Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Уравнения в целых числах

Задание 1 #2234
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение \(x - y = 1\) в целых числах.

Добавить задание в избранное

Выразим \(y\): \[y = x - 1.\] Таким образом, при любом \(x\in\mathbb{Z}\) получим, что \(y = x - 1\) – целое число, то есть ответом будет множество всевозможных пар вида \((x; x - 1)\), где \(x\in\mathbb{Z}\), то есть \(\{(x; x - 1)\)| \(x\in\mathbb{Z}\}\).

Ответ:

\(\{(x; x - 1)\)| \(x\in\mathbb{Z}\}\)

Задание 2 #2235
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение \(48x + 36y = 0\) в целых числах.

Добавить задание в избранное

Выразим \(y\): \[y = -\dfrac{4}{3}x.\] Таким образом, только при \(x = 3k\), где \(k\in\mathbb{Z}\) получим, что \(y = -4k\) – целое число, то есть ответом будет множество всевозможных пар вида \((3k; -4k)\), где \(k\in\mathbb{Z}\), то есть \(\{(3k; -4k)\)| \(k\in\mathbb{Z}\}\).

Ответ:

\(\{(3k; -4k)\)| \(k\in\mathbb{Z}\}\)

Задание 3 #2236
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Докажите, что если НОД\((n; m) > 1\), где \(n, m\in\mathbb{N}\), то не существует целых чисел \(p\) и \(q\), таких что \(pn + qm = 1\).

Добавить задание в избранное

\(n\) и \(m\) делятся на НОД\((n; m)\), следовательно, \(pn + qm\) делится на НОД\((n; m) > 1\), следовательно, \(pn + qm\) не может быть равно 1.

Ответ:

Доказательство

Задание 4 #2237
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите какие-нибудь \(p, q\in\mathbb{Z}\) такие, что НОД\((9; 5) = 9p + 5q\).

Добавить задание в избранное

НОД\((9; 5) = 1\).

НОД\((9; 5) =\) НОД\((9 - 5 = 4; 5) =\) НОД\((9 - 5 = 4; 5 - (9 - 5) = 1)\), таким образом, \(1 = 5 - (9 - 5) = 2\cdot 5 + (-1)\cdot 9\).

Ответ:

\(p = -1\), \(q = 2\).

Задание 5 #2238
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение \[x^2 + 8y = 32\] в целых числах.

Добавить задание в избранное

Так как в равенстве \[x^2 + 8y = 32\] все слагаемые, кроме первого, делятся на \(8\), то и первое слагаемое должно делиться на \(8\).

Докажем от противного, что если \(x^2\, \vdots \,8\) при целом \(x\), то \(x\, \vdots \, 4\):
Пусть \(x\) не делится на \(4\). Если \(x\) не делится на \(2\), то \(x^2\) не делится на \(2\), что неверно. Если \(x\) делится на \(2\), то \(x = 2y\), где \(y\) – целое нечётное, тогда \(x^2 = 4y^2\), но \(y^2\) – нечётное, следовательно, \(x^2\) не делится на \(8\) – противоречие.

Таким образом, \(x\) во всех решениях имеет вид \(x = 4k\), где \(k\) – целое. Но все ли \(x\) вида \(x = 4k\) подходят? Выразим \(y\) при условии \(x = 4k\):\[16k^2 + 8y = 32\qquad\Leftrightarrow\qquad y = 4 - 2k^2\] – целое при \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, решениями уравнения являются всевозможные пары вида \((4k; 4 - 2k^2)\), \(k\in\mathbb{Z}\).

Ответ:

\(\{(4k; 4 - 2k^2)\)| \(k\in\mathbb{Z}\}\)

Задание 6 #2239
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Известно, что при некоторых действительных \(m\) и \(n\) числа \(m^2 - n^2\) и \(2mn\) – натуральные. Обязательно ли \(m\) и \(n\) целые?

Добавить задание в избранное

Обозначим \(a = 2mn\), \(b = m^2 - n^2\), тогда \[m = \dfrac{a}{2n},\qquad b = \dfrac{a^2}{4n^2} - n^2\qquad\Rightarrow\qquad (n^2)^2 + bn^2 - \dfrac{a^2}{4} = 0.\] Решая полученное биквадратное уравнение на \(n\), находим: \[n = \sqrt{\dfrac{\sqrt{a^2 + b^2} - b}{2}},\] тогда \[m = \dfrac{a}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{\sqrt{a^2 + b^2} - b}}.\]

Пусть, например, \(a = b = 1\), тогда \(n = \sqrt{\dfrac{\sqrt{2} - 1}{2}}\), \(m = \dfrac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{\sqrt{2} - 1}}\) – не являются целыми числами (например, \(n^2 = \dfrac{1}{\sqrt{2}} - 0,5\) – явно не целое).

Ответ:

Нет

Задание 7 #2240
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Докажите, что для любых натуральных чисел \(n\) и \(m\) существуют целые числа \(p\) и \(q\), такие что НОД\((n; m) = pn + qm\).

Добавить задание в избранное

Убедимся, что любой общий делитель всякой пары натуральных чисел \((n; m)\) является также и общим делителем пары \((m; n - m)\): если уменьшаемое делится на число \(k\), то оно имеет вид \(n = ak\), если вычитаемое делится на число \(k\), то оно имеет вид \(m = bk\), тогда \[n - m = ak - bk = (a - b)k,\] то есть их разность также делится на число \(k\).

Аналогично доказывается, что любой общий делитель пары \((m; n - m)\) является общим делителем пары \((n; m)\), следовательно, \[\text{НОД}(n; m) =\ \text{НОД}(m; n - m).\]

Пусть \(n > m\). Можно свести НОД\((n; m)\) к наибольшему общему делителю другой пары чисел, в которой наибольшее из чисел окажется меньше, чем \(n\), а именно: НОД\((n; m) =\) НОД\((m; n - m)\).

Таким образом, можно получить последовательность равенств вида \(... =\) НОД\((k; 0)\) или вида \(... =\) НОД\((k; k)\), но НОД\((k; k) =\) НОД\((k; 0)\).

Такую последовательность действительно можно получить, так как при \(n > m\) получается, что \(n > m\) и \(n > n - m\), то есть в равенстве НОД\((n; m) =\) НОД\((m; n - m)\) максимум из чисел под знаком НОД в правой части с каждым таким шагом уменьшается по крайней мере на 1, но числа \(n\) и \(m\) – конечны, следовательно, через конечное число преобразований можно получить цепочку равенств вида \(... =\) НОД\((k; 0)\).

 

\(\bullet\) Назовём выражение вида \(an + bm\), где \(a, b\in\mathbb{Z}\) линейной комбинацией над \(\mathbb{Z}\) чисел \(n\) и \(m\). Ясно, что сумма линейных комбинаций над \(\mathbb{Z}\) чисел \(n\) и \(m\) снова линейная комбинация над \(\mathbb{Z}\) чисел \(n\) и \(m\), разность линейных комбинаций над \(\mathbb{Z}\) чисел \(n\) и \(m\) снова линейная комбинация над \(\mathbb{Z}\) чисел \(n\) и \(m\).

 

Последнее полученное равенство можно продолжить: \[... =\ \text{НОД}(k; 0) = k.\] При этом число \(k\) получалось последовательным вычитанием из линейной комбинации над \(\mathbb{Z}\) чисел \(n\) и \(m\) линейных комбинаций над \(\mathbb{Z}\) чисел \(n\) и \(m\), то есть \(k\) есть линейная комбинация над \(\mathbb{Z}\) чисел \(n\) и \(m\), следовательно, существуют целые числа \(p\) и \(q\), такие что \(k = pn + qm\).

Ответ:

Доказательство

На этапе подготовки к Единому государственному экзамену по математике ученикам старших классов необходимо обратить особое внимание на некоторые темы. В их числе решение уравнений и задач в целых числах. Опыт прошлых лет показал, что такие задания вызвали у выпускников особые затруднения. Поэтому, независимо от уровня подготовки, советуем более тщательно подойти к занятиям, обратившись к нашему порталу.

Сдавайте экзаменационное тестирование на «отлично» вместе со «Школково»!

Наш онлайн-сервис предлагает инновационный метод подготовки к итоговой аттестации. Школьные пособия не всегда находятся под рукой, а разделы в них предусматривают только повторения типовых заданий. Обращаясь к «Школково», ученики не будут испытывать проблем с поиском необходимых правил и формул для решения уравнений в целых числах. Преподаватели нашего онлайн-сервиса тщательно систематизировали и подали в наиболее доступном виде всю информацию по теме. Поэтому ученикам выпускных классов понадобиться минимальное количество времени на повторение пройденных материалов. Кроме того, каждый день школьники смогут получать новую подборку упражнений, соответствующую их текущим знаниям и навыкам.

Мы предлагаем начать с раздела «Теоретическая справка». В нем представлены все необходимые данные для подготовки к выполнению заданий. После этого переходите к разделу «Каталоги». Там вы найдете множество упражнений различного уровня сложности. Список примеров постоянно обновляется и дополняется, поэтому у вас не будет недостатка в новых заданиях. Советуем начать с самых простых и постепенно переходить к более трудным. Таким образом вы сможете выявить свои наиболее слабые стороны и сделать упор на конкретных типах заданий. Если вы видите, что примеры низкого уровня сложности не вызывают у вас никаких проблем, можете пропустить их и приступить к решению уравнений в целых числах уровня ЕГЭ.

Если какой-то пример вызвал особое затруднение, добавьте его в «Избранное». Так вы сможете вернуться к нему позже, заручившись поддержкой преподавателя или попробовать выполнить его самостоятельно после повторения правил.

Для того чтобы подготовка была более результативной, советуем обращаться к порталу «Школково» ежедневно. Уже после нескольких занятий вы заметите, что вам стали просто даваться даже примеры, ранее вызывавшие непонимание и сложности.

Обратите внимание, что на нашем сайте могут проходить подготовку к ЕГЭ абсолютно все желающие. Чтобы сохранить прогресс и каждый день получать индивидуальные задания, зарегистрируйтесь в системе. Желаем приятной подготовки!