ОДЗ: \[\begin{cases}
x > 0\\
x\neq 1\\
x + 0,5 > 0\\
x + 0,5\neq 1
\end{cases}
\qquad\Leftrightarrow\qquad
\begin{cases}
x > 0\\
x\neq 1\\
x\neq 0,5
\end{cases}\]
На ОДЗ:
\[\begin{aligned}
&\log_x 10 > \log_{(x + 0,5)} 10\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{\lg x} > \dfrac{1}{\lg (x + 0,5)}\,.
\end{aligned}\]
Рассмотрим отдельно случаи \(x\in(0; 0,5)\), \(x\in(0,5; 1)\) и \(x\in(1; +\infty)\).
1) \(x\in(0; 0,5)\), тогда \[\lg x < 0,\qquad\lg(x + 0,5) < 0,\] следовательно,
\[\begin{aligned}
&\dfrac{1}{\lg x} > \dfrac{1}{\lg (x + 0,5)}\qquad\Leftrightarrow\qquad\lg (x + 0,5) > \lg x\qquad\Leftrightarrow\qquad\lg \dfrac{x + 0,5}{x} > \lg 1\qquad\Leftrightarrow\\
&\Leftrightarrow\qquad \dfrac{x + 0,5}{x} > 1\qquad\Leftrightarrow\qquad x + 0,5 > x\qquad\Leftrightarrow\qquad 0,5 > 0
\end{aligned}\]
Таким образом, все \(x\in(0; 0,5)\) идут в ответ.
2) \(x\in (0,5; 1)\), тогда \[\lg x < 0,\qquad \lg(x + 0,5) > 0,\] следовательно,
\[\begin{aligned}
\dfrac{1}{\lg x} < 0 < \dfrac{1}{\lg (x + 0,5)}
\end{aligned}\]
Таким образом, среди \(x\in (0,5; 1)\) решений нет.
3) \(x\in (1; +\infty)\), тогда \[\lg x > 0,\qquad \lg(x + 0,5) > 0,\] следовательно,
\[\begin{aligned}
&\dfrac{1}{\lg x} > \dfrac{1}{\lg (x + 0,5)}\qquad\Leftrightarrow\qquad\lg (x + 0,5) > \lg x\qquad\Leftrightarrow\qquad\lg \dfrac{x + 0,5}{x} > \lg 1\qquad\Leftrightarrow\\
&\Leftrightarrow\qquad \dfrac{x + 0,5}{x} > 1\qquad\Leftrightarrow\qquad x + 0,5 > x\qquad\Leftrightarrow\qquad 0,5 > 0
\end{aligned}\]
Таким образом, все \(x\in(1; +\infty)\) идут в ответ.
Так как мы рассмотрели все \(x\) из ОДЗ, то других решений быть не может и окончательный ответ: \[x\in(0; 0,5)\cup(1; +\infty).\]
Ответ:
\((0; 0,5)\cup(1; +\infty)\)