Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Логарифмические неравенства с переменным основанием

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим неравенство \[{\Large{\log_{h(x)}{f(x)}\geqslant \log_{h(x)}{g(x)}}}\] (на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant,\ >,\ <\))

 

Данное неравенство равносильно совокупности: \[{\large{\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x)\\ g(x)>0 \end{cases}\\ &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)\leqslant g(x)\\ f(x)>0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_x 2\geqslant 1 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x > 0\\ x\neq 1 \end{cases}\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} \dfrac{1}{\log_2 x}\geqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad 0 < \log_2 x\leqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad \log_2 1 < \log_2 x\leqslant \log_2 2\quad\Leftrightarrow\quad 1 < x\leqslant 2\,. \end{aligned}\]

C учётом ОДЗ: \(x\in(1; 2].\)

Ответ:

\((1; 2]\)

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{x^2} x\geqslant 1 + \log_x x^2 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x^2 > 0\\ x^2\neq 1\\ x > 0\\ x\neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x > 0\\ x\neq 1 \end{cases}\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &\dfrac{1}{2}\log_{|x|} x\geqslant 1 + 2\log_x |x|\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{1}{2}\log_{x} x\geqslant 1 + 2\log_x x\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{2}\geqslant 3\,. \end{aligned}\]

Таким образом, \[x\in\varnothing.\]

Ответ:

\(\varnothing\)

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{x^2} x\leqslant 5 + \log_{x^3} x^2 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x^2 > 0\\ x^2\neq 1\\ x > 0\\ x^3 > 0\\ x^3\neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x > 0\\ x\neq 1 \end{cases}\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &\dfrac{1}{2}\log_{|x|} x\leqslant 5 + \dfrac{2}{3}\log_{x} x\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{1}{2}\log_{x} x\leqslant 5 + \dfrac{2}{3}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{2}\leqslant 5 + \dfrac{2}{3}\,. \end{aligned}\]

Таким образом, исходное неравенство верно на ОДЗ: \[x\in(0; 1)\cup(1; +\infty).\]

Ответ:

\((0; 1)\cup(1; +\infty)\)

Задание 4
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{x} x^{2016}\leqslant \log_5 x + \log_{x^{2016}} x^2 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x > 0\\ x\neq 1\\ x^{2016} > 0\\ x^{2016} \neq 1\\ x^2 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x > 0\\ x\neq 1 \end{cases}\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &2016\log_{x} |x|\leqslant \log_5 x + \dfrac{2}{2016}\log_{|x|} |x|\qquad\Leftrightarrow\qquad 2016\log_{x} x\leqslant \log_5 x + \dfrac{1}{1008}\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad 2016 - \dfrac{1}{1008}\leqslant \log_5 x\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_5 5^{2015\frac{1007}{1008}}\leqslant \log_5 x\qquad\Leftrightarrow\qquad 5^{2015\frac{1007}{1008}}\leqslant x\,. \end{aligned}\]

Таким образом, с учётом ОДЗ исходное неравенство верно при \[x\in[5^{2015\frac{1007}{1008}}; +\infty).\]

Ответ:

\([5^{2015\frac{1007}{1008}}; +\infty)\)

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{x^2 + 2x + 2} 4 > 1 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x^2 + 2x + 2 > 0\\ x^2 + 2x + 2\neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x\neq -1\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} \log_{x^2 + 2x + 2} 4 > \log_{x^2 + 2x + 2} (x^2 + 2x + 2) \end{aligned}\]

Так как на ОДЗ \(x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1 > 1\), то исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 4 > x^2 + 2x + 2\quad\Leftrightarrow\quad x^2 + 2x - 2 < 0\quad\Leftrightarrow\quad (x + 1 - \sqrt{3})(x + 1 + \sqrt{3}) < 0, \end{aligned}\]

откуда \(x\in (-1 - \sqrt{3}; -1 + \sqrt{3})\)
с учётом ОДЗ: \[x\in (-1 - \sqrt{3}; -1)\cup(-1; -1 + \sqrt{3})\,.\]

Ответ:

\((-1 - \sqrt{3}; -1)\cup(-1; -1 + \sqrt{3})\)

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\log_{x^2+1}{(x-3)^2}\cdot \log_{x^2+1}{\dfrac{(x-3)^2}{(x^2+1)^3}}\leqslant -2\]

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Найдем ОДЗ неравенства: \[\begin{cases} x^2+1>0\\ x^2+1\ne 1\\ (x-3)^2>0\\ \dfrac{(x-3)^2}{(x^2+1)^3}>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x\ne 0\\x\ne 3\end{cases}\] Таким образом, ОДЗ неравенства: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;3)\cup(3;+\infty)\).
Решим неравенство на ОДЗ. \[\log_{x^2+1}{(x-3)^2}\cdot (\log_{x^2+1}{(x-3)^2}-\log_{x^2+1}{(x^2+1)^3})\leqslant -2.\] Сделаем замену \(t=\log_{x^2+1}{(x-3)^2}\), тогда неравенство примет вид: \[t(t-3)\leqslant -2\quad\Leftrightarrow\quad (t-1)(t-2)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad 1\leqslant t\leqslant 2.\] Сделаем обратную подстановку: \[\begin{cases}\log_{x^2+1}{(x-3)^2}\geqslant 1\\ \log_{x^2+1}{(x-3)^2}\leqslant 2\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \log_{x^2+1}{(x-3)^2}\geqslant \log_{x^2+1}{(x^2+1)}\\ \log_{x^2+1}{(x-3)^2}\leqslant \log_{x^2+1}{(x^2+1)^2} \end{cases}\]

Заметим, что т.к. по ОДЗ \(x^2>0\), то \(x^2+1>1\), следовательно, основания логарифмов больше единицы, а значит, оба неравенства системы равносильны \[\begin{cases} (x-3)^2\geqslant x^2+1\\ (x-3)^2\leqslant (x^2+1)^2 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x\leqslant \dfrac43\\[2ex] (x-3-x^2-1)(x-3+x^2+1)\leqslant 0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x\leqslant \dfrac43\\[2ex] (x^2-x+4)(x+2)(x-1)\geqslant 0\end{cases}\]

Решая второе неравенство методом интервалов, получим \(x\in (-\infty;-2]\cup[1;+\infty)\).
Следовательно, после пересечения данного решения с \(x\leqslant \frac43\) и с ОДЗ получим окончательный ответ \(x\in (-\infty;-2]\cup\left[1;\frac43\right]\).

Ответ:

\((\infty;-2]\cup\left[1;\frac43\right]\)

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{x}^2 3 + 5\log_{|x|} 3 + 6 > 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x > 0\\ x\neq 1 \end{cases}\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} \log_{x}^2 3 + 5\log_x 3 + 6 > 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(\log_x 3 = t\):

\[\begin{aligned} t^2 + 5t + 6 > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad(t + 2)(t + 3) > 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов находим: \(t\in(-\infty; -3)\cup(-2; +\infty)\), откуда

\[\begin{aligned} \left[ \begin{gathered} \log_x 3 < -3\\ \log_x 3 > -2 \end{gathered} \right. \qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} \log_x 3 < \log_x x^{-3}\\ \log_x 3 > \log_x x^{-2} \end{gathered} \right. \end{aligned}\]

Решим первое из неравенств совокупности:

\[\begin{aligned} \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x > 1\\ 3 < x^{-3} \end{cases}\\ \begin{cases} 0 < x < 1\\ 3 > x^{-3} \end{cases} \end{gathered} \right. \qquad\Leftrightarrow\qquad x\in\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}; 1\right) \end{aligned}\]

Решим второе из неравенств совокупности:

\[\begin{aligned} \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x > 1\\ 3 > x^{-2} \end{cases}\\ \begin{cases} 0 < x < 1\\ 3 < x^{-2} \end{cases} \end{gathered} \right. \qquad\Leftrightarrow\qquad x\in\left(0; \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\cup(1; +\infty) \end{aligned}\]

общее решение совокупности неравенств: \[x\in\left(0; \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\cup\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}; 1\right)\cup(1; +\infty)\,.\]

Ответ:

\(\left(0; \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\cup\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}; 1\right)\cup(1; +\infty)\)