Математика
Русский язык

12. Исследование функций с помощью производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Поиск наибольшего/наименьшего значения на отрезке и в интервале

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке \([a,b]\), необходимо схематично изобразить график функции на этом отрезке.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f'>0\)) и убывания (\(f'<0\)) функции, критические точки (где \(f'=0\) или \(f'\) не существует).

 

\(\blacktriangleright\) Не стоит забывать, что наибольшее/наименьшее значение функция может принимать не только во внутренних точках отрезка \([a,b]\), а также на его концах.

 

\(\blacktriangleright\) Наибольшее/наименьшее значение функции — это значение координаты \(y=f(x)\).

 

\(\blacktriangleright\) Если функция задана как частное двух других функций, то \[{\Large{\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}}}\]
\[\begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{1} & c & 0\\&&\\ \textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\ \textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\ \textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\ \textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf{8} & \cos x & -\sin x\\[1ex] \hline \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\ \textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\ \textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\ \textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[0.5ex] \hline \end{array}\]

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции \(y = 13\cdot\dfrac{x^2 + 3x + 6}{x + 1}\) на отрезке \([0; 12]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq -1\). Решим на ОДЗ:

1) \[y' = 13 \dfrac{(2x + 3)(x + 1) - (x^2 + 3x + 6)}{(x + 1)^2} = 13 \dfrac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2}.\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[13 \dfrac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 + 2x - 3 = 0\] – на ОДЗ, откуда находим корни \(x_1 = 1,\ x_2 = -3\). Производная функции \(y\) не существует при \(x = -1\), но \(x = -1\) не входит в ОДЗ. Таким образом, \[y' = 13\dfrac{(x - 1)(x+3)}{(x+1)^2}.\] Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([0; 12]\):



4) Эскиз графика на отрезке \([0; 12]\):



Таким образом, наибольшее на \([0; 12]\) значение функция достигает в \(x = 0\) или в \(x = 12\). Сравним эти значения:

\(y(0) = 13\cdot \dfrac{6}{1} = 78\),

\(y(12) = 13\cdot \dfrac{186}{13} = 186\).

Итого: \(186\) – наибольшее значение функции \(y\) на \([0; 12]\).

Ответ: 186

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(y = x + \dfrac{4}{x}\) на \([1; 3]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq 0\). Решим на ОДЗ:

1) \[y' = 1 - \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{x^2 - 4}{x^2}.\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{x^2 - 4}{x^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 4 = 0\] – на ОДЗ, откуда находим корни \(x_1 = -2,\ x_2 = 2\). Производная функции \(y\) не существует при \(x = 0\), но \(x = 0\) не входит в ОДЗ. Таким образом, \[y' = \dfrac{(x+2)(x-2)}{x^2}.\] Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([1; 3]\):



4) Эскиз графика на отрезке \([1; 3]\):



Таким образом, \(x = 2\) – точка минимума функции \(y\) на \([1; 3]\) и наименьшее значение функция достигает в ней.

\(y(2) = 4\).

Итого: \(4\) – наименьшее значение функции \(y\) на \([1; 3]\).

Ответ: 4

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(y = \dfrac{x^2 + 324}{x}\) на \([2; 25]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq 0\). Решим на ОДЗ:

1) \[y' = \dfrac{2x^2 - (x^2 + 324)}{x^2} = \dfrac{x^2 - 324}{x^2}.\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{x^2 - 324}{x^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 324 = 0\] – на ОДЗ, откуда находим корни \(x_1 = -18,\ x_2 = 18\). Производная функции \(y\) не существует при \(x = 0\), но \(x = 0\) не входит в ОДЗ. Таким образом, \[y' = \dfrac{(x+18)(x-18)}{x^2}.\] Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([2; 25]\):



4) Эскиз графика на отрезке \([2; 25]\):



Таким образом, \(x = 18\) – точка минимума функции \(y\) на \([2; 25]\) и наименьшее значение функция достигает в ней.

\(y(18) = \dfrac{648}{18} = 36\).

Итого: \(36\) – наименьшее значение функции \(y\) на \([2; 25]\).

Ответ: 36

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(y = \dfrac{x^2 + x + 4}{x + 1}\) на отрезке \([0; 3]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x + 1 \neq 0\).

1) \[y' = \dfrac{(2x + 1)(x + 1) - 1\cdot (x^2 + x + 4)}{(x + 1)^2} = \dfrac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2}\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{(x + 3)(x - 1)}{(x + 1)^2} = 0\,.\] Таким образом, \(y' = 0\) при \(x = 1\) и при \(x = -3\). Производная не существует при \(x = -1\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([0; 3]\):


 

4) Эскиз графика на отрезке \([0; 3]\):


 

Таким образом, наименьшего на \([0; 3]\) значения функция достигает в \(x = 1\).

\[y(1) = \dfrac{1 + 1 + 4}{1 + 1} = 3\,.\] Итого: \(3\) – наименьшее значение функции \(y\) на \([0; 3]\).

Ответ: 3

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции \(y = 6\cdot\dfrac{2x^2 + 0,5x + 1}{x + 2}\) на отрезке \([0; 10]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x + 2 \neq 0\).

1) \[y' = 6\cdot\dfrac{(4x + 0,5)(x + 2) - 1\cdot (2x^2 + 0,5x + 1)}{(x + 2)^2} = 6\cdot\dfrac{2x^2 + 8x}{(x + 2)^2}\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[6\cdot\dfrac{2x^2 + 8x}{(x + 2)^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 6\cdot\dfrac{2x(x + 4)}{(x + 2)^2} = 0\,.\] Таким образом, \(y' = 0\) при \(x = 0\) и при \(x = -4\). Производная не существует при \(x = -2\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([0; 10]\):


 

4) Эскиз графика на отрезке \([0; 10]\):


 

Таким образом, наибольшего на \([0; 10]\) значения функция достигает в \(x = 10\).

\[y(10) = 6\cdot\dfrac{200 + 5 + 1}{10 + 2} = 103\,.\] Итого: \(103\) – наибольшее значение функции \(y\) на \([0; 10]\).

Ответ: 103

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции \(y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1}\) на отрезке \([-10; 1]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = \dfrac{(2x + 1)(x^2 + 1) - 2x\cdot (x^2 + x + 1)}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{-x^2 + 1}{(x^2 + 1)^2}\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{-x^2 + 1}{(x^2 + 1)^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{(x - 1)(x + 1)}{(x^2 + 1)^2} = 0\,.\] Таким образом, \(y' = 0\) при \(x = -1\) и при \(x = 1\). Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([-10; 1]\):


 

4) Эскиз графика на отрезке \([-10; 1]\):


 

Таким образом, наибольшего на \([-10; 1]\) значения функция достигает в \(x = -10\) или в \(x = 1\). Сравним значения функции в этих точках.

\[y(-10) = \dfrac{100 - 10 + 1}{100 + 1} = \dfrac{91}{101}\qquad y(1) = \dfrac{1 + 1 + 1}{1 + 1} = 1,5\,.\] Итого: \(1,5\) – наибольшее значение функции \(y\) на \([-10; 1]\).

Ответ: 1,5

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции \(y = \dfrac{x^3 + 2x + 2}{e^x}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = \dfrac{(3x^2 + 2)\cdot e^x - e^x\cdot (x^3 + 2x + 2)}{e^{2x}} = \dfrac{-x(x^2 - 3x + 2)}{e^{x}}\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{-x(x^2 - 3x + 2)}{e^{x}} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{x(x - 1)(x - 2)}{e^{x}} = 0\,.\] Таким образом, \(y' = 0\) при \(x = 0\), \(x = 1\) и при \(x = 2\). Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика:


 

Таким образом, наибольшего значения функция достигает в \(x = 0\) или в \(x = 2\). Сравним значения функции в этих точках.

\[y(0) = \dfrac{2}{e^0} = 2\qquad y(2) = \dfrac{8 + 4 + 2}{e^2} = \dfrac{14}{e^2}\,.\] Так как \(e > 2,7\), то \(e^2 > 7,29 > 7\), следовательно, \(\dfrac{14}{e^2} < 2\). Итого: \(2\) – наибольшее значение функции \(y\).

Ответ: 2