Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сведение к простейшему виду логарифмических, тригонометрических уравнений

\(\blacktriangleright\) Стандартное логарифмическое уравнение (имеет смысл при \(a>0, a\ne 1\)):

 

\[\large{\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}}\]

\(\blacktriangleright\) Стандартное показательное уравнение (имеет смысл только при \(a>0, a\ne 1\)):

 

\[\large{{a^{f(x)}=a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x)=g(x)}\]

\(\blacktriangleright\) На ОДЗ верны следующие формулы:

\[\large{\begin{array}{|ll|} \hline a^0=1 &a^1=a\\ a^{nm}=(a^n)^m &a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\ \dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}&a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\\ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n &\\ a^{\frac{k}{r}}=\sqrt[r]{a^k} \qquad \qquad \qquad \qquad& \dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n\\&\\ a,b>0, \ \ a,b\ne 1, \ k\in \mathbb{Z},& r\in\mathbb{N}, \ m,n\in\mathbb{R}\\ \hline \end{array}}\]

 

\[\large{\begin{array}{|lcl|} \hline \log_a1=0& \qquad & \log_aa=1\\ &&\\ \log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_{|a|}{|b|}&& a^{\log_bc}=c^{\log_ba}\\ &&\\ \log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|}&& \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}\\ &&\\ \log_ab\cdot \log_bc=\log_ac & \Longleftrightarrow & \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}\\ &&\\ \log_ab\cdot \log_ba=1 & \Longleftrightarrow & \log_ab=\dfrac1{\log_ba}\\ &&\\ \hline \end{array}}\]

Задание 1 #3794
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\log_7(2\cos^2x+3\cos x-1)=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{7\pi}2; -2\pi\right]\).

а) Заметим, что данное уравнение имеет линейный вид \(\log_7 f(x)=0\), что в свою очередь равносильно: \[\begin{cases} f(x)=7^0\\ f(x)>0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad f(x)=1\] Таким образом, \[2\cos^2x+3\cos x-1=1\quad\Leftrightarrow\quad 2\cos^2x+3\cos x-2=0\] Данное уравнение является квадратным относительно \(t=\cos x\): \[2t^2+3t-2=0\quad\Rightarrow\quad t_1=-2 , \quad t_2=\dfrac12\] Так как \(|\cos x|\leqslant 1\), то корень \(t_1\) не подходит, следовательно, \[\cos x=\dfrac12\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm \dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни.   1) \(-\dfrac{7\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}3+2\pi n\leqslant -2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{23}{12}\leqslant n\leqslant -\dfrac76\quad\Rightarrow\quad n=\varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in \varnothing\)   2) \(-\dfrac{7\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}3+2\pi n\leqslant -2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{19}{12}\leqslant n\leqslant -\dfrac56\quad\Rightarrow\quad n=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{7\pi}3\)

Ответ:

а) \(\pm \dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

б) \(-\dfrac{7\pi}3\)

Задание 2 #3793
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\log_4(\sin x+\sin 2x+16)=2\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-4\pi; -\dfrac{5\pi}2\right].\)

а) Заметим, что данное уравнение имеет линейный вид \(\log_4 f(x)=2\). Таким образом, уравнение равносильно: \[\begin{cases} \sin x+\sin 2x+16>0\\ \sin x+\sin 2x+16=4^2\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \sin x+\sin 2x+16=16\quad\Leftrightarrow\quad \sin x+2\sin x\cos x=0\quad\Leftrightarrow\quad \sin x(1+2\cos x)=0\] Полученное уравнение выполняется, если:

 

1) \(\sin x=0\quad\Leftrightarrow\quad x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\)   или

 

2) \(\cos x=-\dfrac12\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm \dfrac{2\pi}3+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\)

 

б) Отберем корни:

 

1) \(-4\pi \leqslant \pi n\leqslant -\dfrac{5\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -4\leqslant n\leqslant -2,5\quad\Rightarrow\quad n=-4;-3\quad\Rightarrow\quad x=-4\pi; -3\pi\)  

2) \(-4\pi \leqslant \dfrac{2\pi}3+2\pi k\leqslant -\dfrac{5\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac73\leqslant k\leqslant -\dfrac{19}{12}\quad\Rightarrow\quad k=-2\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{10\pi}3\)  

3) \(-4\pi\leqslant -\dfrac{2\pi}3+2\pi k\leqslant -\dfrac{5\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac53\leqslant k\leqslant -\dfrac{11}{12}\quad\Rightarrow\quad k=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{8\pi}3\)

Ответ:

а) \(\pi n, \ \pm \dfrac{2\pi}3+2\pi k, \ n,k\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-4\pi; \ -\dfrac{10\pi}3; \ -3\pi; \ -\dfrac{8\pi}3\)

Задание 3 #3795
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[{\large{\left(16^{\sin x}\right)^{\cos x}=4^{\sqrt3\sin x}}}\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[3\pi; \dfrac{9\pi}2\right].\)

а) Так как \((a^x)^y=a^{xy}\), то данное уравнение равносильно: \[16^{\sin x\cos x}=4^{\sqrt3\sin x}\quad\Leftrightarrow\quad 4^{2\sin x\cos x}=4^{\sqrt3\sin x}\] Таким образом, уравнение приняло вид \(4^x=4^y\), что равносильно \(x=y\). Таким образом: \[2\sin x\cos x=\sqrt3\sin x\quad\Leftrightarrow\quad \sin x(2\cos x-\sqrt3)=0\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} & \sin x=0\\[1ex] & \cos x=\dfrac{\sqrt3}2\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Первое уравнение совокупности имеет решения \(x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\).
Второе: \(x=\pm \dfrac{\pi}6+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).

 

б) Отберем корни.   1) \(3\pi \leqslant \pi n\leqslant\dfrac{9\pi}2 \quad\Rightarrow\quad n=3; 4\quad\Rightarrow\quad x=3\pi ; 4\pi\)   2) \(3\pi \leqslant \dfrac{\pi}6+2\pi k\leqslant \dfrac{9\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{17}{12}\leqslant k\leqslant \dfrac{13}6\quad\Rightarrow\quad k=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{25\pi}6\)   3) \(3\pi \leqslant -\dfrac{\pi}6+2\pi k\leqslant \dfrac{9\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{19}{12}\leqslant k\leqslant \dfrac73\quad\Rightarrow\quad k=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{23\pi}6\)

Ответ:

а) \(\pi n, \pm \dfrac{\pi}6+2\pi k; k, n\in\mathbb{Z}\)

б) \(3\pi; \ \dfrac{23\pi}6; \ 4\pi; \ \dfrac{25\pi}6\)

Задание 4 #3796
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[{\large{\left(36^{\sin x}\right)^{-\cos x}=6^{\sin x}}}\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{7\pi}2;-2\pi\right]\).

а) Так как \((a^x)^y=a^{xy}\), то данное уравнение равносильно: \[36^{-\sin x\cos x}=6^{\sin x}\quad\Leftrightarrow\quad 6^{-2\sin x\cos x}=6^{\sin x}\] Таким образом, уравнение приняло вид \(6^x=6^y\), что равносильно \(x=y\). Таким образом: \[-2\sin x\cos x=\sin x\quad\Leftrightarrow\quad \sin x(2\cos x+1)=0\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} & \sin x=0\\[1ex] & \cos x=-\dfrac12\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Первое уравнение совокупности имеет решения \(x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\).
Второе: \(x=\pm \dfrac{2\pi}3+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).

 

б) Отберем корни.   1) \(-\dfrac{7\pi}2 \leqslant \pi n\leqslant -2\pi \quad\Rightarrow\quad n=-3;-2 \quad\Rightarrow\quad x=-3\pi ; -2\pi\)   2) \(-\dfrac{7\pi}2 \leqslant \dfrac{2\pi}3+2\pi k\leqslant -2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{25}{12}\leqslant k\leqslant -\dfrac{4}3\quad\Rightarrow\quad k=-2\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{10\pi}3\)   3) \(-\dfrac{7\pi}2 \leqslant -\dfrac{2\pi}3+2\pi k\leqslant -2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{17}{12}\leqslant k\leqslant -\dfrac{2}3\quad\Rightarrow\quad k=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{8\pi}3\)

Ответ:

а) \(\pi n, \pm \dfrac{2\pi}3+2\pi k; k, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{10\pi}3; \ -3\pi; \ -\dfrac{8\pi}3; \ -2\pi\)

Задание 5 #3797
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\log_5(5x^4+30)=1+\log_{\sqrt5}\sqrt{5x^2+2}\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac53; \dfrac{38}{13}\right].\)

а) ОДЗ данного уравнения: \[\begin{cases} 5x^4+30>0\\ \sqrt{5x^2+2}>0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} 5x^4+30>0\\ 5x^2+2>0\end{cases}\] Заметим, что так как любое выражение в четной степени всегда неотрицательно, то \(x^2\geqslant 0\) и \(x^4\geqslant 0\), следовательно, \(5x^2+2\geqslant 2>0\) и \(5x^4+30\geqslant 30>0\) при всех \(x\). Таким образом, неравенства в системе выполнены при всех \(x\), то есть ОДЗ: \(x\in \mathbb{R}\).
Решим уравнение на ОДЗ.
Так как \(1=\log_55\), на ОДЗ \(\log_ab=\log_{a^2}{b^2}\), то уравнение можно переписать в виде: \[\log_5(5x^4+30)=\log_55+\log_5(5x^2+2) \quad\Rightarrow\quad \log_5(5x^4+30)=\log_5 (5(5x^2+2))\] Данное уравнение имеет вид \(\log_5 f=\log_5 g\), которое на ОДЗ равносильно \(f=g\): \[5x^4+30=25x^2+10\quad\Leftrightarrow\quad x^4-5x^2+4=0\quad\Leftrightarrow\quad x^2=4\quad {\small{\text{или}}}\quad x^2=1\] Следовательно, \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=1\\ &x=-1\\ &x=2\\ &x=-2\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Все корни подходят под ОДЗ.

 

б) Отберем корни.   Так как \(-\dfrac53=-1\frac23\), \(\dfrac{38}{13}=2\frac{12}{13}\), то в отрезок \(\left[-1\frac23; 2\frac{12}{13}\right]\) входят только \(x=-1; \ 1; \ 2\).

Ответ:

а) \(-1; 1; -2; 2\)

б) \(-1; 1; 2\)

Задание 6 #3964
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[49^{\sin x}=\left(\dfrac17\right)^{-\sqrt2 \sin 2x}\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi; \dfrac{7\pi}2\right]\).

а) Данное уравнение можно переписать в виде \[7^{2\sin x}=7^{2\sqrt2\sin x\cos x}\quad\Leftrightarrow\quad 2\sin x(1-\sqrt2\cos x)=0\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=0\\[1ex] &\cos x=\dfrac{\sqrt2}2\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решением первого уравнения будут \(x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\)
Решением второго уравнения будут \(x=\pm \dfrac{\pi}4+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\).  

б) Отберем корни.   \(2\pi\leqslant \pi n\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad 2\leqslant n\leqslant 3,5\quad\Rightarrow\quad n=2;3\quad\Rightarrow\quad x=2\pi; 3\pi\)   \(2\pi \leqslant \dfrac{\pi}4+2\pi m\leqslant \dfrac{7\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac78\leqslant m\leqslant \dfrac{13}8 \quad\Rightarrow\quad m=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{9\pi}4\)   \(2\pi \leqslant -\dfrac{\pi}4+2\pi m\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac98\leqslant m\leqslant \dfrac{15}8\quad\Rightarrow\quad m\in \varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in \varnothing\)

Ответ:

а) \(\pi n, \pm\dfrac{\pi}4+2\pi m, \ n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(2\pi; \dfrac{9\pi}4; 3\pi\)

Задание 7 #3965
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\left(81^{\cos x}\right)^{\sin x}=9^{-\sqrt3 \cos x}\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi ; -\dfrac{\pi}2\right]\).

а) Решим уравнение \[9^{2\cos x\cdot \sin x}=9^{-\sqrt3 \cos x}\quad\Leftrightarrow\quad \cos x(2\sin x+\sqrt3)=0\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\cos x=0\\[2ex] &\sin x=-\dfrac{\sqrt3}2\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решениями первого уравнения будут \(x=\dfrac{\pi}2+\pi n, n\in\mathbb{Z}\).
Решениями второго будут \(x=-\dfrac{\pi}3+2\pi m, -\dfrac{2\pi}3+2\pi k, m,k\in\mathbb{Z}\)  

б) Отберем корни.   \(-2\pi \leqslant \dfrac{\pi}2+\pi n\leqslant -\dfrac{\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -2,5\leqslant n\leqslant -1\quad\Rightarrow\quad n=-2; -1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{3\pi}2; -\dfrac{\pi}2\)   \(-2\pi \leqslant -\dfrac{\pi}3+2\pi m\leqslant -\dfrac{\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac56\leqslant m\leqslant -\dfrac1{12}\quad\Rightarrow\quad m\in\varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in \varnothing\)   \(-2\pi \leqslant -\dfrac{2\pi}3+2\pi k\leqslant -\dfrac{\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac23\leqslant k\leqslant \dfrac1{12}\quad\Rightarrow\quad k=0\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{2\pi}3\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2+\pi n, -\dfrac{\pi}3+2\pi m, -\dfrac{2\pi}3+2\pi k, n,m,k\in\mathbb{Z}\)

б) \(-\dfrac{3\pi}2; -\dfrac{2\pi}3; -\dfrac{\pi}2\)