Математика
Русский язык

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Квадратные и линейные уравнения

Линейное уравнение – уравнение, сводящееся к виду \(\large{ax+b=0}\), где \(a\ne 0, b\) – числа.
Линейное уравнение всегда имеет единственное решение \(x=-\dfrac ba\).

 

Квадратное уравнение – уравнение, сводящееся к виду \(\large{ax^2+bx+c=0}\), где \(a\ne 0,b,c\) – числа.
Выражение \(D=b^2-4ac\) называется дискриминантом квадратного уравнения.
Квадратное уравнение может иметь не более двух корней:

 

\(\bullet\) если \(D>0\), то оно имеет два различных корня

\[x_1=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} \quad \text{и} \quad x_2=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}\]

\(\bullet\) если \(D=0\), то оно имеет один корень (иногда говорят, что два совпадающих)

\[x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}\]

\(\bullet\) если \(D<0\), то оно не имеет корней.

 

\(\blacktriangleright\) Теорема Виета для квадратного уравнения:

 

Если квадратное уравнение имеет неотрицательный дискриминант, то сумма корней уравнения

\[{\large{x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}}}\]

а произведение

\[{\large{x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}}}\]

\(\blacktriangleright\) Если квадратное уравнение:

 

\(\sim\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), то \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).

 

\(\sim\) имеет один корень \(x_1\) (иногда говорят, что два совпадающих), то \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2\).

 

\(\sim\) не имеет корней, то квадратный трехчлен \(ax^2+bc+c\) никогда не может быть равен нулю. Более того, он при всех \(x\) строго одного знака: либо положителен, либо отрицателен.

 

\(\blacktriangleright\) Полезные формулы сокращенного умножения:

 

\[\begin{aligned} &x^2-y^2=(x-y)(x+y)\\ &(x+y)^2=x^2+2xy+y^2\\ &(x-y)^2=x^2-2xy+y^2 \end{aligned}\]

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{2}{9}x = 4\dfrac{1}{9}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Умножим левую и правую часть уравнения на 9. После умножения: \(2x = 37\), что равносильно \(x = 18,5\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 18,5

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(-\dfrac{4}{3}x = 5\dfrac{2}{3}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Умножим левую и правую часть уравнения на \(-3\). После умножения: \(4x = -17\), что равносильно \(x = -4,25\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -4,25

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(x^2 - 11x + 28 = 0\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Дискриминант данного уравнения \(D = 121 - 28 \cdot 4 = 121 - 112 = 9 = 3^2\). Корни \[x_1 = \dfrac{11 + 3}{2} = 7, \ x_2 = \dfrac{11 - 3}{2} = 4\] – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = 7\) – больший корень уравнения.

Ответ: 7

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(2x^2 - 7x + 3 = 0\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Дискриминант данного уравнения \(D = 49 - 24 = 25 = 5^2\). Корни \(x_1 = \dfrac{7 + 5}{4} = 3, \ x_2 = \dfrac{7 - 5}{4} = 0,5\) – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = 0,5\) – меньший корень уравнения.

Ответ: 0,5

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \((4x + 5)^2 = (4x + 4)^2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем \(16x^2 + 40x + 25 = 16x^2 + 32x + 16\), что равносильно \(8x = -9\), откуда \(x = -1,125\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -1,125

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \((5x + 8)^2 = 160x\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем \(25x^2 + 80x + 64 = 160x\), что равносильно \(25x^2 - 80x + 64 = 0\), что равносильно \((5x - 8)^2 = 0\), что равносильно \((5x - 8)(5x - 8) = 0\).

Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл. Отсюда заключаем, что \[x = \dfrac{8}{5} = 1,6\] – единственный корень – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1,6

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \((2x + 11)^2 = 88x\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем \(4x^2 + 44x + 121 = 88x\), что равносильно \(4x^2 - 44x + 121 = 0\), что равносильно \((2x - 11)^2 = 0\), что равносильно \((2x - 11)(2x - 11) = 0\).

Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл. Отсюда заключаем, что \[x = \dfrac{11}{2} = 5,5\] – единственный корень – подходит по ОДЗ.

Ответ: 5,5

1 2 .... 5

Знакомство школьника с квадратными уравнениями вида \(ax²+bx+c=0\), где \(a\ne 0\), \(b\), \(c\) — заданные числа, происходит еще задолго до сдачи ЕГЭ по математике в Москве или любом другом городе РФ, а именно в 8 классе. Несмотря на то, что на изучение материала по данной теме, как правило, отводится немало времени, далеко не все школьники с легкостью решают подобные задачи. Поэтому, готовясь к сдаче выпускного экзамена, школьникам как в Москве, так и в других населенных пунктах РФ необходимо повторить такой раздел алгебры, как квадратные уравнения: в ЕГЭ по математике они обязательно встретятся.

Для того чтобы освежить в памяти основные способы решения подобных заданий, воспользуйтесь образовательным проектом «Школково». Наши специалисты подготовили для вас в максимально понятной и доступной форме теоретический материал по теме «Квадратные уравнения», подобрали интересные примеры, которые встречаются в ЕГЭ, а также их подробные решения.

Необходимо запомнить

Для решения квадратных уравнений в ЕГЭ по математике следует выучить формулу, по которой вычисляется дискриминант. Она довольная простая: \(D=b2−4ac\).

Квадратное уравнение, которое вам предстоит решить в ЕГЭ, может иметь не более двух корней. Если вычисленный дискриминант больше 0, то следует использовать следующие формулы:

\(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_2=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}\)

Если D = 0, то уравнение имеет один корень (иногда говорят, что 2 равных):

\(x_1=x2=\dfrac{-b}{2a}\)

Если дискриминант меньше 0, то уравнение не имеет корней.