а) Решите уравнение \[\log_7(2\cos^2x+3\cos x-1)=0\]
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{7\pi}2; -2\pi\right]\).
а) Заметим, что данное уравнение имеет линейный вид \(\log_7 f(x)=0\), что в свою очередь равносильно: \[\begin{cases} f(x)=7^0\\ f(x)>0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad f(x)=1\] Таким образом, \[2\cos^2x+3\cos x-1=1\quad\Leftrightarrow\quad 2\cos^2x+3\cos x-2=0\] Данное уравнение является квадратным относительно \(t=\cos x\): \[2t^2+3t-2=0\quad\Rightarrow\quad t_1=-2 , \quad t_2=\dfrac12\] Так как \(|\cos x|\leqslant 1\), то корень \(t_1\) не подходит, следовательно, \[\cos x=\dfrac12\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm \dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\]
б) Отберем корни. 1) \(-\dfrac{7\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}3+2\pi n\leqslant -2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{23}{12}\leqslant n\leqslant -\dfrac76\quad\Rightarrow\quad n=\varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in \varnothing\) 2) \(-\dfrac{7\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}3+2\pi n\leqslant -2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{19}{12}\leqslant n\leqslant -\dfrac56\quad\Rightarrow\quad n=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{7\pi}3\)
Ответ:
а) \(\pm \dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\)
б) \(-\dfrac{7\pi}3\)