Математика
Русский язык

Тренировочные варианты "Школково". Уровень Максим Олегович

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Дифференцированный платеж

Задание 1

В декабре рост Саши составлял \(150\) сантиметров. В январе Саша подрос на \(2\%\). К концу февраля Саша подрос ещё на \(1\%\). Сколько сантиметров стал составлять рост Саши к концу февраля?

В январе рост Саши стал \(150 \cdot (1 + 0,02) = 153\) сантиметра. К концу февраля его рост стал составлять \(153 \cdot (1 + 0,01) = 154,53\) сантиметра.

Ответ: 154,53

Задание 2

На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура в городе Москве с \(13\) по \(27\) марта. По горизонтали указывается день месяца, по вертикали – среднесуточная температура в соответствующий день, в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку разницу между максимальной и минимальной среднесуточными температурами в указанный период.



По рисунку видно, что в указанный период максимальная температура составляла \(9\) градусов Цельсия, а минимальная \(1\) градус Цельсия. Разница: \(9 - 1 = 8\) градусов Цельсия.

Ответ: 8

Задание 3

На стороне \(MN\) параллелограмма \(MNPQ\) отмечена точки \(K\) и \(R\) так, что \(MK = 0,25\cdot MN\), \(MR = 2MK\). Через точку \(R\) провели прямую, параллельную \(KP\), которая пересекла сторону \(NP\) в точке \(S\). Найдите отношение длин \(NS\) и \(SP\).



\(MK = KR = 0,25\cdot MN\). Отметим на \(MN\) точку \(W\) так, что \(NW = 0,25\cdot MN\) и проведём через неё ещё одну прямую, параллельную \(KP\), которая пересечёт \(NP\) в некоторой точке \(T\).



По теореме Фалеса:
если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

Так как \(MK = KR = RW = WN\), а \(KP \parallel RS \parallel WT\), то \(NT = TS = SP\), откуда находим, что \(NS = 2SP\), тогда \(\dfrac{NS}{SP} = 2\).

Ответ: 2

Задание 4

Даня придумал себе \(100\) уравнений. Он заметил, что среди придуманных им уравнений:
\(41\) квадратное,
\(72\) он умеет решать,
\(31\) кубическое,
\(22\) тригонометрических.
Известно, что Даня умеет решать любые квадратные уравнения и любые кубические уравнения и что придумал он только квадратные, кубические, тригонометрические и логарифмические уравнения. Какова вероятность того, что выбранное наугад уравнение окажется логарифмическим, причём Даня не сможет его решить?

Заметим, что квадратных и кубических уравнений Даня придумал \(41 + 31 = 72\). Так как он умеет решать любые квадратные и кубические уравнения, причём среди придуманных уравнений он умеет решать \(72\) уравнения, то все тригонометрические и все логарифмические уравнения, которые он придумал, он решать не умеет.

Таким образом, условие “выбранное наугад уравнение окажется логарифмическим, причём Даня не сможет его решить” равносильно условию “выбранное наугад уравнение окажется логарифмическим”.

Всего Даня придумал \(100 - 41 - 31 - 22 = 6\) логарифмических уравнений из 100, следовательно, вероятность выбрать наугад логарифмическое уравнение равна \[\dfrac{6}{100} = 0,06.\]

Ответ: 0,06

Задание 5

Найдите корень уравнения \[\mathrm{ctg}\, (2\pi x) = 1.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.

ОДЗ: \(2\pi x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\). Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\mathrm{ctg}\, x = a\) имеет вид: \(x = \mathrm{arcctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[2\pi x = \dfrac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = 0,125 + 0,5n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный \(x = 0,125\).

Ответ: 0,125

Задание 6

В треугольнике \(ABC\): \(\sin{\angle B} = 0,6\), \(AC = 3\), \(\angle C = 30^{\circ}\). Найдите \(AB\).




 

По теореме синусов \[\dfrac{AB}{\sin{\angle C}} = \dfrac{BC}{\sin{\angle A}} = \dfrac{CA}{\sin{\angle B}} = 2R,\] где \(R\) – радиус описанной около \(ABC\) окружности. Тогда \[\dfrac{AB}{\sin{\angle C}} = \dfrac{CA}{\sin{\angle B}}\] и, значит, \(\dfrac{AB}{0,5} = 5\), откуда \(AB = 2,5\).

Ответ: 2,5

Задание 7

Прямые \(y = kx - 3\) и \(y = x - 7\pi\) образуют с положительным направлением оси \(Ox\) углы \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно, при этом, \(\cos \alpha = \dfrac{2}{\sqrt{13}}\). Найдите наибольшее из чисел \(k\) и \(\mathrm{tg}\, \beta\).

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

 

Таким образом, \(\mathrm{tg}\, \beta = 1\), \(k = \mathrm{tg}\, \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). Из основного тригонометрического тождества находим, что \(\sin \alpha = \pm \dfrac{3}{\sqrt{13}}\), но с учётом \(0 \leqslant \alpha < \pi\) получаем, что \(\sin \alpha = \dfrac{3}{\sqrt{13}}\).

 

В итоге \(k = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{3}{\sqrt{13}} : \dfrac{2}{\sqrt{13}} = 1,5\), а \(\mathrm{tg}\, \beta = 1 < 1,5 = k\), то есть большее из чисел \(k\) и \(\mathrm{tg}\, \beta\) равно \(1,5\).

Ответ: 1,5

Задание 8

Точка \(D\) – центр сферы, точка \(A\) – центр круга \(L\), полученного в результате сечения этой сферы плоскостью. Точка \(B\) лежит на \(L\), \(AB\parallel CD\), где \(C\) – точка на сфере. Площадь \(L\) равна \(100\), \[S_{ABCD} = \dfrac{240}{\pi\sqrt{3}},\] \(\angle ABD = 30^\circ\). Найдите площадь сферы.




 

Так как \(AB\parallel CD\), а \(A\) – центр круга \(L\), \(D\) – центр сферы, то \(AD\perp AB\) и \(AD\perp DC\), тогда \(ABCD\) – прямоугольная трапеция, \[S_{ABCD} = \dfrac{1}{2}\cdot(AB + CD)\cdot AD = \dfrac{R + r}{2}\cdot h,\] где \(R\) – радиус сферы, \(r\) – радиус \(L\), \(h = AD\).

\(S_{L} = \pi r^2 = 100\), тогда \(r = \dfrac{10}{\pi}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(DAB\):
т.к. \(\angle ADB = 30^\circ\), то \(AB = AD\cdot\mathrm{tg}\, 30^\circ\), откуда \[r = \dfrac{h}{\sqrt{3}}\qquad\Rightarrow\qquad h = r\sqrt{3} = \dfrac{10\sqrt{3}}{\sqrt{\pi}}.\] \(S_{ABCD} = \dfrac{R + r}{2}\cdot h = \dfrac{240}{\pi\sqrt{3}}\), откуда \(R = \dfrac{480}{h\pi\sqrt{3}} - r = \dfrac{480\sqrt{\pi}}{10\sqrt{3}\cdot\pi\sqrt{3}} - \dfrac{10}{\sqrt{\pi}} = \dfrac{6}{\sqrt{\pi}}\). \[S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2 = \dfrac{4\pi\cdot 36}{\pi} = 144.\]

Ответ: 144

Задание 9

Найдите значение выражения \(w(2017) + w(-2017)\), если \(w(x) = x^3 + x^5 - x^7 + x^9\).

Так как \(w(x) = x^3 + x^5 - x^7 + x^9\), то при любом числе \(x\) для числа \(-x\) имеем: \[w(-x) = (-x)^3 + (-x)^5 - (-x)^7 + (-x)^9 = -x^3 - x^5 + x^7 - x^9 = -w(x).\]

Тогда и для числа \(x = 2017\) выполнено \(w(-2017) = -w(2017)\), откуда \[w(2017) + w(-2017) = -w(-2017) + w(-2017) = 0.\]

Ответ: 0

Задание 10

Подводная лодка “Скумбрия”\(\ \)плывет с постоянной скоростью \(v_0 = 20\) узлов (\(1\) узел = \(1\) морская миля в час). В момент времени \(t = 0\) часов она выпускает торпеду, которая до попадания в цель разгоняется с постоянным ускорением \(a = 80\) узлов в час. Расстояние в морских милях от места пуска до торпеды определяется из формулы \[S = v_0t+\dfrac{at^2}{2}.\] Определите в течение какого времени с момента пуска торпеда плыла последние \(1,3\) морской мили до цели, если в момент пуска расстояние до неподвижной цели было \(2,4\) морских мили. Ответ дайте в часах.

Разделим путь торпеды на \(2\) участка: участок А – первые \(1,1\) морской мили пути; участок В – последние \(1,3\) морской мили пути. Тогда моменты \(t\), в которые торпеда будет находиться на участке В, удовлетворяют двойному неравенству \[1,1 \leqslant 20t + 40t^2 \leqslant 2,4.\] Решим два неравенства по очереди.

Рассмотрим неравенство \(1,1 \leqslant 20t + 40t^2\). Оно равносильно неравенству \[40t^2 + 20t - 1,1 \geqslant 0,\] которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения \(20t + 40t^2 - 1,1 = 0\): \[t_1 = -0,55,\qquad\qquad t_2 = 0,05,\] тогда:



но с учётом того, что \(t \geqslant 0\) подходят только \(t \geqslant 0,05\).

Рассмотрим теперь неравенство \(20t + 40t^2 \leqslant 2,4\). Оно равносильно неравенству \[40t^2 + 20t - 2,4 \leqslant 0,\] которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения \(20t + 40t^2 - 2,4 = 0\): \[t_1 = -0,6,\qquad\qquad t_2 = 0,1,\] тогда:



но с учётом того, что \(t \geqslant 0\) подходят только \(0 \leqslant t \leqslant 0,1\).

В итоге торпеда находилась на участке В в моменты \(0,05 \leqslant t \leqslant 0,1\), то есть в течение \(0,1 - 0,05 = 0,05\) часа.

Ответ: 0,05

Задание 11

Первый и второй рабочий могут выполнить заказ за \(5\) дней. Второй и третий рабочий могут выполнить тот же заказ за \(6\) дней, а третий и первый рабочий – за \(20\) дней. За сколько дней рабочие выполнят заказ, работая втроем?

За \(1\) день первый и второй рабочий выполняют \(\dfrac{1}{5}\) часть заказа.

 

За \(1\) день второй и третий рабочие выполняют \(\dfrac{1}{6}\) часть заказа, а третий и первый рабочие \(\dfrac{1}{20}\) часть заказа.

Тогда за \(1\) день первый и второй, второй и третий, третий и первый вместе выполняют \(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{20} = \dfrac{5}{12}\) заказа.

В последнем выражении вклад каждого рабочего был учтён дважды, значит, за день первый, второй и третий рабочие выполняют \(\dfrac{5}{24}\) заказа.

 

Им понадобится \(1 : \dfrac{5}{24} = 4,8\) дней.

Ответ: 4,8

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции

\(y = 3x^5 - 10x^3 + 15x + 1\) на \([-2; 100]\).

1) \(y' = 15x^4 - 30x^2 + 15 = 15(x^2 - 1)^2 = 15(x - 1)^2(x + 1)^2\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):

\[15(x - 1)^2(x + 1)^2 = 0,\] откуда находим корни: \(x_1 = 1, \ x_2 = -1\). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на отрезке \([-2; 100]\):



4) Эскиз графика \(y\) на отрезке \([-2; 100]\):



Значит точек локального минимума на \([-2; 100]\) нет, \(y\) на \([-2; 100]\) возрастает и, следовательно, наименьшее значение функция достигает в \(x = -2\).

\(y(-2) = -45\).

Итого: \(-45\) – наименьшее значение функции \(y\) на \([-2; 100]\).

Ответ: -45

Задание 13

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \dfrac{\cos x}{1 - \sin^2 x - \cos x} = \dfrac{\sin (2x)}{1 - \sin^2 x - \cos x} \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left(-2\pi; -\dfrac{3\pi}{2}\right)\).

ОДЗ: \(1 - \sin^2 x - \cos x\neq 0\). Решим на ОДЗ:

а) Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

\[\begin{aligned} \dfrac{\cos x - \sin(2x)}{1 - \sin^2 x - \cos x} = 0 \end{aligned}\]

Воспользуемся формулой для синуса двойного угла:

\[\begin{aligned} \dfrac{\cos x(1 - 2\sin x)}{1 - \sin^2 x - \cos x} = 0 \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысла, следовательно, на ОДЗ: или \(\cos{x} = 0\), или \(\sin x = 0,5\).

 

Рассмотрим ОДЗ: \(1 - \sin^2 x - \cos x\neq 0\),
что в силу основного тригонометрического тождества равносильно \(\cos^2 x - \cos x\neq 0\), что равносильно \(\cos x(\cos x - 1)\neq 0\), что равносильно системе

\[\begin{cases} \cos x \neq 0\\ \cos x \neq 1. \end{cases}\]

Отметим подходящие точки на тригонометрическом круге:


 

Таким образом, решениями будут \(\mathrm{arcsin}\, 0,5 + 2\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\) и \(\pi - \mathrm{arcsin}\, 0,5 + 2\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\), то есть \[x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z},\qquad x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}.\]

 

б) \[-2\pi < \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k < -\dfrac{3\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{13\pi}{6} < 2\pi k < -\dfrac{10\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{13}{12} < k < -\dfrac{10}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда на интервал \(\left(-2\pi; -\dfrac{3\pi}{2}\right)\) попадает только решение при \(k = -1\): \(x = -\dfrac{11\pi}{6}\).

\[-2\pi < \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k < -\dfrac{3\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{17\pi}{6} < 2\pi k < -\dfrac{14\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{17}{12} < k < -\dfrac{14}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, решения вида \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\) на интервал \(\left(-2\pi; -\dfrac{3\pi}{2}\right)\) не попадают.

Ответ:

а) \(x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(-\dfrac{11\pi}{6}\).

Задание 14

Дан правильный тетраэдр \(SABC\), \(H\) – такая точка на высоте \(SO\), что \(OH:HS=1:3\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(A\) и \(H\) параллельно медиане \(BM\) треугольника \(ABC\) и пересекает ребро \(CS\) в точке \(P\).

 

а) Докажите, что \(CP:PS=2:3\).

б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(ABC\).

а)

Правильный тетраэдр - это правильная треугольная пирамида, у которой все ребра равны. Пусть ребро пирамиды равно \(a\).
Т.к. пирамида правильная, то высота \(SO\) падает в точку пересечения медиан \(\bigtriangleup ABC\). Рассмотрим плоскость \(BSM\), точка \(H\) лежит в этой плоскости. Т.к. плоскость \(\alpha\) параллельна \(BM\), то она пересекает плоскость \(BSM\) по прямой, параллельной \(BM\).

 

Проведем \(RT\parallel BM, H\in RT\). Тогда по теореме Фалеса \(\dfrac{SH}{HO}=\dfrac{ST}{TM}=\dfrac{3}{1}\).

 

Прямая \(AT\) пересечет \(CS\) в точке \(P\). \(\bigtriangleup APR\) – сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\).
Напишем теорему Менелая для \(\bigtriangleup CSM\) и прямой \(AP\):
\[\dfrac{CP}{PS}\cdot \dfrac{ST}{TM}\cdot \dfrac{MA}{AC}=1\] Из этого равенства находим, что \(\dfrac{CP}{PS}=\dfrac{2}{3}\)

 

б) Докажем, что линия пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(ABC\) параллельна прямой \(BM\). Пусть это не так: пусть \(l\) – линия пересечения \(\alpha\) и \(ABC\) и \(l\cap BM=Z\). Тога прямая \(BM\cap \alpha=Z\), следовательно, не может быть параллельна \(\alpha\). Получили противоречие, следовательно, \(l\parallel BM\). Заметим, что прямая \(l\) проходит через точку \(A\).

 

Построим линейный угол двугранного угла между \(\alpha\) и \(ABC\). Т.к. \(HO\perp ABC\), проведем \(OK\perp l\), следовательно, по теореме о трех перпендикулярах \(HK\perp l\). Таким образом, \(\angle HKO\) – искомый угол.

 

1) Найдем \(HO\).
\(BO=\dfrac{2}{3}\cdot BM=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}a=\dfrac{a}{\sqrt3}\)

 

Тогда \(SO=\sqrt{a^2 -\dfrac{a^2}{3}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}a \Rightarrow HO=\dfrac{1}{4}SO=\dfrac{\sqrt2a}{4\sqrt3}\)

 

2) Найдем \(OK\).
\(BM\perp AC, BM\parallel l \Rightarrow AC\perp l\). Т.к. \(OK\perp l \Rightarrow OK\parallel AC\). Таким образом, \(OMAK\) – параллелограмм, следовательно, \(OK=MA=\dfrac{1}{2}a\).
Треугольник \(HOK\) – прямоугольный, следовательно, \(\mathrm{ctg}\,\angle HKO=\dfrac{OK}{HO}=\sqrt6\)
Тогда \(\angle HKO= \mathrm{arcctg}\,\sqrt6\).

Ответ:

б) \(\mathrm{arcctg}\,\sqrt6\)

Задание 15

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x^2+x)\lg(2x^2+4x-4)}{|x+2|}\geqslant\dfrac{\lg(-2x^2-4x + 4)^2}{x+2}. \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{cases} 2x^2+4x-4 > 0\\ x + 2 \neq 0\\ (-2x^2-4x + 4)^2 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (-\infty; -1-\sqrt{3})\cup(-1+\sqrt{3}; +\infty).\]

Так как \((-a)^2 = a^2\), то \((-2x^2-4x+4)^2 = (2x^2+4x-4)^2\).
Обозначим \[A = 2x^2+4x-4,\] тогда \[\dfrac{(x^2+x)\lg A}{|x+2|}\geqslant\dfrac{\lg A^2}{x+2}\] Рассмотрим 2 случая:
1) \(x + 2 > 0\Rightarrow |x + 2| = x + 2\).
\[\dfrac{(x^2+x)\lg A - 2\lg A}{x+2} \geqslant 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{(x^2+x-2)\lg A}{x+2} \geqslant 0.\] По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

\[\begin{aligned} &\dfrac{(x^2+x-2)(10-1)(A-1)}{x+2} \geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x^2+x-2)(2x^2+4x-5)}{x+2} \geqslant 0\\ &\Leftrightarrow\qquad \dfrac{(x - 1)(x + 2)\left(x + 1 + \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right)\left(x + 1 - \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right)}{x+2} \geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x \in\left[-1 - \dfrac{\sqrt{14}}{2}; -2\right)\cup\left(-2; -1 + \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup[1; +\infty)\).
Пересечем с условием \(x + 2 > 0\): \(x \in\left(-2; -1 + \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup[1; +\infty)\)

2) \(x + 2 < 0\Rightarrow |x + 2| = -x - 2\).
\[\dfrac{-(x^2+x)\lg A - 2\lg A}{x+2} \geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{(x^2+x+2)\lg A}{x+2} \leqslant 0\] По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

\[\begin{aligned} &\dfrac{(x^2+x+2)(10-1)(A-1)}{x+2} \leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x^2+x+2)(2x^2+4x-5)}{x+2} \leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x^2+x+2)\left(x + 1 + \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right)\left(x + 1 - \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right)}{x+2} \leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x \in\left(-\infty; -1-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup\left(-2; -1+\dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\).
Пересечем с условием \(x + 2 < 0\): \(x \in\left(-\infty; -1-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\).
Объединенное решение двух случаев: \(x\in\left(-\infty; -1-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup\left(-2; -1 + \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup[1; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in \left(-\infty; -1-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup\left(-1+\sqrt{3}; -1 + \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup[1; +\infty)\).
Окончательный ответ \[x \in \left(-\infty; -1-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup\left(-1+\sqrt{3}; -1 + \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup[1; +\infty)\,.\]

Ответ:

\(\left(-\infty; -1-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup\left(-1+\sqrt{3}; -1 + \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup[1; +\infty)\)

Задание 16

Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть нам дан \(\triangle ABC\), проведем в нем высоты \(AA_1, BB_1, CC_1\) и докажем что они пересекаются в одной точке.

Заметим, что:

\[\begin{aligned} &BA_1= \cos{\angle B} \cdot AB,\qquad A_1C= \cos{\angle C} \cdot AC,\\ &CB_1= \cos{\angle C} \cdot BC,\qquad B_1A= \cos{\angle A} \cdot AB,\\ &AC_1= \cos{\angle A} \cdot AC,\qquad C_1B= \cos{\angle B} \cdot BC. \end{aligned}\]

Воспользуемся теоремой Чевы: \[\dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} \cdot \dfrac{AC_1}{C_1B} = \dfrac{\cos{\angle B} \cdot AB}{\cos{\angle C} \cdot AC} \ \cdot \ \dfrac{\cos{\angle C} \cdot BC}{\cos{\angle A} \cdot AB} \ \cdot \ \dfrac{\cos{\angle A} \cdot AC}{\cos{\angle B} \cdot BC} =\]   \[= \ \dfrac{AB\cdot BC \cdot CA \cdot \cos{\angle A} \cdot \cos{\angle B} \cdot \cos{\angle C}}{AB\cdot BC \cdot CA \cdot \cos{\angle A} \cdot \cos{\angle B} \cdot \cos{\angle C}} =1\]

Следовательно, высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Ответ:

Доказательство

Задание 17

Андрей Викторович хочет взять кредит на покупку квартиры. Он выбирает между двумя вариантами:

\(\bullet\) взять кредит на всю сумму в банке А под \(25\%\) годовых на \(3\) года;
\(\bullet\) взять \(25\%\) от стоимости квартиры в банке Б под \(50\%\) годовых на \(3\) года и оставшиеся \(75\%\) от стоимости квартиры в банке В под целое число \(y\%\) годовых на \(2\) года.

 

Какой наибольший процент \(y\) годовых должен предложить ему банк В, чтобы второй вариант был выгодней? Погашение кредита во всех трех банках происходит раз в год равными платежами.

Пусть \(S\) — стоимость квартиры. Составим таблицу для обоих вариантов.

Пусть \(a, b, c\) — ежегодные платежи в банках А, Б и В соответственно.

 

1) \[\text{Банк А:} \qquad \begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Номер года}& \text{Долг после начисления }\%&\text{Долг после платежа}\\ \hline 1& 1,25S& 1,25S-a\\ \hline 2& 1,25(1,25S-a)& 1,25(1,25S-a)-a\\ \hline 3& 1,25(1,25(1,25S-a)-a)& 1,25(1,25(1,25S-a)-a)-a\\ \hline \end{array}\]

 

Таким образом, имеем следующее уравнение:

\[1,25(1,25(1,25S-a)-a)-a=0 \quad \Leftrightarrow \quad 1,25^3S=a(1,25^2+1,25+1)\]

Тогда часть, которую составляет ежегодный платеж \(a\) от стоимости квартиры \(S\), равна

\[\dfrac aS=\dfrac{1,25^3}{1,25^2+1,25+1}\]

Тогда часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке А от стоимости квартиры, равна

\[\dfrac {3a}S=\dfrac{375}{244}\]

 

2) Пусть \(S_1=0,25S\) – сумма кредита в банке Б.

 

\[\text{Банк Б:} \qquad \begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Номер года}& \text{Долг после начисления }\%&\text{Долг после платежа}\\ \hline 1& 1,5S_1& 1,5S_1-b\\ \hline 2& 1,5(1,5S_1-b)& 1,5(1,5S_1-b)-b\\ \hline 3& 1,5(1,5(1,5S_1-b)-b)& 1,5(1,5(1,5S_1-b)-b)-b\\ \hline \end{array}\]

 

Таким образом, имеем следующее уравнение:

\[1,5(1,5(1,5S_1-b)-b)-b=0 \quad \Leftrightarrow \quad 1,5^3S_1=b(1,5^2+1,5+1)\]

Тогда часть, которую составляет ежегодный платеж \(b\) от кредита \(S_1\), равна

\[\dfrac b{S_1}=\dfrac{1,5^3}{1,5^2+1,5+1}=\dfrac{27}{38}\]

Тогда часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке Б от кредита, равна

\[\dfrac {3b}{S_1}=\dfrac{81}{38}\]

Т.к. \(S_1=0,25S\), то часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке Б от \({\color{blue}{\text{стоимости квартиры } S}}\), равна

\[\dfrac {3b}{S}=\dfrac{81}{4\cdot 38}\]

 

3) Пусть \(S_2=0,75S\) – сумма кредита в банке В. Пусть также \(\frac{100+y}{100}=t\) — коэффициент, на который умножается долг после начисления процентов.

 

\[\text{Банк В:} \qquad \begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Номер года}& \text{Долг после начисления }\%&\text{Долг после платежа}\\ \hline 1& tS_2& tS_2-c\\ \hline 2& t(tS_2-c)& t(tS_2-c)-c\\ \hline \end{array}\]

 

Таким образом, имеем следующее уравнение:

\[t(tS_2-c)-c=0 \quad \Leftrightarrow \quad t^2\cdot S_2=c(t+1)\]

Тогда часть, которую составляет ежегодный платеж \(c\) от кредита \(S_2\), равна

\[\dfrac c{S_2}=\dfrac{t^2}{t+1}\]

Тогда часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке В от кредита, равна

\[\dfrac {2c}{S_2}=\dfrac{2t^2}{t+1}\]

Т.к. \(S_2=0,75S\), то часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке В от \({\color{blue}{\text{стоимости квартиры } S}}\), равна

\[\dfrac {2c}{S}=\dfrac{3\cdot 2t^2}{4\cdot (t+1)}\]

 

4) Второй вариант будет выгоднее первого, если часть, которую составляет сумма общих выплат по обоим кредитам (в банках Б и В) от стоимости квартиры, будет меньше, чем часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту (в банке А) от стоимости квартиры. То есть должно быть выполнено:

\[\dfrac{3\cdot 2t^2}{4\cdot (t+1)}+\dfrac{81}{4\cdot 38}<\dfrac{375}{244} \quad \Leftrightarrow \quad 4636t^2-3103t-3103<0\]

(т.к. \(t>1>0\))

 

Решая данное неравенство и учитывая положительность \(t\), получаем \[t<\dfrac{3103+\sqrt{67\,170\,641}}{9272}\]

Т.к. необходимо найти наибольшее целое \(y=100t-100\), то число \(\frac{3103+\sqrt{67\,170\,641}}{9272}\) необходимо оценить до третьего знака после запятой.

 

Оценим \(\sqrt{67\,170\,641}\).

 

Во-первых, \(8000=\sqrt{64\,000\,000}<\sqrt{67\,170\,641}<\sqrt{81\,000\,000}=9000\), следовательно, число \(\sqrt{67\,170\,641}\) состоит из четырех знаков, причем количество тысяч равно \(8\).

 

Во-вторых, т.к. \(8100^2=65\,610\,000\), а \(8200^2=67\,240\,000\), и \(8100^2<67\,170\,641<8200^2\), то количество сотен в данном числе равно \(1\).
(заметим, что \(\sqrt{67\,170\,641}\) находится ближе к \(8200\), нежели к \(8100\))

 

В-третьих, \(8190^2=67\,076\,100\), следовательно, \(8190<\sqrt{67\,170\,641}<8200\).

 

Таким образом, \[\dfrac{3103+8190}{9272}<\dfrac{3103+\sqrt{67\,170\,641}}{9272}<\dfrac{3103+8200}{9272} \quad \Leftrightarrow \quad 1,217...<\frac{3103+\sqrt{67\,170\,641}}{9272}<1,219...\]

Следовательно, наименьшее целое \(y\) равно \(21\).

Ответ:

\(21\%\)

Задание 18

При каких значениях параметра \(a\) уравнение

\[\cos x+\dfrac32 \cos \dfrac{2x}3+3\cos \dfrac x3=a\]

имеет решения.

\(1\)) Рассмотрим функцию \(f(x)=\cos x+\frac32 \cos \frac{2x}3+3\cos \frac x3\).
Главный период у \(\cos x\) – это \(2\pi\),   у \(\cos \frac{2x}3\) — это \(\dfrac{2\pi}{\frac23}=3\pi\),   у \(\cos\frac x3\) – это \(\dfrac{2\pi}{\frac13}=6\pi\).   Тогда главный период всей функции \(f(x)\) – это НОК этих периодов, то есть \(6\pi\).

 

\(2\)) Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы на любом отрезке длиной \(6\pi\) выполнялось: \(\mathrm{min}\,f(x)\leqslant a\leqslant \mathrm{max}\,f(x)\). Возьмем, например, отрезок \([0;6\pi]\).

 

\(3\)) Найдем критические точки функции и построим ее схематичный график для того, чтобы понять, чему равно \(\mathrm{min}\,f(x)\) и \(\mathrm{max}\,f(x)\).

 

\(f'(x)=\sin x+\sin \dfrac{2x}3+\sin \dfrac x3=0\quad \Rightarrow \quad \left(\sin x+\sin \dfrac{x}3\right)+\sin \dfrac{2x}3=0 \quad \Rightarrow\)

 

\(\Rightarrow \quad 2\sin \dfrac{2x}3\cos \dfrac x3+\sin \dfrac{2x}3=0 \quad \Rightarrow \quad \sin \dfrac{2x}3\left(2\cos \dfrac x3+1\right)=0\quad \Rightarrow \)

 

\(\Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\dfrac{2x}3=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[3pt] & \dfrac x3=\pm \dfrac{2\pi}3+2\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\dfrac32\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[3pt] &x=\pm 2\pi+6\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right.\)  

Промежутку \([0;6\pi]\) принадлежат точки \(0;\ \frac{3\pi}2;\ 2\pi;\ 3\pi;\ 4\pi; \ \frac{9\pi}2;\ 6\pi\). Значит, знаки производной такие:


 

Значит, минимальное значение на \([0;6\pi]\) функция принимает в одной из точек \(\frac{3\pi}2;\ 3\pi;\ \frac{9\pi}2\), а максимальное — в одной из \(0;\ 2\pi;\ 4\pi; \ 6\pi\).

 

\(\begin{aligned} &f(0)=f(6\pi)=\dfrac{11}2\\[4pt] &f\left(\dfrac{3\pi}2\right)=f\left(\dfrac{9\pi}2\right)=-\dfrac32\\[4pt] &f(2\pi)=f(4\pi)=-\dfrac54\\[4pt] &f(3\pi)=-\dfrac52 \end{aligned}\)

 

Тогда на \([0;6\pi]\) схематично функция выглядит так:


 

То есть \(\mathrm{min}\,f(x)=-\dfrac52, \ \mathrm{max}\,f(x)=\dfrac{11}2\). Значит, \(a\in\left[-\dfrac52;\dfrac{11}2\right]\).

Ответ:

\(a\in \left[-\dfrac52;\dfrac{11}2\right]\)

Задание 19

При каких значениях параметра \(a\) значение выражения \(\sqrt{e}\cdot(-x_1 - x_2)^3 - \pi\), где \(x_1\), \(x_2\) – корни уравнения \[4a^4x - 12 a^2x + x^2 + 11x + 8a = 0\] будет наибольшим?

\[\begin{aligned} &4a^4x - 12 a^2x + x^2 + 11x + 8a = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 + (4a^4 - 12a^2 + 11)x + 8a = 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad x^2 + \bigl((2a^2 - 3)^2 + 2\bigr)x + 8a = 0. \end{aligned}\]

По теореме Виета (если у данного уравнения есть корни) \[x_1 + x_2 = (2a^2 - 3)^2 + 2.\]

Данное выражение положительно при любом \(a\), следовательно, \[\sqrt{e}\cdot(-x_1 - x_2)^3 - \pi = -\sqrt{e}\cdot(x_1 + x_2)^3 - \pi < 0\] – при любом \(a\), тогда значение выражения \(\sqrt{e}\cdot(-x_1 - x_2)^3 - \pi\) максимально при тех же \(a\), при которых минимально значение выражения \(x_1 + x_2\).

Значение выражения \(x_1 + x_2\) будет наименьшим при \(a^2 = \dfrac{3}{2}\), то есть при \(a = \pm\sqrt{\dfrac{3}{2}}\).

 

Остаётся только проверить, что при \(a = \pm\sqrt{\dfrac{3}{2}}\) у уравнения будут корни. При \(a = \sqrt{\dfrac{3}{2}}\): \[x^2 + 2x + 8\sqrt{\dfrac{3}{2}}= 0.\] Так как дискриминант \(D = 4 - 32\sqrt{\dfrac{3}{2}} < 0\), то у данного уравнения нет корней, следовательно, \(a = \sqrt{\dfrac{3}{2}}\) нам не подходит. При \(a = -\sqrt{\dfrac{3}{2}}\): \[x^2 + 2x - 8\sqrt{\dfrac{3}{2}} = 0.\] Так как дискриминант \(D = 1 + 32\sqrt{\dfrac{3}{2}} > 0\), то у данного уравнения есть два корня.
В итоге ответ: при \(a = -\sqrt{\dfrac{3}{2}}\).

Ответ:

\(-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\)