Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Буквенные логарифмические выражения

Здесь вам понадобятся все те знания, которые вы получили в предыдущей подтеме. НО:

т.к. теперь \(a,b,c\)неизвестные числа, то можно расширить область применения некоторых формул:

 

\(\blacktriangleright\) Формула (3) при четном \(m\): \[\log_a{b^m}=m\log_a{|b|}\]
Пример:
\(\log_3{b^2}=2\log_3{|b|}\)
Зачем модуль? Заметим, что в левую часть равенства можно подставлять вместо \(b\) все числа \(b\ne 0\). Если в правой части не поставить модуль (т.е. \(\log_3b\)), то вместо \(b\) можно подставлять только \(b>0\). Таким образом, теряется часть возможных значений числа \(b\).

 

\(\blacktriangleright\) Формулы (5) и (6): \[\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \ \ \ \ \ \ \text{и} \ \ \ \ \ \ \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}\]
Аналогичная причина.
Пример:
Если не поставить модули: \(\log_2{bc}=\log_2b+\log_2c\), то значения \(b=-1\) и \(c=-1\) не удовлетворяют равенству. Тогда как с модулями числа \(b\) и \(c\) могут одновременно быть отрицательными.

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\log_{3}x + \log_{3}(3x)\), если \(x = 3\).

Добавить задание в избранное

При \(x = 3\) имеем: \(\log_{3}3 + \log_{3}9 = 1 + 2 = 3\).

Ответ: 3

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\log_{2}(4x) - \log_2x\), если \(x = 122\).

Добавить задание в избранное

По свойствам логарифма при \(x > 0\): \[\log_{2}(4x) - \log_2x = \log_2\left(\dfrac{4x}{x}\right) = \log_2 4 = 2,\] следовательно, и при \(x = 122\) значение выражения равно \(2\).

Ответ: 2

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\log_{x}(2x) - \log_x(2)\), если \(x = 10\).

Добавить задание в избранное

По свойствам логарифма при \(1 \neq x > 0\): \[\log_{x}(2x) - \log_x(2) = \log_x\left(\dfrac{2x}{2}\right) = \log_xx,\] что при \(x = 10\) равно \(1\).

Ответ: 1

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\log_{4}x^2\), если \(x = -4\).

Добавить задание в избранное

По свойствам логарифма \[\log_{4}x^2 = 2\cdot\log_4|x|,\] что при \(x = -4\) равно \(2\cdot\log_{4}4 = 2\).

Ответ: 2

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\log_{2x^2}(0,5x) + \log_{2x^2}(4x)\), если \(x = 1\).

Добавить задание в избранное

По свойствам логарифма при \(x > 0\), \(2x^2 \neq 1\): \[\log_{2x^2}(0,5x) + \log_{2x^2}(4x) = \log_{2x^2}(0,5x\cdot 4x) = \log_{2x^2}(2x^2),\] что при \(x = 1\) равно \(1\).

Ответ: 1

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\log_{15}(x^x) - \log_{15}(x^2)\), если \(x = 15\).

Добавить задание в избранное

По свойствам логарифма при \(x > 0\) имеем: \[\log_{15}(x^x) - \log_{15}(x^2) = x\cdot\log_{15} x - 2\cdot\log_{15}x = (x - 2)\cdot(\log_{15}x),\] что при \(x = 15\) равно \(13\cdot\log_{15}15 = 13\).

Ответ: 13

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\log_b{a^2b^7}\), если \(\log_a{b} = 8\).

Добавить задание в избранное

\[\log_b{a^2b^7} = \log_b{a^2} + \log_b{b^7} = 2\cdot\log_b{a} + 7\cdot\log_b{b} = \frac{2}{\log_a{b}} + 7 = \frac{2}{8} + 7 = \frac{1}{4} + 7 = 7,25\]

Ответ: 7,25