Математика
Русский язык

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи по теме «Сфера и шар»

\(\blacktriangleright\) Сфера – это множество точек пространства, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки \(O\) (называемой центром сферы).

 

\(\blacktriangleright\) Шар – это сфера вместе со своей внутренностью.


 

Основные формулы (где \(R\) – радиус сферы или шара):

 

\(\blacktriangleright\) площадь сферы \({\large{S=4\pi R^2}}\)

\(\blacktriangleright\) объем шара \({\large{V=\dfrac{4}{3}\pi R^3}}\)

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Объем шара равен \(\displaystyle \frac{36}{\sqrt\pi}\). Чему будет равна площадь поверхности шара, если его радиус увеличить на \(\displaystyle \frac{6}{\sqrt\pi}\)?

Добавить задание в избранное

\(\displaystyle V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{36}{\sqrt\pi}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle R = \frac{3}{\sqrt\pi}\). Радиус нового шара равен: \(\displaystyle R_{\text{нов.}} = R + \frac{6}{\sqrt\pi} = \frac{9}{\sqrt\pi}\). Тогда найдем площадь поверхности: \(\displaystyle {S_{\text{пов.}} = 4\pi R_{\text{нов.}}^2 = 4\pi \left(\frac{9}{\sqrt\pi}\right)^2 = 4\pi\frac{81}{\pi} = 324}.\)

Ответ: 324

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Во сколько раз объем шара больше объема сегмента, высота которого равна половине радиуса?

Добавить задание в избранное

Необходимо объем шара разделить на объем соответствующего сегмента, высота которого равна \(H = \frac{1}{2}R\)

\[\frac{V_{\text{шара}}}{V_{\text{сегм.}}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\pi \left(\frac{1}{2}R\right)^2\left(R - \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}R\right)\right)} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{5}{24}\pi R^3} = \frac{4}{3} \cdot \frac{24}{5} = \frac{32}{5} = 6,4.\]

Ответ: 6,4

Задание 3
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Имеются две сферы \(S_1\) и \(S_2\), про которые известно, что радиус первой сферы в \(2\) раза больше, чем радиус второй сферы. Кроме того, сфера \(S_2\) целиком находится внутри сферы \(S_1\). Пусть объём шара, ограниченного второй сферой, равен \(V_2\), а объём тела, заключённого между сферами, равен \(V\). Найдите \(V : V_2\).

Добавить задание в избранное

Пусть \(V_1\) – объём шара, ограниченного первой сферой. Так как радиус \(S_1\) в два раза больше, чем радиус \(S_2\), то \(V_1 : V_2 = 8\).



\[V = V_1 - V_2 = 8V_2 - V_2 = 7V_2\,,\] следовательно, \(V : V_2 = 7\).

Ответ: 7

Задание 4
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Площадь поверхности шара равна \(\frac{37}{\pi}\). На расстоянии \(\frac1{2\pi}\) от центра шара проведена плоскость. Найдите длину полученной в сечении окружности.

Добавить задание в избранное

Т.к. площадь поверхности сферы ищется по формуле \(S=4\pi R^2\), то

\[4\pi R^2=\dfrac{37}{\pi} \quad \Rightarrow \quad R^2=\dfrac{37}{4\pi^2}\]


 

По условию задачи \(OQ=\frac1{2\pi}\). Рассмотрим \(\triangle OQT\): он прямоугольный (\(\angle OQT=90^\circ\)), гипотенуза \(OT=R\), катет \(QT\) равен радиусу \(r\) окружности сечения.

 

Таким образом, по теореме Пифагора \[QT^2=r^2=OT^2-OQ^2=\dfrac{37}{4\pi^2}-\dfrac1{4\pi^2}=\dfrac{9}{\pi^2} \quad \Rightarrow \quad r=\dfrac3{\pi}\]

Таким образом, длина окружности сечения равна \[C=2\pi r=2\pi\cdot\frac3{\pi}=6.\]

Ответ: 6

Задание 5
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Площадь поверхности шара равна \(64\). На расстоянии \(\frac3{2\sqrt{\pi}}\) от центра шара проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения.

Добавить задание в избранное

Т.к. площадь поверхности сферы ищется по формуле \(S=4\pi R^2\), то

\[4\pi R^2=64 \quad \Rightarrow \quad R^2=\dfrac{64}{4\pi}\]


 

По условию задачи \(OQ=\frac3{2\sqrt{\pi}}\). Рассмотрим \(\triangle OQT\): он прямоугольный (\(\angle OQT=90^\circ\)), гипотенуза \(OT=R\), катет \(QT\) равен радиусу \(r\) окружности сечения.

 

Таким образом, по теореме Пифагора \[QT^2=r^2=OT^2-OQ^2=\dfrac{64}{4\pi}-\dfrac9{4\pi}=\dfrac{55}{4\pi}\]

Таким образом, площадь сечения равна

\[S=\pi\cdot r^2=\pi\cdot \dfrac{55}{4\pi}=\dfrac{55}4=13,75.\]

Ответ: 13,75

Задание 6
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Точка \(D\) – центр сферы, точка \(A\) – центр круга \(L\), полученного в результате сечения этой сферы плоскостью. Точка \(B\) лежит на \(L\), \(AB\parallel CD\), где \(C\) – точка на сфере. Площадь \(L\) равна \(100\), \[S_{ABCD} = \dfrac{240}{\pi\sqrt{3}},\] \(\angle ABD = 30^\circ\). Найдите площадь сферы.

Добавить задание в избранное




 

Так как \(AB\parallel CD\), а \(A\) – центр круга \(L\), \(D\) – центр сферы, то \(AD\perp AB\) и \(AD\perp DC\), тогда \(ABCD\) – прямоугольная трапеция, \[S_{ABCD} = \dfrac{1}{2}\cdot(AB + CD)\cdot AD = \dfrac{R + r}{2}\cdot h,\] где \(R\) – радиус сферы, \(r\) – радиус \(L\), \(h = AD\).

\(S_{L} = \pi r^2 = 100\), тогда \(r = \dfrac{10}{\pi}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(DAB\):
т.к. \(\angle ADB = 30^\circ\), то \(AB = AD\cdot\mathrm{tg}\, 30^\circ\), откуда \[r = \dfrac{h}{\sqrt{3}}\qquad\Rightarrow\qquad h = r\sqrt{3} = \dfrac{10\sqrt{3}}{\sqrt{\pi}}.\] \(S_{ABCD} = \dfrac{R + r}{2}\cdot h = \dfrac{240}{\pi\sqrt{3}}\), откуда \(R = \dfrac{480}{h\pi\sqrt{3}} - r = \dfrac{480\sqrt{\pi}}{10\sqrt{3}\cdot\pi\sqrt{3}} - \dfrac{10}{\sqrt{\pi}} = \dfrac{6}{\sqrt{\pi}}\). \[S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2 = \dfrac{4\pi\cdot 36}{\pi} = 144.\]

Ответ: 144

Задание 7
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Центр большего основания усечённого конуса совпадает с центром сферы, а окружность его меньшего основания лежит на сфере. Отрезки \(BC\) и \(AD\) – диаметры меньшего и большего оснований этого усечённого конуса соответственно, \(BC\parallel AD\), \[S_{ABCD} = \dfrac{210}{\sqrt[3]{\pi^2}},\qquad\qquad \dfrac{r}{R} = \dfrac{1}{\sqrt{15}},\] где \(R\) и \(r\) – радиусы большего и меньшего оснований усечённого конуса соответственно, \(\angle ADC = 45^\circ\). Найдите объём шара, ограниченного данной сферой.

Добавить задание в избранное




 

Рассмотрим \(ABCD\): т.к. \(BC\parallel AD\), то \(ABCD\) – трапеция. Так как \(AB\) и \(CD\) – образующие усечённого конуса, то \(AB = CD\) и трапеция \(ABCD\) – равнобедренная.


 

Построим \(CH\perp AD\). Так как \(\angle ADC = 45^\circ\), то \(\triangle CHD\) – равнобедренный и \(CH = HD\).
\[HD = \dfrac{AD - BC}{2} = R - r,\qquad\qquad S_{ABCD} = \dfrac{BC + AD}{2}\cdot CH = (R + r)(R - r) = R^2 - r^2 = \dfrac{210}{\sqrt[3]{\pi^2}},\] но \(r = \dfrac{R}{\sqrt{15}}\), тогда \[R^2\left(1-\dfrac{1}{15}\right) = \dfrac{210}{\sqrt[3]{\pi^2}}\qquad\Rightarrow\qquad R = \dfrac{15}{\sqrt[3]{\pi}}\qquad\Rightarrow\qquad V_{\text{шара}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot\dfrac{15^3}{\pi} = 4500.\]

Ответ: 4500

Задачи по стереометрии, в которых требуется произвести расчет объема сферы и измерение других неизвестных параметров, встречаются в ЕГЭ каждый год. Это означает, что знать основные формулы и уметь оперативно находить правильный ответ должны выпускники с разным уровнем подготовки. Понимая принцип решения задач ЕГЭ, в которых требуется вычислить объем или, к примеру, площадь сферы, старшеклассники смогут выполнять упражнения с любым количеством действий и при этом получить достаточно высокие баллы по итогам прохождения экзаменационного испытания.

Базовая информация

  • Сферой называется поверхность, которая состоит из множества точек пространства. Все они располагаются на одинаковом расстоянии от точки О. Она является центром сферы.
  • Геометрическое тело, которое ограничено сферой, называется шаром. Его осевое сечение представляет собой круг. Радиус последнего равен радиусу шара.
  • Если радиус или диаметр шара увеличить в n раз, то площадь поверхности увеличится в n2 раз, а объем — в n3 раз.

Занимайтесь с образовательным порталом «Школково» для качественной подготовки к экзамену!

Проблема поиска необходимой информации встает перед старшеклассниками достаточно остро. Не всегда школьный учебник оказывается под рукой. А поиск базовых формул для вычисления площади, объема шара и других неизвестных параметров бывает достаточно трудоемким даже в онлайн-режиме.

Наш образовательный проект поможет сэкономить время и эффективно подготовиться к сдаче экзаменационного испытания. Мы предлагаем учащимся и их преподавателям выстроить процесс подготовки к ЕГЭ от простого к сложному. Такой подход позволит старшеклассникам понять, какие темы требуют более детального изучения, и улучшить имеющиеся знания.

Базовая информация, которую стоит повторить еще до выполнения задач на нахождение объема шара, представлена в разделе «Теоретическая справка». Материал, подготовленный опытными преподавателями «Школково», поможет вам восполнить пробелы в знаниях без помощи репетитора.

Чтобы задачи ЕГЭ по теме «Шар» не вызывали затруднений, мы предлагаем также потренироваться в выполнении соответствующих упражнений. Множество заданий разной степени сложности вы найдете в разделе «Каталог». Каждое упражнение содержит подробный алгоритм решения. Попрактиковавшись в режиме онлайн и поняв принцип нахождения правильного ответа, школьники смогут без труда вычислить объем сферы.

При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем вернуться к нему.

Выполнять онлайн-задания на нахождение площади боковой сферы могут не только школьники из столицы, но и выпускники из других российских городов.