3^{33}\) заканчивается на такую же цифру как и \(3^1\). Таким образом, последняя цифра числа \(3^{33}\) – это \(3\).
б) Аналогично решая данный пункт задачи, найдем, что последняя цифра числа \(57^{57}\) – это \(7\).
в) Аналогично решая данный пункт задачи, найдем, что последняя цифра числа \(2016^{2016}\) – это \(6\).
Ответ:
а) \(3\)
б) \(7\)
в) \(6\).