Найдите наибольшее значение функции \(y = 13\cdot\dfrac{x^2 + 3x + 6}{x + 1}\) на отрезке \([0; 12]\).
ОДЗ: \(x \neq -1\). Решим на ОДЗ:
1) \[y' = 13 \dfrac{(2x + 3)(x + 1) - (x^2 + 3x + 6)}{(x + 1)^2} = 13 \dfrac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2}.\]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[13 \dfrac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 + 2x - 3 = 0\] – на ОДЗ, откуда находим корни \(x_1 = 1,\ x_2 = -3\). Производная функции \(y\) не существует при \(x = -1\), но \(x = -1\) не входит в ОДЗ. Таким образом, \[y' = 13\dfrac{(x - 1)(x+3)}{(x+1)^2}.\] Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([0; 12]\):
4) Эскиз графика на отрезке \([0; 12]\):
Таким образом, наибольшее на \([0; 12]\) значение функция достигает в \(x = 0\) или в \(x = 12\). Сравним эти значения:
\(y(0) = 13\cdot \dfrac{6}{1} = 78\),
\(y(12) = 13\cdot \dfrac{186}{13} = 186\).
Итого: \(186\) – наибольшее значение функции \(y\) на \([0; 12]\).
Ответ: 186