ОДЗ: \[\begin{cases}
x > 0\\
x\neq 1
\end{cases}\]
На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству
\[\begin{aligned}
\log_{x}^2 3 + 5\log_x 3 + 6 > 0
\end{aligned}\]
Сделаем замену \(\log_x 3 = t\):
\[\begin{aligned}
t^2 + 5t + 6 > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad(t + 2)(t + 3) > 0
\end{aligned}\]
По методу интервалов находим: \(t\in(-\infty; -3)\cup(-2; +\infty)\), откуда
\[\begin{aligned}
\left[
\begin{gathered}
\log_x 3 < -3\\
\log_x 3 > -2
\end{gathered}
\right.
\qquad\Leftrightarrow\qquad
\left[
\begin{gathered}
\log_x 3 < \log_x x^{-3}\\
\log_x 3 > \log_x x^{-2}
\end{gathered}
\right.
\end{aligned}\]
Решим первое из неравенств совокупности:
\[\begin{aligned}
\left[
\begin{gathered}
\begin{cases}
x > 1\\
3 < x^{-3}
\end{cases}\\
\begin{cases}
0 < x < 1\\
3 > x^{-3}
\end{cases}
\end{gathered}
\right.
\qquad\Leftrightarrow\qquad
x\in\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}; 1\right)
\end{aligned}\]
Решим второе из неравенств совокупности:
\[\begin{aligned}
\left[
\begin{gathered}
\begin{cases}
x > 1\\
3 > x^{-2}
\end{cases}\\
\begin{cases}
0 < x < 1\\
3 < x^{-2}
\end{cases}
\end{gathered}
\right.
\qquad\Leftrightarrow\qquad
x\in\left(0; \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\cup(1; +\infty)
\end{aligned}\]
общее решение совокупности неравенств: \[x\in\left(0; \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\cup\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}; 1\right)\cup(1; +\infty)\,.\]
Ответ:
\(\left(0; \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\cup\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}; 1\right)\cup(1; +\infty)\)