а) Пусть число \(N=100a+10b+c\), где \(a,b,c\) – число сотен, десятков и единиц соответственно, следовательно, они могут принимать натуральные значения от \(0\) до \(9\) (только \(a\) не может быть равно \(0\)).
Предположим, что \[\dfrac{N}{a+b+c}=20 \quad\Rightarrow\quad
10(8a-b)=19c\] Пусть \(8a=b\), откуда, так как \(a,b\) – цифры, то \(a=1\) и \(b=8\). Тогда \(10(8a-b)=0\), следовательно, \(19c=0\), откуда \(c=0\). Таким образом, получили число \(180\).
Проверкой убеждаемся, что действительно \(180:(1+8+0)=20\).
Ответ: да.
б) Предположим, что \[\dfrac{N}{a+b+c}=81 \quad\Rightarrow\quad N=81(a+b+c)\] Следовательно, \(N\) делится на \(81\), следовательно, его можно представить в виде \(N=81\cdot k\), где \(k\) – некоторое натуральное число и \(k=a+b+c\). Заметим, что так как \(N\) – трехзначное число, то \(81\cdot k\leqslant 999\), откуда \(k\leqslant 12\).
Из того, что \(N\) делится на \(81\), можно сделать вывод, что \(N\) делится на \(9\). Следовательно, сумма его цифр должна делиться на \(9\). Но так как сумма его цифр равна \(k\), а \(k\leqslant 12\), то \(k=9\). Следовательно, \(N=9\cdot 81=729\). Но у числа \(729\) сумма цифр не равна \(9\), следовательно, \(729\) не подходит. Так как это был единственный возможной вариант, то ответ: нет.
в) Рассмотрим \(\dfrac{N}{a+b+c}\).
Попробуем поискать наименьшее трехзначное число с наибольшей суммой цифр. Значит, в нем должно быть мало сотен и много десятков и единиц. Возьмем \(198\). Сумма его цифр равна \(18\) и оно нацело делится на нее, в результате чего получаем \(11\).
Докажем, что \(11\) – наименьшее натуральное частное от деления числа на сумму его цифр.
Предположим противное. Пусть частное от деления \(N=100a+10b+c\) на \(a+b+c\) равно \(k\), где \(k\leqslant 10\) – натуральное число. Тогда: \[\dfrac{100a+10b+c}{a+b+c}=k \quad\Leftrightarrow\quad
(100-k)a+(10-k)b=(k-1)c\]
Так как число сотен не может быть равно нулю, то \(a\geqslant 1\). Так как \(k\leqslant 10\), то \(100-k\geqslant 90\), следовательно, \((100-k)a\geqslant 90\). Так как \(b\geqslant 0\), то \((10-k)b\geqslant
0\), следовательно, вся левая часть равенства \(\geqslant 90\).
Так как число единиц не может быть больше \(9\), то есть \(c\leqslant
9\), и \(k-1\leqslant 9\), то \((k-1)c\leqslant 9\cdot 9=81\).
Следовательно, в нашем равенстве левая часть \(\geqslant 90\), а правая \(\leqslant 81\). Следовательно, равенство не имеет решений.
Значит, предположение неверно и \(11\) – наименьшее натуральное значение для частного трехзначного числа и суммы его цифр.
Ответ:
а) да
б) нет
в) 11