Математика
Русский язык

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Вычисление объемов фигур

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Радиус первого шара в \(5\) раз больше радиуса второго шара. Во сколько раз площадь поверхности второго шара меньше площади поверхности первого шара?

Добавить задание в избранное

Площадь поверхности шара радиуса \(R\) ищется по формуле \(S=4\pi R^2\). Следовательно, площадь поверхности первого шара относится к площади поверхности второго шара как \[\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{4\pi \, R_1^2}{4\pi \, R_2^2}\] Так как радиус первого шара больше радиуса второго шара в 5 раз, то \(R_1=5R_2\). Следовательно, \[\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{(5R_2)^2}{R_2^2}=25.\] Следовательно, площадь поверхности первого шара в 25 раз больше площади поверхности второго, значит, площадь поверхности второго в 25 раз меньше.

Ответ: 25

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Даны два конуса. Радиус второго конуса в \(3\) раза больше радиуса первого конуса, а высота второго конуса в \(6\) раз меньше высоты первого конуса. Найдите объем первого конуса, если объем второго конуса равен \(18\).

Добавить задание в избранное

Объем конуса с высотой \(h\) и радиусом основания \(R\) вычисляется по формуле \(V=\frac13\pi R^2h\). Следовательно, объем первого конуса относится к объему второго конуса как \[\dfrac{V_1}{18}=\dfrac{V_1}{V_2}= \dfrac{\frac13\pi \,R_1^2\,h_1}{\frac13 \pi \,R_2^2\,h_2}=\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^2\cdot \dfrac{h_1}{h_2}\] Так как радиус второго в 3 раза больше радиуса первого, то \(R_2=3R_1\). Так как высота второго в 6 раз меньше высоты первого, то \(h_1=6h_2\). Следовательно, \[\dfrac{V_1}{18}=\left(\dfrac{R_1}{3R_1}\right)^2\cdot \dfrac{6h_2}{h_2}= \dfrac19\cdot 6=\dfrac23 \quad\Rightarrow\quad V_1=\dfrac23\cdot 18=12.\]

Ответ: 12

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Даны два конуса: \(K_1\) и \(K_2\). Площадь полной поверхности \(K_1\) относится к площади полной поверхности \(K_2\) как \(4:1\). Известно, что радиус \(K_1\) в 4 раза больше образующей \(K_1\) и в 2 раза больше радиуса \(K_2\). Найдите отношение образующей \(K_2\) к образующей \(K_1\).

Добавить задание в избранное

Площадь полной поверхности конуса с образующей \(l\) и радиусом основания \(R\) ищется по формуле \(S=\pi R (R+l)\). Тогда площадь полной поверхности \(K_1\) относится к площади полной поверхности \(K_2\) как \[\dfrac41=\dfrac{\pi \,R_1\cdot (R_1+l_1)}{\pi \, R_2\cdot (R_2+l_2)}\] Из условия следует, что \(R_1=4l_1\), \(R_2=\frac12R_1=2l_1\), следовательно, \[\dfrac41=\dfrac{4l_1\cdot (4l_1+l_1)}{2l_1\cdot (2l_1+l_2)} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{l_2}{l_1}=\dfrac12=0,5\]

Ответ: 0,5

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Во сколько раз радиус первого шара больше радиуса второго шара, если объем первого шара в \(343\) раза больше объема второго шара?

Добавить задание в избранное

Объем шара радиуса \(R\) ищется по формуле \(V=\dfrac43 \pi R^3\). Следовательно, объем первого шара относится к объему второго как \[\dfrac{343}1=\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{\frac43 \pi \, R_1^3}{\frac43 \pi \, R_2^3}= \left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^3 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{R_1}{R_2}=\sqrt[3]{343}=7.\] Следовательно, радиус первого шара в 7 раз больше радиуса второго шара.

Ответ: 7

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Объем первого прямоугольного параллелепипеда равен 105. Найдите объем второго прямоугольного параллелепипеда, если известно, что высота первого параллелепипеда в 7 раз больше высоты второго, ширина второго в 2 раза больше ширины первого, а длина первого в 3 раза больше длины второго.

Добавить задание в избранное

Пусть буквы \(a\), \(b\) и \(c\) обозначают высоту, ширину и длину соответственно. Объем прямоугольного параллелепипеда ищется по формуле \(V=abc\). Следовательно, объем первого параллелепипеда относится к объему второго как \[\dfrac{105}{V_2}=\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{a_1b_1c_1}{a_2b_2c_2}\] Из условия следует, что \(a_1=7a_2\), \(b_2=2b_1\), \(c_1=3c_2\). Тогда \[\dfrac{105}{V_2}=\dfrac{7a_2\cdot b_1\cdot 3c_2}{a_2\cdot 2b_1\cdot c_2}= \dfrac{7\cdot 3}2 \quad\Rightarrow\quad V_2=\dfrac{105\cdot 2}{21}=10.\]

Ответ: 10

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Площадь боковой поверхности первого цилиндра равна \(16\). Найдите площадь боковой поверхности второго цилиндра, если его радиус в 4 раза больше радиуса первого, а высота в 5 раз меньше высоты первого цилиндра.

Добавить задание в избранное

Площадь боковой поверхности цилиндра с высотой \(H\) и радиусом основания \(R\) ищется по формуле \(S=2\pi RH\). Тогда площадь бок. поверхности первого цилиндра относится к площади бок. поверхности второго как \[\dfrac{16}{S_2}=\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{2\pi \,R_1\,H_1}{2\pi \,R_2\,H_2}= \dfrac{R_1}{R_2}\cdot \dfrac{H_1}{H_2}\] Из условия следует, что \(R_2=4R_1\), \(H_1=5H_2\), значит, \[\dfrac{16}{S_2}=\dfrac{R_1}{4R_1}\cdot \dfrac{5H_2}{H_2}= \dfrac14\cdot 5=\dfrac54\] Следовательно, \[S_2=\dfrac{16\cdot 4}5=12,8.\]

Ответ: 12,8

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Площадь боковой поверхности первого конуса относится к площади боковой поверхности второго конуса как \(3:7\). Найдите отношение образующей первого конуса к образующей второго конуса, если радиус первого конуса относится к радиусу второго как \(15:7\).

Добавить задание в избранное

Площадь боковой поверхности конуса с образующей \(l\) и радиусом основания \(R\) ищется по формуле \(S=\pi Rl\). Тогда площадь бок. поверхности первого конуса относится к площади бок. поверхности второго как \[\dfrac 37=\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\pi R_1\,l_1}{\pi R_2\,l_2}\] Так как радиус первого конуса относится к радиусу второго как \(15:7\), то есть \(\frac{R_1}{R_2}=\frac{15}7\), то \[\dfrac37=\dfrac {15}7\cdot \dfrac{l_1}{l_2} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{l_1}{l_2}=\dfrac37\cdot \dfrac7{15}=\dfrac15=0,2.\]

Ответ: 0,2

Во время подготовки к сдаче ЕГЭ по математике повторение базовых формул из школьного курса геометрии в пространстве (стереометрии), в том числе и для вычисления объемов фигур, является одним из основных этапов. И хотя на изучение этого раздела отводится достаточно большое количество времени в рамках учебной программы, многим выпускникам требуется освежить в памяти основной материал.

Понимая, как осуществляется вычисление площадей объемных фигур, учащиеся значительно повышают свои шансы на получение достойных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Базовая информация

Объем геометрической фигуры — это количественная характеристика пространства, которое занимает тело. Она определяется его формой и размерами. Чтобы задачи на вычисление объемов геометрических фигур не вызывали затруднений, рекомендуем освежить в памяти основные формулы.
  • Объем куба равняется кубу длины его грани.
  • Для его расчета используется формула: V = a3, где V — объем куба, a — длина его грани.
  • Объем призмы равняется произведению площади основания фигуры на высоту. Чтобы его рассчитать, воспользуйтесь следующий формулой: V = So h, где V — объем призмы, So — площадь ее основания, h — ее высота.
  • Объем прямоугольного параллелепипеда равняется произведению его длины, ширины и высоты. Формула для его расчета: V = a · b · h, где a — длина, b — ширина, h — высота.
  • Объем пирамиды равняется трети от произведения площади ее основания на высоту.
  • Рассчитать его можно по формуле: V = 1/3 So· h , где V — объем пирамиды, So — площадь основания пирамиды, h — длина высоты пирамиды.
  • Объем цилиндра равняется произведению площади его основания на высоту. Формулы для его расчета:
  • V = π R2 h
    V = So h
Где V — объем цилиндра, So — площадь основания цилиндра, R — радиус цилиндра, h — высота цилиндра, π = 3.141592.

Как сделать процесс подготовки к аттестационному испытанию более легким и эффективным?

Наш образовательный портал предлагает выстроить занятия по-новому. Переходя от простого к сложному, выпускники смогут определить непонятные для себя темы и улучшить собственные знания.

Весь базовый материал по теме «Вычисление площадей и объемов фигур» собран в разделе «Теоретическая справка». Освежив в памяти эту информацию, учащиеся смогут попрактиковаться в решении задач. Большая подборка упражнений как простого, так и экспертного уровня представлена в разделе «Каталог». База заданий регулярно дополняется.

Решать задачи на вычисление объемов фигур школьники могут в режиме онлайн. Функционал образовательного сайта «Школково» позволяет сохранять упражнения в разделе «Избранное». Благодаря этому учащиеся смогут вернуться к задаче необходимое количество раз и обсудить ход ее решения со школьным учителем или репетитором.