Пусть \(S\) — стоимость квартиры. Составим таблицу для обоих вариантов.
Пусть \(a, b, c\) — ежегодные платежи в банках А, Б и В соответственно.
1) \[\text{Банк А:} \qquad
\begin{array}{|l|c|c|}
\hline \text{Номер года}& \text{Долг после начисления }\%&\text{Долг после платежа}\\
\hline 1& 1,25S& 1,25S-a\\
\hline 2& 1,25(1,25S-a)& 1,25(1,25S-a)-a\\
\hline 3& 1,25(1,25(1,25S-a)-a)& 1,25(1,25(1,25S-a)-a)-a\\
\hline
\end{array}\]
Таким образом, имеем следующее уравнение:
\[1,25(1,25(1,25S-a)-a)-a=0 \quad \Leftrightarrow \quad 1,25^3S=a(1,25^2+1,25+1)\]
Тогда часть, которую составляет ежегодный платеж \(a\) от стоимости квартиры \(S\), равна
\[\dfrac aS=\dfrac{1,25^3}{1,25^2+1,25+1}\]
Тогда часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке А от стоимости квартиры, равна
\[\dfrac {3a}S=\dfrac{375}{244}\]
2) Пусть \(S_1=0,25S\) – сумма кредита в банке Б.
\[\text{Банк Б:} \qquad
\begin{array}{|l|c|c|}
\hline \text{Номер года}& \text{Долг после начисления }\%&\text{Долг после платежа}\\
\hline 1& 1,5S_1& 1,5S_1-b\\
\hline 2& 1,5(1,5S_1-b)& 1,5(1,5S_1-b)-b\\
\hline 3& 1,5(1,5(1,5S_1-b)-b)& 1,5(1,5(1,5S_1-b)-b)-b\\
\hline
\end{array}\]
Таким образом, имеем следующее уравнение:
\[1,5(1,5(1,5S_1-b)-b)-b=0 \quad \Leftrightarrow \quad 1,5^3S_1=b(1,5^2+1,5+1)\]
Тогда часть, которую составляет ежегодный платеж \(b\) от кредита \(S_1\), равна
\[\dfrac b{S_1}=\dfrac{1,5^3}{1,5^2+1,5+1}=\dfrac{27}{38}\]
Тогда часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке Б от кредита, равна
\[\dfrac {3b}{S_1}=\dfrac{81}{38}\]
Т.к. \(S_1=0,25S\), то часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке Б от \({\color{blue}{\text{стоимости квартиры } S}}\), равна
\[\dfrac {3b}{S}=\dfrac{81}{4\cdot 38}\]
3) Пусть \(S_2=0,75S\) – сумма кредита в банке В. Пусть также \(\frac{100+y}{100}=t\) — коэффициент, на который умножается долг после начисления процентов.
\[\text{Банк В:} \qquad
\begin{array}{|l|c|c|}
\hline \text{Номер года}& \text{Долг после начисления }\%&\text{Долг после платежа}\\
\hline 1& tS_2& tS_2-c\\
\hline 2& t(tS_2-c)& t(tS_2-c)-c\\
\hline
\end{array}\]
Таким образом, имеем следующее уравнение:
\[t(tS_2-c)-c=0 \quad \Leftrightarrow \quad t^2\cdot S_2=c(t+1)\]
Тогда часть, которую составляет ежегодный платеж \(c\) от кредита \(S_2\), равна
\[\dfrac c{S_2}=\dfrac{t^2}{t+1}\]
Тогда часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке В от кредита, равна
\[\dfrac {2c}{S_2}=\dfrac{2t^2}{t+1}\]
Т.к. \(S_2=0,75S\), то часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке В от \({\color{blue}{\text{стоимости квартиры } S}}\), равна
\[\dfrac {2c}{S}=\dfrac{3\cdot 2t^2}{4\cdot (t+1)}\]
4) Второй вариант будет выгоднее первого, если часть, которую составляет сумма общих выплат по обоим кредитам (в банках Б и В) от стоимости квартиры, будет меньше, чем часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту (в банке А) от стоимости квартиры. То есть должно быть выполнено:
\[\dfrac{3\cdot 2t^2}{4\cdot (t+1)}+\dfrac{81}{4\cdot 38}<\dfrac{375}{244} \quad
\Leftrightarrow \quad 4636t^2-3103t-3103<0\]
(т.к. \(t>1>0\))
Решая данное неравенство и учитывая положительность \(t\), получаем \[t<\dfrac{3103+\sqrt{67\,170\,641}}{9272}\]
Т.к. необходимо найти наибольшее целое \(y=100t-100\), то число \(\frac{3103+\sqrt{67\,170\,641}}{9272}\) необходимо оценить до третьего знака после запятой.
Оценим \(\sqrt{67\,170\,641}\).
Во-первых, \(8000=\sqrt{64\,000\,000}<\sqrt{67\,170\,641}<\sqrt{81\,000\,000}=9000\), следовательно, число \(\sqrt{67\,170\,641}\) состоит из четырех знаков, причем количество тысяч равно \(8\).
Во-вторых, т.к. \(8100^2=65\,610\,000\), а \(8200^2=67\,240\,000\), и \(8100^2<67\,170\,641<8200^2\), то количество сотен в данном числе равно \(1\).
(заметим, что \(\sqrt{67\,170\,641}\) находится ближе к \(8200\), нежели к \(8100\))
В-третьих, \(8190^2=67\,076\,100\), следовательно, \(8190<\sqrt{67\,170\,641}<8200\).
Таким образом, \[\dfrac{3103+8190}{9272}<\dfrac{3103+\sqrt{67\,170\,641}}{9272}<\dfrac{3103+8200}{9272}
\quad \Leftrightarrow \quad
1,217...<\frac{3103+\sqrt{67\,170\,641}}{9272}<1,219...\]
Следовательно, наименьшее целое \(y\) равно \(21\).
Ответ:
\(21\%\)