Математика
Русский язык

Тренировочные варианты "Школково". Уровень составитель ЕГЭ

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Уровень составитель ЕГЭ. Тренировочный вариант №3

Задание 1

Билет в кино стоит \(500\) рублей. Двум киноманам из группы в пять человек была сделана скидка в \(1\%\). Сколько в сумме отдали эти \(5\) киноманов за сеанс в кино?

Билет со скидкой стоит \(500 \cdot (1 - 0,01) = 495\) рублей. Из группы в пять человек двое шли со скидкой, остальные трое платили по \(500\) рублей за билет. В сумме эти \(5\) киноманов отдали \(500 \cdot 3 + 495 \cdot 2 = 2490\) рублей.

Ответ: 2490

Задание 2

На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении \(9\) суток. По вертикали указывается температура в градусах Фаренгейта, по горизонтали – соответствующие сутки. Определите по рисунку наименьшую температуру с \(3\) по \(7\) сутки. Ответ дайте в градусах Фаренгейта.



По рисунку видно, что в указанный период времени наименьшая температура составляла \(20\) градусов Фаренгейта.

Ответ: 20

Задание 3

Точка \(E\) лежит на стороне \(AC\) треугольника \(ABC\), причём \(\dfrac{EC}{AE} = 3\). Точка \(D\) лежит на \(BC\), причём \(\dfrac{CD}{CB} = 0,75\). Найдите \(\angle CED - \angle CAB\). Ответ дайте в градусах.



Рассмотрим треугольники \(CAB\) и \(CED\):
\(\angle C\) – общий,
\[\dfrac{CA}{CE} = \dfrac{AE + CE}{CE} = \dfrac{AE}{CE} + 1 = \dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{4}{3} = \dfrac{CB}{CD},\] тогда треугольники \(CAB\) и \(CED\) подобны по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними.

В подобных треугольниках против пропорциональных сторон лежат равные углы, тогда \(\angle CED = \angle CAB\), откуда \(\angle CED - \angle CAB = 0^{\circ}\).

Ответ: 0

Задание 4

В рамках случайного эксперимента дважды подбрасывается правильная игральная кость (\(6\)-гранный кубик). Какова вероятность того, что выпавшая сумма цифр будет делиться на \(4\)? Ответ округлите до сотых.

Так как вероятности выпадения любой упорядоченной пары чисел вида \((a; b)\) одинаковы (\(a\) и \(b\) – числа из множества \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\)), то искомая вероятность есть просто отношение суммарного количества пар \((a; b)\) таких, что \(a + b\) кратно \(4\), к общему количеству пар вида \((a; b)\). Сумма \(a + b\) кратна 4 в тех случаях, когда \(a + b = 4\) или \(a + b = 8\), или \(a + b = 12\).

Под условие \(a + b = 4\) подходят \(3\) пары: \((1; 3)\), \((3; 1)\) и \((2; 2)\),
под условие \(a + b = 8\) подходят \(5\) пар: \((2; 6)\), \((6; 2)\), \((3; 5)\), \((5; 3)\), \((4; 4)\),
под условие \(a + b = 12\) подходит \(1\) пара: \((6; 6)\),
общее количество возможных пар вида \((a; b)\) равно \(36\).

Итого: искомая вероятность равна \[\dfrac{3 + 5 + 1}{36} = 0,25.\] После округления до сотых получаем \(0,25\).

Ответ: 0,25

Задание 5

Найдите корень уравнения \(\dfrac{1 - 2x}{\dfrac{2}{3} + x} = x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

ОДЗ: \(x \neq -\dfrac{2}{3}\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1 - 2x - x\cdot\left(\dfrac{2}{3} + x\right)}{\dfrac{2}{3} + x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \[1 - 2x - x\cdot\left(\dfrac{2}{3} + x\right) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 + 2\dfrac{2}{3}x - 1 = 0.\] Дискриминант данного уравнения \[D = \dfrac{64}{9} + 4 = \left(\dfrac{10}{3}\right)^2.\] Корни квадратного уравнения \[x_1 = \dfrac{1}{3}, \ x_2 = -3\] – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = -3\) – наименьший корень.

Ответ: -3

Задание 6

Хорда \(CD\) перпендикулярна диаметру \(AB\). Найдите разность градусных мер дуг \(AC\) и \(AD\) (тех, которые меньше полуокружности). Ответ дайте в градусах.

Построим отрезки \(CA\), \(AD\) и \(CB\), точку пересечения \(CD\) и \(AB\) обозначим \(E\).



\(\angle BCD = \angle BAD\) как вписанные, опирающиеся на общую дугу. Так как \(AB\) – диаметр, то \(\angle BCA = 90^{\circ}\).

Тогда \(\angle BCD\) дополняет \(\angle DCA\) до \(90^{\circ}\), а \(\angle BAD\) дополняет \(\angle CDA\) до \(90^{\circ}\) и из равенства \(\angle BCD = \angle BAD\) вытекает \(\angle DCA = \angle CDA\), следовательно, дуги \(AC\) и \(AD\) равны.

Ответ: 0

Задание 7

На рисунке изображен график функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-0,5; 4,3)\). Определите количество целых точек (у которых координата – целое число), в которых производная функции отрицательна.

Для функции \(f(x)\), у которой производная в точке \(x_0\) имеет смысл, \(f'(x_0) < 0\) равносильно тому, что \(f(x)\) убывает в \(x_0\).

На интервале \((-0,5; 4,3)\) целыми являются точки \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\). Среди этих точек \(f(x)\) убывает только в \(0\), \(2\) и \(3\). Таким образом, производная функции \(y = f(x)\) отрицательна в \(3\) целых точках.

Ответ: 3

Задание 8

\(AD\) – ось цилиндра, \(BC\) – его образующая, \(S_{ABCD} = \dfrac{16\sqrt{3}}{\sqrt[3]{\pi^2}}\), \(\angle CAD = 60^\circ\). Найдите объём цилиндра.




 

Так как \(AD\) и \(BC\) – высоты цилиндра, то \(ABCD\) – прямоугольник, тогда \[S_{ABCD} = AD\cdot DC = H\cdot R = \dfrac{16\sqrt{3}}{\sqrt[3]{\pi^2}}.\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ADC\):
Т.к. \(\angle DAC = 60^\circ\), то \[AD = \mathrm{tg}\, \angle ACD\cdot DC = \mathrm{tg}\, 30^\circ\cdot R = \dfrac{R}{\sqrt{3}},\] т.е. \(H = \dfrac{R}{\sqrt{3}}\) или \(R = \sqrt{3}H\).

Подставляя выражение для \(R\) в \(S_{ABCD}\), получим: \[H^2\cdot\sqrt{3} = \dfrac{16\sqrt{3}}{\sqrt[3]{\pi^2}},\] откуда \(H = \dfrac{4}{\sqrt[3]{\pi}}\), тогда \(R = \dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt[3]{\pi}}\).

\[V_{\text{цил}} = \pi R^2 H = \pi\cdot \dfrac{16\cdot 3}{\sqrt[3]{\pi^2}}\cdot\dfrac{4}{\sqrt[3]{\pi}} = 192.\]

Ответ: 192

Задание 9

Найдите значение выражения \(\log_{x^2}\left(\dfrac{x^2}{y^3}\right)\), если \(\log_{y}x = 10\).

По свойствам логарифма при \(\dfrac{x^2}{y^3} > 0\), \(1 \neq x^2 > 0\): \[\log_{x^2}\left(\dfrac{x^2}{y^3}\right) = \log_{x^2}(x^2) - \log_{x^2}(y^3) = 1 - \dfrac{1}{2} \cdot 3 \log_{x}y.\]

\(\log_{x}y = \dfrac{1}{\log_{y}x} = 0,1\) и значит окончательно \(\log_{x^2}\left(\dfrac{x^2}{y^3}\right) = 1 - 1,5 \cdot 0,1 = 1 - 0,15 = 0,85\).

Ответ: 0,85

Задание 10

Проводя опыты с погружением тела, ограниченного поверхностью куба, в жидкость, Настя вспомнила, что на погружённое в жидкость тело действует выталкивающая сила (сила Архимеда), которая находится по формуле \(F_A = \rho gV\), где \(\rho\) – плотность воды в \(кг/м^3\), \(g = 9,8\, м/с^2\) – ускорение свободного падения, \(V\) – объем тела в \(м^3\). Она задумалась, в какое минимальное число раз надо увеличить каждое ребро куба, ограничивающего тело, чтобы сила Архимеда, действующая на тело, увеличилась не менее, чем в \(64\) раза. Какой ответ она должна получить при правильном вычислении?

Пусть длина ребра начального куба равна \(x\, м\), тогда объем ограниченного им тела равен \(x^3\, м^3\), следовательно, начальная сила Архимеда равна \(F_{A_{\text{н}}} = \rho gx^3\). Обозначим ребро искомого куба за \(y\). Так как сила Архимеда должна увеличиться не менее, чем в \(64\) раза, то \[\rho gy^3 \geqslant 64F_{A_{\text{н}}} = 64\rho gx^3\qquad\Leftrightarrow\qquad y^3 - 64x^3\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad y^3 - (4x)^3 \geqslant 0.\] Так как фактически в задаче просят найти именно отношение \(y\) к \(x\), то обозначим \(\dfrac{y}{x} = z\), откуда \(y = zx\), следовательно, \[(zx)^3 - (4x)^3 \geqslant 0.\] Последнее неравенство можно разделить на \(x^3\) с учётом того, что \(x^3 > 0\) (так как \(x > 0\)). В результате получим \[z^3 - 4^3\geqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \(z^3 - 4^3 = 0\): \(z = 4\), тогда:



то есть минимальное число раз, в которое надо увеличить ребро куба, ограничивающего тело, чтобы сила Архимеда, действующая на тело, увеличилась не менее, чем в \(64\) раза, равно \(4\).

Ответ: 4

Задание 11

Теплоход с туристами плыл из города А в город В. Его скорость в неподвижной воде была \(12\, км/ч\). В городе В он сделал остановку продолжительностью \(5\) часов, после чего поплыл обратно в А. Скорость течения составляла \(2\, км/ч\). В город А теплоход вернулся через \(29\) часов после отплытия из него. Найдите расстояние между А и В. Ответ дайте в километрах.

Пусть \(S\, км\) – расстояние, которое проплыл теплоход по пути из А в В, тогда

 

\(\dfrac{S}{12 + 2}\) часов – время, которое теплоход плыл по течению,

 

\(\dfrac{S}{12 - 2}\) часов – время, которое теплоход плыл против течения,

 

плыл теплоход всего \(29 - 5 = 24\) часа, тогда:

\[\dfrac{S}{14} + \dfrac{S}{10} = 24,\] откуда находим \(S = 140\, км\).

Ответ: 140

Задание 12

Найдите точку минимума функции

\(y = e^{x^2 - 2016x + 2017}\).

1) \[y' = e^{x^2 - 2016x + 2017}\cdot(2x - 2016).\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[e^{x^2 - 2016x + 2017}\cdot(2x - 2016) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x - 2016 = 0\] (так как \(e^t > 0\) при любом \(t\)), откуда находим \(x = 1008\). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = 1008\) – точка минимума функции \(y\).

Ответ: 1008

Задание 13

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} 2\cos^2 (2x) - 3^{1,5}\cos (2x) = -3. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((-\pi; \pi]\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Перенесём всё влево:

\[\begin{aligned} 2\cos^2 (2x) - 3\sqrt{3}\cos (2x) + 3 = 0. \end{aligned}\]

Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно \(\cos (2x)\).

Сделаем замену \(\cos (2x) = t\), тогда уравнение примет вид \[2t^2 - 3\sqrt{3}t + 3 = 0.\] Его дискриминант \(D = 27 - 24 = 3\), тогда \(t_{1, 2} = \dfrac{3\sqrt{3}\pm\sqrt{3}}{4}\), откуда \(t_1 = \sqrt{3}\), \(t_2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), следовательно,
\(\cos (2x) = \sqrt{3}\) или \(\cos (2x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Так как \(\cos (2x)\leqslant 1\), то \(\cos (2x) = \sqrt{3}\) быть не может, следовательно, \(\cos (2x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

 

Уравнение \(\cos y = a\) имеет решения \(y = \pm\mathrm{arccos}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно,   уравнение \(\cos (2x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) имеет решения, для которых выполнено \(2x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), тогда \[x = \pm\dfrac{\pi}{12} + \pi k, k\in\mathbb{Z}.\]

б) \[-\pi < \dfrac{\pi}{12} + \pi k \leqslant \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{13\pi}{12} < \pi k \leqslant \dfrac{11\pi}{12}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{13}{12} < k \leqslant \dfrac{11}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходят решения при \(k = -1\) и \(k = 0\): \(x = -\dfrac{11\pi}{12}\) и \(x = \dfrac{\pi}{12}\).

\[-\pi < -\dfrac{\pi}{12} + \pi k \leqslant \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{11\pi}{12} < \pi k \leqslant \dfrac{13\pi}{12}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{11}{12} < k \leqslant \dfrac{13}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходят решения при \(k = 0\) и \(k = 1\): \(x = -\dfrac{\pi}{12}\) и \(x = \dfrac{11\pi}{12}\).

Ответ:

а) \(\pm\dfrac{\pi}{12} + \pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(-\dfrac{11\pi}{12}\), \(-\dfrac{\pi}{12}\), \(\dfrac{\pi}{12}\), \(\dfrac{11\pi}{12}\).

Задание 14

Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).
\(M\) – точка пересечения диагоналей грани \(AA_1B_1B\), \(N\) – точка пересечения диагоналей грани \(BB_1C_1C\), а \(K\) – середина ребра \(CD\).

 

а) Доказать, что сечение параллелепипеда плоскостью \(MNK\) – пятиугольник.

б) Найти отношение длин отрезков, на которые делит плоскость \(MNK\) ребро \(BB_1\), если \(AB=BC=\dfrac{\sqrt2}{2}AA_1\).

а) Построим сечение параллелепипеда плоскостью \(MNK\).
Т.к. \(MN\parallel (ABC), MN\subset(MNK) \Rightarrow \) плоскость \(MNK\) пересечет плоскость \(ABC\) по прямой, параллельной \(MN\) (пусть \(KT\) - линия пересечения плоскостей \(MNK\) и \(ABC\); если \(KT\cap MN\ne \varnothing \Rightarrow MN\cap (ABC)\ne \varnothing \Rightarrow MN\) не может быть параллельна \((ABC)\)).


 

Пусть \(T\) лежит на \(AD\), значит, \(T\) – середина \(AD\).
Рассмотрим сечение \(BB_1D_1D\). Эта плоскость пересекает \(MN\) и \(KT\) в их серединах. Пусть \(O\) – середина \(MN\), \(Q\) – середина \(KT\). Прямая \(OQ\) пересекает ребро \(BB_1\) в точке \(P\). Прямая \(PM\cap AA_1=R, PN\cap CC_1 = S\), таким образом, \(PSKTR\) – искомое сечение.

 

б) Без ограничения общности можно считать, что \(AB=BC=1, AA_1=\sqrt2\). Таким образом, \(BD=\sqrt2=BB_1\).


 

\(QD=\dfrac{1}{4}BD\). Точка \(O\) лежит на отрезке \(LL_1\), где \(L\) – середина \(BB_1\), \(L_1\) – середина \(DD_1\). Найдем \(LO\).
\(ML\perp BB_1C_1C \Rightarrow ML\perp LN \Rightarrow MLN\) – прямоугольный треугольник, причем \(ML=LN=\dfrac{1}{2}, \ MN=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{\sqrt2}{2}\).

 

\(LO=\dfrac{1}{2}MN=\dfrac{\sqrt2}{4}\) как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе. \(\Rightarrow LO=\dfrac{1}{4}LL_1\).

 

\(\bigtriangleup OO_1Q\) – равнобедренный \(\Rightarrow \bigtriangleup PBQ\) – равнобедренный (т.к. \(\bigtriangleup OO_1Q \sim \bigtriangleup PBQ\)) \(\Rightarrow PB=BQ \Rightarrow B_1P:PB=1:3\).

Ответ:

б) \(1:3\)

Задание 15

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{x^2+x}\sqrt{x^2-4x+4}\leqslant 0,5. \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} &\begin{cases} x^2 + x > 0\\ x^2 + x \neq 1\\ x^2-4x+4 > 0 \end{cases} \ \Leftrightarrow\\ x \in \left(-\infty; -\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}; -1\right) &\cup \left(0; \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}; 2\right)\cup \left(2; +\infty\right) \end{aligned}\]

\[2\log_{x^2+x}\sqrt{x^2-4x+4} - \log_{x^2 + x}(x^2 + x)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{x^2+x}\dfrac{x^2-4x + 4}{x^2+x}\leqslant 0.\] По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

\[\begin{aligned} &(x^2 + x - 1)\left(\dfrac{x^2-4x+4}{x^2+x} - 1\right)\leqslant 0 \ \ \Leftrightarrow\ \ (x^2 + x - 1)\cdot\dfrac{x^2-4x+4 - (x^2 + x)}{x^2+x}\leqslant 0 \ \ \Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\ \ (x^2 + x - 1)\cdot\dfrac{-5x+4}{x^2+x}\leqslant 0\ \ \Leftrightarrow\ \ (x^2 + x - 1)\cdot\dfrac{5x - 4}{x^2+x}\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x \in\left[-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}; -1\right)\cup\left(0; \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right]\cup[0,8; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in\left(-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}; -1\right) \cup \left(0; \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left[0,8; 2\right)\cup \left(2; +\infty\right)\).
Окончательный ответ \[x \in \left(-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}; -1\right) \cup \left(0; \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left[0,8; 2\right)\cup \left(2; +\infty\right)\,.\]

Ответ:

\(\left(-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}; -1\right) \cup \left(0; \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left[0,8; 2\right)\cup \left(2; +\infty\right)\)

Задание 16

Вершины квадрата \(PQRS\) лежат на сторонах треугольника \(ABC\) (\(P\) лежит на \(AB\), \(Q\) и \(R\) лежат на \(BC\), \(S\) лежит на \(AC\)). \(AK\) – высота в треугольнике \(ABC\).

а) Докажите, что если \(\angle BAC = 90^\circ\), то \(BP\cdot AS = AP\cdot CS\).

б) Найдите \(\dfrac{PQ}{BC}\), если \(AK = \dfrac{1}{2}BC\).

а) Рассмотрим треугольники \(APS\) и \(PBQ\): \(\angle BQP = 90^\circ = \angle PAS\). Так как \(\angle SPQ = 90^\circ\), то \(\angle APS + \angle BPQ = 90^\circ\), откуда \(\angle APS = \angle PBQ\), следовательно, треугольники \(APS\) и \(PBQ\) подобны по двум углам.


 

Из подобия этих треугольников получаем: \[\dfrac{PS}{BP} = \dfrac{AS}{PQ},\] но \(PS = PQ\), тогда \(PS^2 = AS\cdot BP\).

Аналогично треугольники \(APS\) и \(SCR\) подобны по двум углам, откуда \[\dfrac{PS}{SC} = \dfrac{AP}{SR},\] но \(PS = SR\), тогда \(PS^2 = AP\cdot SC\).

В итоге \[AS\cdot BP = PS^2 = AP\cdot SC,\] что и требовалось доказать.

 

б) Так как \(PQRS\) квадрат, то \(PS\parallel QR\), откуда следует равенство \(\angle APS = \angle ABC\) как односторонних углов при параллельных прямых и секущей, а также то, что \(AK\perp PS\). Пусть \(M\) – точка пересечения \(AK\) и \(PS\).

Рассмотрим треугольники \(APM\) и \(ABK\): \(\angle APM = \angle ABK\), \(\angle PAM\) – общий, тогда треугольники \(APM\) и \(ABK\) подобны по двум углам, откуда \[\dfrac{AM}{AK} = \dfrac{AP}{AB}.\]

Рассмотрим треугольники \(APS\) и \(ABC\): \(\angle APS = \angle ABC\), \(\angle BAC\) – общий, тогда треугольники \(APS\) и \(ABC\) подобны по двум углам, откуда \[\dfrac{PS}{BC} = \dfrac{AP}{AB}.\]

В итоге \[\dfrac{AM}{AK} = \dfrac{AP}{AB} = \dfrac{PS}{BC},\] следовательно, \[\dfrac{AK - MK}{AK} = \dfrac{PS}{BC}.\] Так как \(PQ\) и \(MK\) – отрезки параллельных прямых, заключённых между параллельными прямыми \(PS\) и \(BC\), то \(MK = PQ\).

\(PS = PQ\), \(AK = 0,5\cdot BC\), тогда \[\dfrac{0,5\cdot BC - PQ}{0,5\cdot BC} = \dfrac{PQ}{BC},\] следовательно, \(BC - 2PQ = PQ\), значит, \[BC = \dfrac{1}{3}\cdot PQ\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{PQ}{BC} = \dfrac{1}{3}.\]

Ответ:

б) \(\dfrac{1}{3}\).

Задание 17

В связи с невозможностью полностью оплатить свое обучение, семья Коли была вынуждена взять кредит на \(4\) года, чтобы оплатить последние \(2\) года его обучения. Условия пользования кредитом таковы:
– пока Коля учится, гасить кредит не нужно, но за пользование кредитом банк начисляет проценты;
– каждый год в течение обучения Коли банк перечисляет на счет Образовательного учреждения сумму, равную сумме годового обучения в Образовательном учреждении;
– один раз в конце каждого года в течение времени пользования кредитом банк начисляет целое число \(y\) процентов на сумму, которую на данный момент семья Коли должна банку;
– по окончании обучения семья Коли обязана начать выплачивать кредит равными ежегодными платежами после начисления процентов.
Какова должна быть наибольшая годовая процентная ставка \(y\) в банке, чтобы общая переплата по кредиту не превысила \(40 \%\) от стоимости кредита?

Составим таблицу для первых двух лет (пока Коля учится), обозначив за \(A\) стоимость годового обучения, а за \(t=\dfrac{100+y}{100}\): \[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до начисления }\% & \text{Сумма долга после начисления }\%\\ \hline 1& A & tA \\ \hline 2& tA+A & t(tA+A)=B\\ \hline \end{array}\]

В течение следующих двух лет семья Коли начинает вносить в банк равные ежегодные платежи, чтобы выплатить кредит. Обозначим за \(x\) этот ежегодный платеж: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до начисления }\% & \text{Сумма долга после начисления }\%& \text{Сумма долга после платежа}\\ \hline 3& B & tB & tB-x \\ \hline 4& tB-x & t(tB-x) & t(tB-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Т.к. к концу \(4\)-ого года семья должна выплатить кредит, то \(t(tB-x)-x=0\). Сделав подстановку \(B=t(tA+A)\), получим:

 

\((t+1)(t^3A-x)=0 \Rightarrow x=t^3 A\). Таким образом, всего банку семья Коли заплатит \(2x\) рублей.

 

Заметим, что при такой системе в долг у банка семья Коли взяла \(2A\) рублей (сумму за два года обучения), таким образом, переплата составила \(2x-2A\). По условию переплата не должна превышать \(40 \%\) от стоимости кредита, т.е.

 

\(2x-2A \leqslant 0,4\cdot 2A \Rightarrow x\leqslant 1,4A \Rightarrow t^3 \leqslant 1,4 \Rightarrow t \leqslant \sqrt[3]{1,4}\).
\(\Rightarrow y \leqslant 100\cdot \sqrt[3]{1,4}-100\)

 

Преобразуем число \(100\cdot \sqrt[3]{1,4}-100\):

\(100\cdot \sqrt[3]{1,4}-100=10\cdot \sqrt[3]{1400}-100=20\cdot \sqrt[3]{175}-100\)

 

Оценим это число:

\(559<\sqrt[3]{175000000}<560 \Rightarrow 5,59<\sqrt[3]{175}<5,6 \Rightarrow 11,8<20\cdot \sqrt[3]{175}-100<12\)

 

Таким образом, наибольшая годовая ставка \(y=11 \%\)

Ответ:

\(11\%\).

Задание 18

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых хотя бы одно решение уравнения \[\sin x \cdot \cos x+2\cos x=a+2+2\sin x -5x\]

принадлежит отрезку \(\left[ 0;\dfrac{\pi}{2} \right]\).

Перепишем уравнение в виде: \[\sin x \cdot \cos x+2\cos x -2-2\sin x +5x=a\]

и рассмотрим функцию \(f(x)=\sin x \cdot \cos x+2\cos x -2-2\sin x +5x\). Найдем ее производную:

 

\(\begin{multline*} f'(x)= 5+\cos^2 x-\sin^2 x-2\sin x-2\cos x=5+\cos{2x}-2(\sin x+\cos x)=\\ =5+\cos {2x} -2\sqrt2 \left(\dfrac{\sqrt2}{2}\sin x + \dfrac{\sqrt2}{2}\cos x\right)=5+\cos {2x}-2\sqrt 2 \cdot \sin {\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)} \end{multline*}\)

Т.к. \(-1\leqslant \cos {2x}\leqslant 1, \ \ \ -1\leqslant \sin {\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)}\leqslant 1 \Rightarrow \ \ \ f'(x)\geqslant 4-2\sqrt2>0 \) при всех значениях \(x\).

Следовательно, \(f(x)\) – строго возрастающая функция. Значит, уравнение \(f(x)=a\) может иметь не более одного решения при всех значениях \(a\). Для того, чтобы \(x_o\) являлось решением уравнения, нужно, чтобы \(a=f(x_o)\).

 

Т.к. функция \(f(x)\) – строго возрастает, то если \(x_o\) пробегает отрезок \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\), то множеством значений функции \(f(x)\) является отрезок \(\left[f(0); f \left( \dfrac{\pi}{2} \right)\right]\).

 

Таким образом, \(a\in \left[4; \dfrac{5\pi}{2}\right]\).

Ответ:

\(a\in \left[ 4; \dfrac{5\pi}{2} \right]\).

Задание 19

В честь своего дня рождения Тимур накрыл праздничный стол на себя и шестерых гостей. Тимур хочет сесть во главе стола (его место фиксировано). Он думает, как ему рассадить гостей, ведь у него имеется шесть разных гостевых стульев (которые уже стоят у стола и двигать их он не намерен). Сколькими способами он может это сделать?

Так как место Тимура за столом фиксировано, то можно считать, что его за столом не будет (ответ от этого не изменится).

Пусть Тимур как-то занумеровал стулья. Тогда на первый стул может претендовать любой из \(6\) гостей.

Какой бы из \(6\) гостей не занял первый стул, на второй стул может претендовать любой из оставшихся на этот момент \(5\) гостей. \[\dots\]

На последний шестой стул будет претендовать один единственный гость.

В итоге: каждый из \(6\) вариантов для первого стула даёт пять различных вариантов для второго стула и т.д., то есть всего есть \(6! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6 = 720\) различных способов рассадить гостей.

Ответ:

\(720\)