Математика
Русский язык

14. Задачи по стереометрии

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на построение сечений

Сечение — это плоская фигура, которая образуется при пересечении пространственной фигуры плоскостью и граница которой лежит на поверхности пространственной фигуры.

 

Важные факты и теоремы, необходимые для построения сечений

 

\(\blacktriangleright\) Определение: две прямые параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Если через две прямые нельзя провести одну плоскость, то такие прямые скрещиваются.

 

\(\blacktriangleright\) Теорема о параллельности трех прямых: если \(a\parallel b, \ b\parallel c\), то и \(a\parallel c\).

 

\(\blacktriangleright\) Определение: прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.

 

Признак параллельности прямой и плоскости: прямая, не лежащая в плоскости, параллельна этой плоскости, если она параллельна некоторой прямой из этой плоскости.

 

\(\blacktriangleright\) Определение:  две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.

 

Признак параллельности двух плоскостей:  если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

 

\(\blacktriangleright\) Если две плоскости пересекаются, то их линия пересечения — прямая.

 

\(\blacktriangleright\) Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то их линии пересечения параллельны (см. рис.)


 

\(\blacktriangleright\) Если плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой \(a\), а плоскости \(\beta\) и \(\gamma\) пересекаются по прямой \(b\), причем \(a\parallel b\), то плоскости \(\alpha\) и \(\gamma\) пересекутся по прямой \(c\parallel a\parallel b\).


 

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Через точку \(K\), середину ребра \(AA_1\), и точку \(B\) проведите плоскость \(\alpha\) параллельно диагонали \(A_1C\).

Добавить задание в избранное


 

Т.к. \(A_1C\parallel \alpha \Rightarrow A_1C\) параллельна некоторой прямой, содержащейся в \(\alpha\). Рассмотрим плоскость \(AA_1C_1C\), в которой находится \(A_1C\). Т.к. точка \(K\in AA_1C_1C\), то проведем в этой плоскости \(KN \parallel A_1C\) (по теореме Фалеса \(N\) – середина \(AC\)).

 

Т.к. \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб, то \(N\) – точка пересечения диагоналей квадрата \(ABCD\), следовательно, \(N\in BD\). Таким образом, получили сечение \(KBD\) куба плоскостью \(\alpha\).

Ответ:

Рисунок.

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). На ребрах \(AA_1\) и \(BC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причем \(AM:MA_1=2:1\), а \(N\) – середина \(BC\). Найдите сечение куба плоскостью \(DMN\).

Добавить задание в избранное


 

Т.к. грани \(ADD_1A_1\) и \(BCC_1B_1\) куба параллельны, то плоскость \(DMN\) пересечет их по параллельным прямым. Таким образом, проведем \(NK\parallel DM\). Таким образом, \(DNKM\) – искомое сечение.

 

Необходимо найти точное расположение точки \(M\).

Обозначим ребро куба за \(6x\). Т.к. \(\bigtriangleup ADM \sim \bigtriangleup BNK \Rightarrow \dfrac{BK}{AM}=\dfrac{BN}{AD} \Rightarrow BK=2x\). Таким образом, \(BK:KB_1=1:2\).

Ответ:

Рисунок.

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

\(SABCD\) – четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат \(ABCD\), а две боковые грани \(SAB\) и \(SAD\) представляют собой прямоугольные треугольники с прямым углом \(\angle A\).

 

1) Проведите плоскость \(\alpha\) через точку пересечения диагоналей основания параллельно грани \(SBC\).

2) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью \(\alpha\), если \(SA=AB=a\).

Добавить задание в избранное

1) Пусть \(AC\cap BD=O\). Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.



Заметим, что т.к. \(\angle SAB=\angle SAD=90^\circ \Rightarrow SA\perp (ABC)\).

 

Проведем в плоскости \(SAC\) прямую \(OK\parallel SC\). Т.к. \(O\) – середина \(AC\), то по теореме Фалеса \(K\) – середина \(SA\). Через точку \(K\) в плоскости \(SAB\) проведем \(KM\parallel SB\) (следовательно, \(M\) – середина \(AB\)). Таким образом, плоскость, проходящая через прямые \(OK\) и \(KM\), и будет искомой плоскостью.

 

Необходимо найти сечение пирамиды этой плоскостью. Соединив точки \(O\) и \(M\), получим прямую \(MN\).

 

Т.к. \(\alpha\parallel (SBC)\),то \(\alpha\) пересечет плоскость \(SCD\) по прямой \(NP\parallel SC\) (если \(NP\cap SC \ne \varnothing\), то \(\alpha\cap (SBC)\ne \varnothing\), что невозможно ввиду их параллельности).

 

Таким образом, \(KMNP\) – искомое сечение, причем \(KP\parallel AD\parallel MN \Rightarrow\) это трапеция.

 

2) Т.к. все точки \(K,M,N,P\) – середины отрезков \(SA, AB, CD, SD\) соответственно, то:

 

а) \(MN=AD=a\)

 

б) \(KP=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{a}{2}\)

 

в) \(KM=\dfrac{1}{2}SB=\dfrac{a\sqrt2}{2}\)

 

Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах \(SB\perp BC \Rightarrow KM\perp MN\). Таким образом, \(KMNP\) – прямоугольная трапеция.

 

\(S_{KMNP}=\dfrac{KP+MN}{2}\cdot KM=\dfrac{3\sqrt2}{8}a^2\)

Ответ:

1) Рисунок.

2) \(\dfrac{3\sqrt2}{8}a^2\)

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дана правильная треугольная пирамида \(SABC\) с вершиной \(S\). Проведите плоскость через середину ребра \(AC\) и точки пересечения медиан граней \(ASB\) и \(CSB\). Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если \(AB=21, AS=12\sqrt2\).

Добавить задание в избранное

1) Пусть\(K\) – середина \(AC\), \(SX, AL\) – медианы грани \(ASB\), \(CL, SY\) – медианы грани \(CSB\), \(AL\cap SX=M, CL\cap SY=N\). \(SO\) – высота пирамиды.

 

Найдем сечение пирамиды плоскостью \(MNK\).
Т.к. пирамида правильная, то \(\triangle SXY\) – равнобедренный, \(SM=SN=\dfrac{2}{3}SX \Rightarrow MN\parallel XY \Rightarrow MN\parallel (ABC)\). Таким образом, плоскость \(MNK\) содержит прямую \(MN\), параллельную \(ABC\), следовательно, плоскость \(MNK\) пересечет плоскость \(ABC\) по прямой, параллельной \(MN\) (если это не так, то линия пересечения этих плоскостей \(l\cap MN=E \Rightarrow E\in (ABC)\) и \(E\in MN \Rightarrow MN\) не может быть параллельна \((ABC)\)).

 

 

Прямая, проходящая через точку \(K\) и параллельная \(MN\) (или \(XY\)) – это \(AC\). Следовательно, сечением является равнобедренный треугольник \(ALC\).

 

2) Пусть \(LK\cap SO=H\). Тогда по теореме о трех перпендикулярах \(HK\perp AC\) как наклонная (\(HO\perp (ABC), OK\perp AC\) как проекция). Следовательно, и \(LK\perp AC\).

 

Тогда \(S_{ALC}=\dfrac{1}{2}AC\cdot LK\).

 


 

Рассмотрим \(\triangle SKB: \ BK=AB\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{21\sqrt3}{2} \Rightarrow \cos B=\dfrac{7\sqrt3}{12\sqrt2}\).

 

Тогда по теореме косинусов для \(\triangle KLB\):

 

\(KL^2=\dfrac{729}{4} \Rightarrow KL=\dfrac{27}{2}\)

 

Значит, \(S_{ALC}=\dfrac{567}{4}\).

Ответ:

\(\dfrac{567}{4}\).

Задание 5
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Диагонали основания \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Найдите сечение куба плоскостью \(\alpha\), проходящей через точку \(A\) перпендикулярно прямой \(A_1O\).

Добавить задание в избранное

1) Если \(A_1O\perp \alpha\), то \(A_1O\) перпендикулярно двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости \(\alpha\). Построим эти две прямые.

 

Рассмотрим плоскость \(AA_1C_1C\) (\(A_1O\) лежит в этой плоскости). Проведем в ней \(AQ\perp A_1O\). Теперь необходимо через их точку пересечения (точку \(Q\)) провести еще одну прямую перпендикулярно \(A_1O\).

 

Рассмотрим для этого плоскость \(A_1BD\) (\(A_1O\) лежит в этой плоскости). Проведем через точку \(Q\) прямую \(RS\perp A_1O\). Т.к. по теореме о трех перпендикулярах \(A_1O\perp BD\) как наклонная (\(A_1A\perp (ABC), AO\perp BD\) – проекция), то \(RS\parallel BD\).

 

2) Проведем прямые \(AR\) и \(AS\). Они могут пересечь либо сами ребра \(DD_1\) и \(BB_1\), либо их продолжения. Т.к. от этого зависит вид сечения, определим расположение точек \(R\) и \(S\).


 

Обозначим ребро куба за \(a\). Тогда \(AO=\dfrac{a\sqrt2}{2}=\dfrac a{\sqrt2}\). Рассмотрим прямоугольный \(\triangle AA_1O\). Так как \(AQ\perp A_1O\), то по свойству прямоугольного треугольника \(\triangle AA_1Q\sim \triangle AA_1O\). Следовательно, \[\dfrac{A_1Q}{AA_1}=\dfrac{AA_1}{A_1O}\] Так как по теореме Пифагора \(A_1O=\sqrt{a^2+\frac{a^2}2}=\dfrac{\sqrt6 a}2\), то \[A_1Q=\dfrac{AA_1^2}{A_1O}=\dfrac{\sqrt6}3a\]

Так как \(RS\parallel BD\), то \(\triangle A_1DO\sim \triangle A_1RQ\), следовательно, \[\dfrac{A_1R}{A_1D}=\dfrac{A_1Q}{A_1O}=\dfrac{\sqrt6}3:\dfrac{\sqrt6}2= \dfrac23\] Аналогично \(A_1S:A_1B=2:3\).

 

Заметим, что \(\triangle AA_1R\sim \triangle MDR\) с коэффициентом подобия \(2\) (\(A_1R:RD=2:1\)), следовательно, \(MD=\frac12AA_1\).
Аналогично \(PB=\frac12AA_1\).

 

Таким образом, получили линии пересечения плоскостей \(AA_1D_1\) и \(AA_1B_1\) с плоскостью \(\alpha\) – прямые \(AM\) и \(AP\).

 

3) Так как плоскости \(AA_1B_1\) и \(DD_1C_1\) параллельны, то плоскость \(\alpha\) пересечет их по параллельным прямым. Следовательно, в плоскости \(DD_1C_1\) через точку \(M\) нужно провести прямую, параллельную \(AP\).
Так как \(M\) и \(P\) – середины \(DD_1\) и \(BB_1\), то \(MC_1\parallel AP\).



Таким образом, сечение куба плоскостью \(\alpha\) – это четырехугольник \(AMC_1P\) (который, вообще говоря, является ромбом, так как \(AM=AP=MC_1\) и \(MC_1\parallel AP\)).

Ответ:

Рисунок.

Задание 6
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), в основании которого лежит квадрат \(ABCD\). На ребрах \(BB_1\), \(CC_1\), \(DD_1\) отмечены точки \(M, N, K\) соответственно так, что \(BM:MB_1=1:5\), \(CN:NC_1=3:1\), \(DK:KD_1=1:2\).
Найдите отношение отрезков, на которые делит плоскость \(MNK\) диагональ \(AC\).

Добавить задание в избранное

Обозначим ребро основания за \(a\), а боковое ребро за \(b\). Тогда из условия задачи следует, что \(BM=\frac16b\), \(CN=\frac34b\), \(DK=\frac13b\).


 

Найдем положение точек \(R\) и \(T\), в которых плоскость пересекает ребра \(AB\) и \(AD\) соответственно.

 

1) Продлим отрезки \(NK\) и \(CD\) до пересечения в точке \(Q\). Тогда \(\triangle QDK\sim \triangle QNC\). Следовательно,

\[\dfrac{QD}{QC}=\dfrac{KD}{NC} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{QD}{QD+a}=\dfrac{\frac13b}{\frac34b}=\dfrac49 \quad \Rightarrow \quad QD=\dfrac45a.\]

Аналогично из \(\triangle OMB\sim \triangle ONC\) получаем, что \[OB=\dfrac27a.\]

Соединив точки \(Q\) и \(O\), получим точки пересечения плоскости с ребрами \(AB\) и \(AD\).

 

2) Рассмотрим основание.


 

\(\triangle OBR\sim \triangle OCQ\), следовательно,

\[\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{BR}{CQ} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{\frac27a}{\frac97a}=\dfrac{BR}{\frac95a} \quad \Rightarrow \quad BR=\dfrac25a.\]

\(\triangle OBR\sim \triangle TAR\), следовательно,

\[\dfrac{OB}{AT}=\dfrac{BR}{AR}\quad \Rightarrow \quad \dfrac{\frac27a}{AT}=\dfrac{\frac25a}{\frac35a} \quad \Rightarrow \quad AT=\dfrac37a.\]

3) Для того, чтобы найти, в каком отношении \(RT\) поделит \(AC\), проведем прямую \(RG\parallel AD\), \(G\in AC\).


 

Тогда \(\triangle ARG\) – прямоугольный и \(\angle RAG=45^\circ\), то есть он равнобедренный и \(RG=\frac35a\). Тогда по теореме Фалеса \(AG:AC=AR:AB=3:5\), следовательно, т.к. \(AC=a\sqrt2\), то \(AG=\frac{3\sqrt2}5a\).

 

\(\triangle AST\sim \triangle RSG\), следовательно,

\[\dfrac{AT}{RG}=\dfrac{AS}{SG} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{\frac37a}{\frac35a}=\dfrac{AS}{\frac{3\sqrt2}5a-AS} \quad \Rightarrow \quad AS=\dfrac{\sqrt2}4a.\]

Тогда \(SC=a\sqrt2-\frac{\sqrt2}4a=\frac{3\sqrt2}4a\) и \(AS:SC=1:3\).

Ответ:

\(1:3\)

Теме «Построение сечения» в ЕГЭ по математике профильного уровня посвящается, как правило, несколько заданий. Они могут требовать от школьника как краткого ответа, так и полного развернутого решения. Если одним из ваших слабых мест являются именно задачи на сечения (в ЕГЭ при этом вы хотите получить конкурентные баллы), непременно стоит повторить или вновь разобраться в материале.

Сделать это наиболее эффективно вам поможет образовательный математический проект «Школково». Наши специалисты подготовили теоретический материал, изложив его таким образом, чтобы школьники с любым уровнем подготовки смогли восполнить пробелы в знаниях и легко справиться с решением задач на сечение.

Полезная информация

Для того чтобы выполнить построение сечений в ЕГЭ, нужно отметить точки пересечения пространственной фигуры с ребрами и произвести их соединение, начертив отрезки.

Необходимо запомнить

Производится соединение только двух точек, которые лежат в плоскости одной грани. Прежде чем приступить к решению задачи на построение сечений, полезно повторить материал о параллельных прямых. Сделать это вы можете, посетив раздел «Теоретическая справка».

Также необходимо запомнить, что пересечение секущей плоскости параллельных граней возможно только по параллельным отрезкам.

В том случае, когда в плоскости грани обозначена только одна точка, которая принадлежит плоскости сечения, следует отметить еще одну дополнительную. Для того чтобы это сделать, нужно определить точки пересечения прямых, которые уже построены, с теми, которые лежат в тех же гранях.

Выполнив построение сечений многогранников в задачах, которые представлены в нашем «Каталоге», вы сможете закрепить изученный материал и успешно справиться с подобным заданием на ЕГЭ в Москве.