Математика
Русский язык

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи по теме «Правильная и прямоугольная пирамиды»

\(\blacktriangleright\) Пирамида называется прямоугольной, если одно из ее боковых ребер (\(SR\)) перпендикулярно основанию (оно же будет и высотой).
Грани, образованные этим ребром, будут представлять собой прямоугольные треугольники (\(\triangle SMR, \triangle SPR\)).


 

\(\blacktriangleright\) Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник (все углы равны и все стороны равны) и выполнено одно из эквивалентных условий:

\(\sim\) боковые ребра равны;
\(\sim\) высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности;
\(\sim\) боковые ребра наклонены к основанию под одинаковым углом.

 

\(\blacktriangleright\) Заметим, что у правильных многоугольников центры описанной и вписанной окружностей совпадают.


 

\(\blacktriangleright\) Заметим, что у правильной пирамиды все боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
Высота этих треугольников, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой.

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дана правильная треугольная пирамида \(SABC\) с вершиной \(S\). Известно, что сторона основания пирамиды равна \(3\sqrt3\), а угол между ее высотой и боковым ребром равен \(60^\circ\). Найдите объем пирамиды.

Добавить задание в избранное


 

Пусть \(SH\) – высота пирамиды. Так как пирамида правильная, то высота падает в центр основания, то есть в точку пересечения медиан (высот, биссектрис).
Пусть \(CC_1\) – высота (а значит и медиана) основания. Тогда \[CC_1=\dfrac{\sqrt3}2AB.\] Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины, то \[CH=\dfrac23CC_1=\dfrac{\sqrt3}3AB.\] Из прямоугольного \(\triangle SHC\): \[\mathrm{tg}\,60^\circ=\dfrac{CH}{SH}\quad\Rightarrow\quad SH=\dfrac{CH}{\sqrt3}=\dfrac13AB.\] Следовательно, объем пирамиды равен \[V=\dfrac13\cdot SH\cdot S_{ABC}=\dfrac13\cdot \dfrac13\cdot 3\sqrt3\cdot \dfrac12\cdot 3\sqrt3\cdot \dfrac{\sqrt3}2\cdot 3\sqrt3=\dfrac{27}4=6,75.\]

Ответ: 6,75

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дана правильная четырехугольная пирамида \(SABCD\) с вершиной \(S\). Угол между боковым ребром и стороной основания равен \(60^\circ\), а \(AB=\sqrt[4]3\). Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Добавить задание в избранное


 

Так как пирамида правильная, то все боковые грани представляют собой равные равнобедренные треугольники. Так как у них угол при основании равен \(60^\circ\), то они являются равносторонними, то есть все боковые ребра пирамиды равны стороне основания. Площадь правильного треугольника со стороной \(a\) вычисляется по формуле \(\dfrac{\sqrt3}4a^2\), следовательно, площадь боковой поверхности \[S_{\text{бок. пов-ти}}=4\cdot \dfrac{\sqrt3}4AS^2=\sqrt3AS^2=\sqrt3\cdot \sqrt3=3.\]

Ответ: 3

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дана прямоугольная пирамида \(SABCD\), причем \(SA\) – высота пирамиды, а \(ABCD\) – ромб. Диагональ \(BD\) ромба равна \(8\sqrt3\), а боковое ребро \(SC\) равно \(5\). Найдите объем пирамиды, если также известно, что угол между \(SC\) и плоскостью основания равен \(30^\circ\).

Добавить задание в избранное


 

Так как \(SA\) – высота, то она перпендикулярна плоскости основания, следовательно, по определению \(AC\) является проекций \(SC\) на плоскость основания. А так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость, то \(\angle SCA\) – угол между \(SC\) и основанием.
Так как \(SA\) перпендикулярна основанию, то она перпендикулярна любой прямой из основания, следовательно, \(\triangle SAC\) прямоугольный. Значит, \(AS\) как катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине \(SC\), то есть \(AS=2,5\).
По теореме Пифагора из этого же треугольника \[AC=\sqrt{SC^2-SA^2}=2,5\sqrt3.\] Так как площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то объем \[V=\dfrac13\cdot SA\cdot \dfrac12\cdot AC\cdot BD=25.\]

Ответ: 25

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В прямоугольной пирамиде \(SABCD\): \(SB\) – высота пирамиды, \(ABCD\) – прямоугольная трапеция с прямыми углами \(\angle BAD\) и \(\angle ABC\). Найдите объем пирамиды, если \(\angle SAB = 60^\circ\), \(\angle SCB = 30^\circ\), \(AD = 2\cdot AB\), а \(AB = \sqrt3\).



Добавить задание в избранное

\(\triangle ABS\) и \(\triangle CBS\) – прямоугольные треугольники \(\Rightarrow\) \(SB = AB\cdot\mathrm{tg}\,60^\circ = \sqrt3\cdot\sqrt3 = 3\) \(\Rightarrow\) \(BC = SB\cdot \mathrm{ctg}\,30^\circ = 3\sqrt3\) \(\Rightarrow\) \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}\cdot(AD + BC)\cdot AB = \frac{1}{2}\cdot(2\sqrt3 + 3\sqrt3)\cdot\sqrt3 = 7,5\) \(\Rightarrow\) \[V_{\text{пир.}} = \frac{1}{3}\cdot SB\cdot S_{ABCD} = \frac{1}{3}\cdot3\cdot7,5 = 7,5\]

Ответ: 7,5

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дана правильная четырехугольная пирамида, объем которой равен \(7\). Найдите объем пирамиды, вершина которой совпадает с вершиной исходной пирамиды, а вершины основания совпадают с серединами сторон основания исходной пирамиды.

Добавить задание в избранное


 

Рассмотрим рисунок. Пусть \(SABCD\) – исходная пирамида, \(A', B', C', D'\) – середины отрезков \(AB, BC, CD, DA\) соответственно. \(SO\) – высота пирамиды \(SABCD\). \[V_{SABCD}=\dfrac13\cdot SO\cdot AB^2\] Заметим, что \(SO\) – также высота пирамиды \(SA'B'C'D'\).
Так как \(ABC\) – прямоугольный треугольник, то \(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt2AB\). Так как \(A'B'\) – средняя линия в \(\triangle ABC\), то \[A'B'=\frac12AC=\dfrac{\sqrt2}2AB\] Так как \(A'B'\parallel AC, A'D'\parallel BD\), а \(AC\perp BD\), то \(A'B'\perp A'D'\), следовательно, \(A'B'C'D'\) – квадрат. Следовательно, \[V_{SA'B'C'D'}=\dfrac13\cdot SO\cdot A'B'^2=\dfrac13\cdot SO\cdot \dfrac12AB^2= \dfrac12V_{SABCD}=3,5.\]

Ответ: 3,5

Задание 6
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дана прямоугольная пирамида \(SABCD\), в основании которой лежит параллелограмм со сторонами \(AD\) и \(AB\), соответственно равными \(2\) и \(3\), и углом между ними \(\arcsin \dfrac{\sqrt3}4\), а боковое ребро \(SA\) перпендикулярно основанию. Найдите объем пирамиды, если \(SD=4\).

Добавить задание в избранное


 

Пусть \(\angle DAB=\arcsin \dfrac{\sqrt3}4\), следовательно, \(\sin\angle DAB=\dfrac{\sqrt3}4\).

Так как \(SA\) перпендикулярно основанию, то оно перпендикулярно любой прямой из основания, следовательно, \(\triangle SAD\) – прямоугольный. Также по определению \(SA\) является высотой пирамиды. Следовательно, по теореме Пифагора \[SA=\sqrt{SD^2-AD^2}=2\sqrt3.\] Площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними, следовательно, объем пирамиды равен \[V=\dfrac13\cdot SA\cdot AB\cdot AD\cdot \sin\angle DAB=3.\]

Ответ: 3

Задание 7
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дана правильная треугольная пирамида \(SABC\) с основанием \(ABC\), сторона которого равна \(\sqrt{18}\). Найдите объем пирамиды, если угол \(SAB\) равен \(60^\circ\).

Добавить задание в избранное


 

Пусть \(SH\) – высота пирамиды. Так как пирамида правильная, то высота падает в центр основания, то есть в точку пересечения медиан (высот, биссектрис). Также боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники. Так как в равнобедренном \(\triangle ASB\) угол при основании равен \(60^\circ\), то треугольник равносторонний, следовательно, \(AS=AB=\sqrt{18}\).
Пусть \(AA_1\) – высота основания. Следовательно, \[AA_1=\dfrac{\sqrt3}2AB.\] Так как \(AA_1\) – медиана, а медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины, то \[AH=\dfrac23AA_1=\dfrac{\sqrt3}3AB.\] Следовательно, по теореме Пифагора \[SH=\sqrt{AS^2-AH^2}=\dfrac{\sqrt6}3AB.\] Тогда объем пирамиды равен \[V=\dfrac13\cdot SH\cdot S_{ABC}= \dfrac13\cdot \dfrac{\sqrt6}3AB\cdot \dfrac12\cdot AB\cdot \dfrac{\sqrt3}2AB=9.\]

Ответ: 9

Задания из раздела «Геометрия в пространстве» по теме «Правильная и прямоугольная пирамида» являются обязательной частью ЕГЭ по математике. Понимать, как найти правильный ответ, и оперативно справляться с ними должны учащиеся с различным уровнем подготовки. Школьники, которые знают принцип решения задач с правильной треугольной и четырехугольной пирамидой, смогут выполнять задания с любым количеством действий и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам сдачи аттестационного испытания.

Выбирайте образовательный портал «Школково» для успешной сдачи единого государственного экзамена!

Часто во время подготовки к аттестационному испытанию учащиеся сталкиваются с проблемой поиска подходящего источника. Школьный учебник далеко не всегда присутствует под рукой, когда это необходимо. А поиск требуемых формул для вычисления, к примеру, объема прямоугольной пирамиды, бывает достаточно сложным даже в Интернете в онлайн-режиме.

Для того чтобы подобные задания не вызывали затруднений, готовьтесь к единому государственному экзамену вместе с математическим порталом «Школково». Мы предлагаем принципиально новый подход к построению занятий с выпускниками. Наш портал помогает учащимся выявить наиболее сложные разделы и улучшить собственные знания.

Что такое правильная и прямоугольная пирамида, как вычисляются объем и площадь фигур, какие базовые теоремы и важные нюансы нужно знать для выполнения заданий — всю эту информацию вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Этот материал систематизирован и изложен нашими специалистами с учетом их богатого опыта максимально просто и понятно.

Чтобы задачи ЕГЭ на площадь поверхности правильной пирамиды не вызывали особых сложностей, мы предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Найти подобные задания вы можете в разделе «Каталог».