Математика
Русский язык

Тренировочные варианты "Школково". Уровень составитель ЕГЭ

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты «Школково». Тренировочный вариант №10

Задание 1

Компания ребят арендовала боулинг на 2 часа. Какое максимальное количество бросков они смогут сделать, если в среднем на каждый бросок уходит 2,8 минуты?

Переведем 2 часа в минуты и получим 120 минут. Разделим \(120\) на \(2,8\) и получим количество бросков: \[120:2,8=42\frac67\] Так как количество бросков – целое число, то максимальное число бросков, которое смогут сделать ребята – это 42, то есть округляем в меньшую сторону.

Ответ: 42

Задание 2

На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в городе \(M\) в период с \(10\) по \(20\) мая \(n\)-го года. По горизонтали указывается день месяца, по вертикали – среднесуточная температура воздуха в городе \(M\) в соответствующий день в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку разницу между наименьшей и наибольшей среднесуточными температурами в городе \(M\) за указанный период. Ответ дайте в градусах Цельсия.

По рисунку видно, что наибольшая температура за указанный период составляла \(9^\circ C\), а наименьшая была \(3^\circ C\), тогда ответ \(9 - 3 = 6\).

 

Ответ:

\(6\)

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times 1\) изображен треугольник \(ABC\). Найдите площадь треугольника \(A'B'C\), где \(A'B'\) – средняя линия, параллельная стороне \(AB\).

Пусть \(A'\in AC, B'\in BC\).



По свойству средней линии \(\triangle ABC\sim \triangle A'B'C\) с коэффициентом подобия, равным \(2\). Следовательно, их площади относятся как коэффициент подобия в квадрате, то есть \[\dfrac{S_{ABC}}{S_{A'B'C}}=4\] Высота \(\triangle ABC\), опущенная из \(C\), равна \(2\), \(AB=7\). Следовательно, \(S_{ABC}=\frac12\cdot 2\cdot 7=7\). Тогда \[S_{A'B'C}=\dfrac74=1,75.\]

Ответ: 1,75

Задание 4

Два друга играют в реверси. Если первый из двух друзей играет белыми, то он выигрывает у второго с вероятностью \(0,65\), а если играет черными – то выигрывает с вероятностью \(0,4\). Друзья играют два раза, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что первый друг выиграет оба раза.

Пусть \(A\): “первый друг выиграл, играя белыми” и \(B\): “первый друг выиграл, играя черными”. Тогда необходимо найти вероятность события \(C=A\) и \(B\). Так как события \(A\) и \(B\) независимые, то вероятность события \(C\) равна произведению вероятностей событий \(A\) и \(B\): \[p=0,65\cdot 0,4=0,26.\]

Ответ: 0,26

Задание 5

Найдите корень уравнения \(\log_{2}(x + 1) = \log_{2}(12 - 3x)\).

ОДЗ: \(x + 1 > 0\) и \(12 - 3x > 0\), что равносильно \(-1 < x < 4\). Решим на ОДЗ:

Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(x + 1 = 12 - 3x\), что равносильно \(x = 2,75\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 2,75

Задание 6

Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты \((-1;-1), \ (-1;2), \ (5;4), \ (5;0).\)

Назовем трапецию \(ABCD\), как показано на рисунке.



Тогда \(AB\) и \(CD\) – ее основания. \[AB=2-(-1)=3, \quad CD=4-0=4.\] Высота, опущенная из \(A\) на прямую \(CD\), равна \[h=5-(-1)=6.\] Следовательно, площадь: \[S=\dfrac12\cdot h\cdot (AB+CD)=\dfrac12\cdot 6\cdot (3+4)=21.\]

Ответ: 21

Задание 7

Прямая \(y=12x-73\) является касательной к графику функции \(y=ax^2-18x+2\). Найдите \(a\).

Пусть \(x_0\) – точка касания. Так как значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной и \(y'=2ax-18\), то \[2ax_0-18=12 \quad \Leftrightarrow\quad x_0=\dfrac{15}a\quad (1)\] Так как \(y=12x-73\) и \(y=ax^2-18x+2\) имеют общую точку (и это точка касания), то \[12x_0-73=ax_0^2-18x_0+2\quad (2)\] Подставим \((1)\) в \((2)\): \[\dfrac{15^2}a-\dfrac{30\cdot 15}a+75=0 \ \Bigg|:75\quad \Leftrightarrow \quad -\dfrac3a+1=0 \quad\Leftrightarrow\quad a=3.\]

Ответ: 3

Задание 8

Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, объем которого равен \(7\pi\). Найдите объем призмы.



Так как четырехугольная призма правильная, то в основании лежит квадрат. Пусть радиус основания цилиндра равен \(R\), а сторона основания призмы \(a\). Тогда \(a=2R\). Пусть \(h\) – высота цилиндра. Тогда боковое ребро призмы также равно \(h\). Следовательно, объем цилиндра \[V_{\text{ц}}=\pi R^2\cdot h \quad\Rightarrow\quad 7\pi=\pi R^2\cdot h\quad\Rightarrow\quad R^2\cdot h=7\] Объем призмы: \[V_{\text{п}}=a^2h=(2R)^2h=4R^2h=4\cdot 7=28.\]

Ответ: 28

Задание 9

Найдите значение выражения

\[\sqrt{48}-\sqrt{192}\sin^2\dfrac{19\pi}{12}\]

Заметим, что \(192=48\cdot 4\), следовательно, \(\sqrt{192}=2\sqrt{48}\). Таким образом, выражение примет вид (по формуле косинуса двойного угла \(\cos2x=1-2\sin^2x\)):

\[\sqrt{48}\left(1-2\sin^2\dfrac{19\pi}{12}\right)= \sqrt{48}\cdot \cos\dfrac{19\pi}6\]

Т.к. \(\dfrac{19\pi}6=\dfrac{18\pi+\pi}6=3\pi+\dfrac{\pi}6\), то по формуле приведения:

\[\sqrt{48}\cos\left(3\pi+\dfrac{\pi}6\right)= \sqrt{48}\cdot \left(-\cos\dfrac{\pi}6\right)=-\sqrt{48}\cdot \dfrac{\sqrt3}2=-4\sqrt3\cdot \dfrac{\sqrt3}2=-6.\]

Ответ: -6

Задание 10

Груз массой \(0,25\) кг колеблется на пружине. Его скорость \(v\) меняется по закону \(v = v_0 \sin\frac{2\pi t}{T}\) где \(t\) - время с момента начала колебаний, \(T = 12\) с - период колебаний, \(v_0 = 1,6\) м/с. Кинетическая энергия \(E\) (в джоулях) груза вычисляется по формуле \(E = \frac{mv^2}{2}\), где \(m\) - масса груза в килограммах, \(v\) - скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через \(10\) секунд после начала колебаний.
Ответ дайте в джоулях.

Найдем скорость груза через \(10\) секунд после начала колебаний: \[v = v_0 \sin\dfrac{2\pi t}{T} = 1,6\cdot \sin\dfrac{2\pi 10}{12} = 1,6\cdot \sin\dfrac{5\pi}{3} = 1,6\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\dfrac{4\sqrt{3}}{5}\]

Найдем кинетическую энергию груза через \(10\) секунд после начала колебаний:

 

\(E = \dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{0,25 \cdot \left(-\frac{4\sqrt{3}}{5}\right)^2}{2} = 0,24 \).

 

Ответ: 0,24

Задание 11

Два поезда движутся навстречу друг другу – один со скоростью 70 км/ч, другой со скоростью 80 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметим, что первый поезд прошел мимо него за 12 секунд. Какова длина первого поезда? Ответ дайте в метрах.

Заметим, что фраза “первый поезд прошел мимо пассажира за 12 с” означает, что с того момента, как пассажир увидел голову поезда, до того момента, как он увидел хвост поезда, прошло 12 с. Следовательно, неважно, где именно в поезде в этот момент находился пассажир. Поэтому пусть пассажир находился прямо в начале поезда.



Первая картинка – когда пассажир увидел голову поезда, вторая – хвост поезда.

Заметим, что за каждую секунду первый поезд проезжает \(\dfrac{70000}{3600}=\dfrac{175}9\) м, второй – \(\dfrac{80000}{3600}=\dfrac{200}9\) м.

Следовательно, за каждую секунду пассажир удаляется от головы первого поезда на \(\dfrac{175}9+\dfrac{200}9=\dfrac{125}3\) м. Следовательно, через 12 с он удалится от головы поезда на \(\dfrac{125}3\cdot 12=500\) м. Так как в этот момент он будет видеть хвост поезда, то это значит, что 500 м и есть длина первого поезда.

 

Ответ: 500

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции \(y = x + \dfrac{4}{x}\) на \([1; 3]\).

ОДЗ: \(x \neq 0\). Решим на ОДЗ:

1) \[y' = 1 - \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{x^2 - 4}{x^2}.\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{x^2 - 4}{x^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 4 = 0\] – на ОДЗ, откуда находим корни \(x_1 = -2,\ x_2 = 2\). Производная функции \(y\) не существует при \(x = 0\), но \(x = 0\) не входит в ОДЗ. Таким образом, \[y' = \dfrac{(x+2)(x-2)}{x^2}.\] Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([1; 3]\):



4) Эскиз графика на отрезке \([1; 3]\):



Таким образом, \(x = 2\) – точка минимума функции \(y\) на \([1; 3]\) и наименьшее значение функция достигает в ней.

\(y(2) = 4\).

Итого: \(4\) – наименьшее значение функции \(y\) на \([1; 3]\).

 

Ответ: 4

Задание 13

а) Решите уравнение \[\cos x+\sqrt3\sin\left(\dfrac{3\pi}2-\dfrac x2\right)+1=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[-4\pi;-2,5\pi\right].\)

а) По формуле приведения \(\sin \left(\dfrac{3\pi}2-\dfrac x2\right)=-\cos \dfrac x2\). Сделаем замену \(t=\dfrac x2\), тогда уравнение примет вид \[\cos 2t-\sqrt3\cos t+1=0\] По формуле косинуса двойного угла \(\cos 2t=2\cos^2t-1\), следовательно, \[2\cos^2t-\sqrt3\cos t=0 \quad\Leftrightarrow\quad \cos t(2\cos t-\sqrt3)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \cos t=0 \quad{\small{\text{или}}}\quad \cos t=\dfrac{\sqrt3}2.\] Решениям данных уравнений являются \[t=\dfrac{\pi}2+\pi n \quad{\small{\text{и}}}\quad t=\pm\dfrac{\pi}6+2\pi m, \quad n,m\in\mathbb{Z}.\] Сделаем обратную замену и получим ответ: \[x=\pi+2\pi n \quad{\small{\text{и}}}\quad x=\pm\dfrac{\pi}3+4\pi m, \quad n,m\in\mathbb{Z}.\]

б) Отберем корни.

 

\(-4\pi \leqslant \pi +2\pi n\leqslant -2,5\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac 52\leqslant n\leqslant -\dfrac 74\quad\Rightarrow\quad n=-2 \quad\Rightarrow\quad x=-3\pi.\)

 

\(-4\pi\leqslant \dfrac{\pi}3+4\pi m\leqslant -2,5\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{13}{12}\leqslant m\leqslant -\dfrac{17}{24} \quad\Rightarrow\quad m=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{11\pi}3.\)

 

\(-4\pi\leqslant -\dfrac{\pi}3+4\pi m\leqslant -2,5\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{11}{12}\leqslant m\leqslant -\dfrac{13}{24}\quad\Rightarrow\quad m\in \varnothing \quad\Rightarrow\quad x\in\varnothing.\)

 

Ответ:

а) \(\pi+2\pi n; \quad \pm\dfrac{\pi}3+4\pi m; \quad n,m\in\mathbb{Z}\)  

б) \(-\dfrac{11\pi}3; \ -3\pi\)

Задание 14

Дана прямая четырехугольная призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), основаниями которой являются равнобедренные трапеции \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) и \(A_1D_1\) и \(B_1C_1\) соответственно. Известно, что \(AA_1=AD\) и \(BC=2AA_1\), а диагонали каждого основания взаимно перпендикулярны.

 

а) Найдите сечение пирамиды плоскостью \(MDN\), где \(M\) – середина ребра \(AA_1\), \(N\) – середина ребра \(CC_1\) (то есть определите вид сечения и отношения, в которых вершины сечения делят ребра призмы).

б) Найдите угол между плоскостью \(MDN\) и плоскостью основания призмы.

а) Найдем точку пересечения плоскости \(MDN\) (назовем ее плоскостью \(\pi\)) и плоскости \(BB_1D_1\). Пусть \(O\) и \(O_1\) – точки пересечения диагоналей оснований \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) соответственно. Тогда \(OO_1\) лежит в плоскостях \(AA_1C_1\) и \(BB_1D_1\). По теореме Фалеса прямая \(MN\) пересекает \(OO_1\) в середине, назовем эту точку точкой \(K\). Таким образом, \(K\in \pi\).



Проведем прямую \(DK\). Она будет пересекать либо ребро \(BB_1\), либо отрезок \(B_1D_1\).
Для того, чтобы это определить, найдем отношение, в котором точка \(O\) делит \(BD\). Рассмотрим \(ABCD\).



По условию \(BC=2AD\), следовательно, пусть \(AD=x\), тогда \(BC=2x\). Так как трапеция равнобедренная, то \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\). Следовательно, \[\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{OD}{BO}=\dfrac12 \quad \Rightarrow\quad BD=3OD.\]

Рассмотрим \(BB_1D_1D\):



Заметим, что \(OO_1\parallel BB_1\), следовательно, \(OO_1\perp BD\). Пусть \(T\) – точка пересечения прямой \(DK\) и \(B_1D_1\). Тогда, так как к тому же \(OK=KO_1\), \(\triangle KOD=\triangle KO_1T\), следовательно, \(TO_1=OD\). Так как \(OD=O_1D_1\), то тогда \(B_1T=B_1D_1-2O_1D_1= O_1D_1=TO_1\).
Следовательно, плоскость \(\pi\) пересечет отрезок \(B_1D_1\).

 

Заметим, что прямая \(AC\) параллельна плоскости \(\pi\), так как \(AC\parallel MN\). Тогда \(\pi\) пересечет основание \(A_1B_1C_1D_1\) по прямой \(l\), параллельной \(MN\parallel AC\). Действительно, если это не так, то есть \(l\) пересекается с \(AC\), следовательно, плоскость \(\pi\) и \(AC\) имеют общую точку, что противоречит их параллельности.
Таким образом, нужно через точку \(T\) провести прямую, параллельную \(AC\). Пусть она пересечет \(A_1B_1\) в точке \(P\), а \(B_1C_1\) в точке \(L\). Так как \(B_1T=TO_1\) и \(PL\parallel AC\), то по теореме Фалеса \(B_1P:PA_1=B_1L:LC_1=1:1\).
Сечение – пятиугольник \(DMPLN\).


 

б) \(PL\) – линия пересечения плоскостей \(\pi\) и \(A_1B_1C_1\). Заметим, что так как \(PL\parallel A_1C_1\), а \(A_1C_1\perp B_1D_1\), то \(PL\perp B_1T\). Тогда по теореме о трех перпендикулярах наклонная \(QT\perp PL\). Следовательно, \(\angle QTB_1\) – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями \(\pi\) и \(A_1B_1C_1\).
Из пункта а) мы определили, что \(B_1T=TO_1=O_1D\), следовательно, \(B_1T=\frac13B_1D_1\). Тогда \(\triangle QB_1T=\triangle TO_1K\), следовательно, \(QB_1=O_1K=\frac12OO_1=\frac12AA_1\).
Из пункта а): \(AD=x=AA_1\), \(B_1O_1=2x:\sqrt2=\sqrt2x\), \(O_1D_1=x:\sqrt2=\frac1{\sqrt2}x\).
Следовательно, \(B_1D_1=\frac3{\sqrt2} x\), следовательно, \(B_1T=\frac1{\sqrt2}x\); \(B_1Q=\frac12x\).

Тогда из прямоугольного \(\triangle QB_1T\): \[\mathrm{ctg}\,\angle QTB_1=\dfrac{B_1T}{B_1Q}=\sqrt2 \quad\Rightarrow\quad \angle QTB_1=\mathrm{arcctg}\,\sqrt2.\]

Ответ:

б) \(\mathrm{arcctg}\,\sqrt2\)

Задание 15

Решите неравенство \[\log_{x^2}{25}+\log_{x-2}{(x-2)^2}\geqslant \log_x{(3x^2)}\]

ОДЗ: \[\begin{cases} x^2>0 \\ x^2\ne 1\\ x-2>0\\ x-2\ne 1\\ (x-2)^2>0\\ 3x^2>0\\ x>0\\ x\ne 1 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x\ne 0\\ x\ne \pm 1\\ x>2\\ x\ne 3\\ x\ne 2\\ x>0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad x\in (2;3)\cup(3;+\infty).\]

Решим неравенство на ОДЗ. Т.к. из ОДЗ следует, что \(x>2\), то \[\begin{aligned} &1) \log_{x^2}{25}=\log_{|x|}5=\log_x5\\ &2) \log_{x-2}{(x-2)^2}=2\\ &3) \log_x{(3x^2)}=\log_x{3}+\log_x{x^2}=\log_x3+2 \end{aligned}\]

Следовательно, неравенство на ОДЗ равносильно \[\log_x5+2\geqslant 2+\log_x3 \quad \Leftrightarrow \quad \log_x5\geqslant \log_x3 \quad \Leftrightarrow \quad \log_x{\dfrac53}\geqslant 0\] Т.к. \(\log_ab=\dfrac1{\log_ba}\), то полученное неравенство равносильно \[\dfrac1{\log_{\frac53}x}\geqslant 0 \quad \Leftrightarrow \quad \log_{\frac53}x>0 \quad \Leftrightarrow x>1.\] Пересекая ответ с ОДЗ, получим \(x\in (2;3)\cup(3;+\infty)\).

 

Заметим, что на ОДЗ логарифм может быть равен нулю тогда и только тогда, когда его аргумент равен 1, и больше нуля, когда основание и аргумент лежат по одну сторону от 1. Следовательно, \(\log_x{\dfrac53}\) не может быть равен 0, а больше нуля он тогда и только тогда, когда основание \(x\) больше 1. То есть неравенство \(\log_x{\dfrac53}\geqslant 0\) равносильно \(x>1\).

 

Ответ:

\((2;3)\cup(3;+\infty)\)

Задание 16

Диагонали параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(E\). Биссектрисы углов \(DAE\) и \(EBC\) пересекаются в точке \(F\), причем \(ECFD\) – параллелограмм.

 

а) Докажите, что треугольники \(BCF\) и \(ADF\) равны.

 

б) Найдите величину угла \(AFB\).


 

а) Обозначим половину угла \(DAE\) за \(\alpha\), а половину угла \(EBC\) за \(\beta\). Тогда, т.к. \(ECFD\) – параллелограмм, то \(CF\parallel ED\) и \(EC\parallel DF\).
Значит, \(\angle EBF\) и \(\angle CFB\) – накрест лежащие углы при параллельных прямых \(CF\) и \(BD\) и секущей \(BF\). Следовательно, \(\angle CFB=\beta\).

 

Аналогично доказывается, что \(\angle DFA=\alpha\).

 

Следовательно, \(\triangle BCF\) и \(\triangle ADF\) – равнобедренные, то есть \(BC=CF\) и \(AD=DF\). Но т.к. \(ABCD\) – параллелограмм, то \(BC=AD\), следовательно, \(BC=CF=AD=DF=x\).

 

Т.к. \(ECFD\) – параллелограмм, то \(EC=DF=x\), \(ED=CF=x\). Следовательно, \(EC=CF=FD=ED=x\). То есть \(ECFD\) – ромб.

 

Значит, из того, что \(BC=EC\) следует, что \(\triangle BCE\) – равнобедренный, то есть \(\angle BEC=2\beta\). Аналогично \(\triangle AED\) – равнобедренный и \(\angle AED=2\alpha\). Но \(\angle BEC\) и \(\angle AED\) – вертикальные, следовательно, \(2\beta=2\alpha\), откуда \(\alpha=\beta\).



б) Заметим также, что \(\angle ADE=\angle EBC\) как накрест лежащие при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(BD\). Следовательно, в \(\triangle AED\) все углы равны по \(2\alpha\). Значит, он равносторонний и \(2\alpha=60^\circ\).

 

Тогда \(\angle CED=180^\circ-2\alpha=\angle CFD\) (как противоположные углы параллелограмма), следовательно

\[\angle AFB=\angle CFD-\alpha-\alpha=180^\circ-2\alpha-2\alpha=180^\circ-4\alpha=60^\circ\]

Замечание

Заметим, что вообще говоря \(ABCD\) – прямоугольник, потому что из \(AE=ED\) следует, что и \(AC=BD\) – а равенство диагоналей параллелограмма и есть признак того, что это прямоугольник.

 

Ответ:

б) \(60^\circ\)

Задание 17

Строительство нового завода стоит 76 млн. рублей. Затраты на производство \(x\) тысяч единиц продукции на таком заводе равны \(Z=0,5x^2+3x+13\) млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене \(q\) тысяч рублей за единицу, то прибыль в млн. рублей за один год составит \(qx-Z\). Когда завод будет построен, планируется выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении \(q\) строительство завода окупится не более, чем за 4 года?

Так как строительство завода должно окупиться не более, чем за 4 года, то прибыль за 4 года должна составить не менее 76 млн. рублей. Следовательно, \[4(qx-(0,5x^2+3x+13))\geqslant 76 \quad\Leftrightarrow\quad qx-0,5x^2-3x-13\geqslant 19\] \(q\) принимает такие значения, при которых прибыль (значение выражения \(qx-0,5x^2-3x-13\)) будет наибольшей. Следовательно, наибольшее значение выражения \(qx-0,5x^2-3x-13\) должно быть \(\geqslant 19\).
Функция \(y=qx-0,5x^2-3x-13=-0,5x^2+(q-3)x-13\) является квадратичной, ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, наибольшее значение она принимает в своей вершине, то есть в точке \(x_0=\dfrac{-(q-3)}{2\cdot (-0,5)}=q-3\). Значит, \[-0,5(q-3)^2+(q-3)(q-3)-13\geqslant 19 \quad\Leftrightarrow\quad (q-3)^2\geqslant 64 \quad\Rightarrow\quad q\geqslant 11.\] Следовательно, наименьшее подходящее \(q=11\).

Ответ: 11

Задание 18

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \[x^4+12|x-2|+9=\dfrac{7}{3}x^3 +x^2 +7|x-11a|\]

имеет более одного корня.

Перепишем уравнение в другом виде:
\[x^4-\dfrac{7}{3}x^3-x^2+9=7|x-11a|-12|x-2|\]
Пусть \(f(x)=x^4-\dfrac{7}{3}x^3-x^2+9, \ \ g(x)=7|x-11a|-12|x-2|\)

 

Изобразим графики обеих функций:

 

1)\(f(x)=x^4-\dfrac{7}{3}x^3-x^2+9 \Longrightarrow f'(x)=4x^3-7x^2-2x\)

 

\[f'(x)=0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=-\dfrac{1}{4}\\ &x=0\\ &x=2 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

\(x=-\dfrac{1}{4}\) и \(x=2\) – точки минимума, \(x=0\) – точка максимума.

 

Причем \(f\left(-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{6895}{768}>f(2)=\dfrac{7}{3}\)

 

2)\(g(x)=7|x-11a|-12|x-2|\)

 

Рассмотрим два случая:
2.1) \(x\geqslant 2\). Тогда \(|x-2|=x-2\). В этом случае вне зависимости от того, как раскроется модуль \(|x-11a|\), \(g(x)\) – линейная функция, коэффициент перед \(x\) у которой будет отрицательным (в точности, он будет равен \(-19\) или \(-5\)). Т.е. \(g(x)\) всегда убывает при \(x\geqslant 2\).

 

2.2) \(x<2\). Тогда \(|x-2|=-(x-2)\). В этом случае вне зависимости от того, как раскроется модуль \(|x-11a|\), \(g(x)\) – линейная функция, коэффициент перед \(x\) у которой будет положительным (в точности, он будет равен \(19\) или \(5\)). Т.е. \(g(x)\) всегда возрастает при \(x< 2\).

 

Таким образом, \(x=2\) – точка максимума (единственная) у функции \(g(x)\), причем \(g(2)=7|2-11a|\)


 

Уравнение будет иметь более одного корня, если \(g(2)>f(2)\).

 

Решая данное неравенство, получим \(a\in \left(-\infty; \dfrac{5}{33}\right)\cup \left(\dfrac{7}{33};+\infty\right)\).

Ответ:

\(a\in \left(-\infty; \dfrac{5}{33}\right)\cup \left(\dfrac{7}{33};+\infty\right)\).

Задание 19

Дано трехзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным \(20\)?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным \(81\)?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

а) Пусть число \(N=100a+10b+c\), где \(a,b,c\) – число сотен, десятков и единиц соответственно, следовательно, они могут принимать натуральные значения от \(0\) до \(9\) (только \(a\) не может быть равно \(0\)).

 

Предположим, что \[\dfrac{N}{a+b+c}=20 \quad\Rightarrow\quad 10(8a-b)=19c\] Пусть \(8a=b\), откуда, так как \(a,b\) – цифры, то \(a=1\) и \(b=8\). Тогда \(10(8a-b)=0\), следовательно, \(19c=0\), откуда \(c=0\). Таким образом, получили число \(180\).
Проверкой убеждаемся, что действительно \(180:(1+8+0)=20\).
Ответ: да.

б) Предположим, что \[\dfrac{N}{a+b+c}=81 \quad\Rightarrow\quad N=81(a+b+c)\] Следовательно, \(N\) делится на \(81\), следовательно, его можно представить в виде \(N=81\cdot k\), где \(k\) – некоторое натуральное число и \(k=a+b+c\). Заметим, что так как \(N\) – трехзначное число, то \(81\cdot k\leqslant 999\), откуда \(k\leqslant 12\).

 

Из того, что \(N\) делится на \(81\), можно сделать вывод, что \(N\) делится на \(9\). Следовательно, сумма его цифр должна делиться на \(9\). Но так как сумма его цифр равна \(k\), а \(k\leqslant 12\), то \(k=9\). Следовательно, \(N=9\cdot 81=729\). Но у числа \(729\) сумма цифр не равна \(9\), следовательно, \(729\) не подходит. Так как это был единственный возможной вариант, то ответ: нет.

 

в) Рассмотрим \(\dfrac{N}{a+b+c}\).

 

Попробуем поискать наименьшее трехзначное число с наибольшей суммой цифр. Значит, в нем должно быть мало сотен и много десятков и единиц. Возьмем \(198\). Сумма его цифр равна \(18\) и оно нацело делится на нее, в результате чего получаем \(11\).
Докажем, что \(11\) – наименьшее натуральное частное от деления числа на сумму его цифр.

 

Предположим противное. Пусть частное от деления \(N=100a+10b+c\) на \(a+b+c\) равно \(k\), где \(k\leqslant 10\) – натуральное число. Тогда: \[\dfrac{100a+10b+c}{a+b+c}=k \quad\Leftrightarrow\quad (100-k)a+(10-k)b=(k-1)c\]

Так как число сотен не может быть равно нулю, то \(a\geqslant 1\). Так как \(k\leqslant 10\), то \(100-k\geqslant 90\), следовательно, \((100-k)a\geqslant 90\). Так как \(b\geqslant 0\), то \((10-k)b\geqslant 0\), следовательно, вся левая часть равенства \(\geqslant 90\).

 

Так как число единиц не может быть больше \(9\), то есть \(c\leqslant 9\), и \(k-1\leqslant 9\), то \((k-1)c\leqslant 9\cdot 9=81\).

 

Следовательно, в нашем равенстве левая часть \(\geqslant 90\), а правая \(\leqslant 81\). Следовательно, равенство не имеет решений.
Значит, предположение неверно и \(11\) – наименьшее натуральное значение для частного трехзначного числа и суммы его цифр.

Ответ:

а) да

б) нет

в) 11