Математика
Русский язык

14. Задачи по стереометрии

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми

\(\blacktriangleright\) Скрещивающиеся прямые – это прямые, через которые нельзя провести одну плоскость.

Признак скрещивающихся прямых: если первая прямая пересекает плоскость, в которой лежит вторая прямая, в точке, не лежащей на второй прямой, то такие прямые скрещиваются.


 

\(\blacktriangleright\) Т.к. через одну из скрещивающихся прямых проходит ровно одна плоскость, параллельная другой прямой, то расстояние между скрещивающимися прямыми — это расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой.

 

Таким образом, если прямые \(a\) и \(b\) скрещиваются, то:

 

Шаг 1. Провести прямую \(c\parallel b\) так, чтобы прямая \(c\) пересекалась с прямой \(a\). Плоскость \(\alpha\), проходящая через прямые \(a\) и \(c\), и будет плоскостью, параллельной прямой \(b\).

 

Шаг 2. Из точки пересечения прямых \(a\) и \(c\) (\(a\cap c=H\)) опустить перпендикуляр \(HB\) на прямую \(b\) (первый способ).

 

Или из любой точки \(B'\) прямой \(b\) опустить перпендикуляр на прямую \(c\) (второй способ).


 

В зависимости от условия задачи какой-то из этих двух способов может быть гораздо удобнее другого.

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), ребро которого равно \(\sqrt{32}\), найдите расстояние между прямыми \(DB_1\) и \(CC_1\).

Добавить задание в избранное

Прямые \(DB_1\) и \(CC_1\) скрещиваются по признаку, т.к. прямая \(DB_1\) пересекает плоскость \((DD_1C_1)\), в которой лежит \(CC_1\), в точке \(D\), не лежащей на \(CC_1\).


 

Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать как расстояние между прямой \(CC_1\) и плоскостью, проходящей через \(DB_1\) параллельно \(CC_1\). Т.к. \(DD_1\parallel CC_1\), то плоскость \((B_1D_1D)\) параллельна \(CC_1\).
Докажем, что \(CO\) – перпендикуляр на эту плоскость. Действительно, \(CO\perp BD\) (как диагонали квадрата) и \(CO\perp DD_1\) (т.к. ребро \(DD_1\) перпендикулярно всей плоскости \((ABC)\)). Таким образом, \(CO\) перпендикулярен двум пересекающимся прямым из плоскости, следовательно, \(CO\perp (B_1D_1D)\).

 

\(AC\), как диагональ квадрата, равна \(AB\sqrt2\), то есть \(AC=\sqrt{32}\cdot \sqrt2=8\). Тогда \(CO=\frac12\cdot AC=4\).

Ответ: 4

Задание 2
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите расстояние между прямыми \(AB_1\) и \(BC_1\), если ребро куба равно \(a\).

Добавить задание в избранное

1) Заметим, что эти прямые скрещиваются по признаку, т.к. прямая \(AB_1\) пересекает плоскость \((BB_1C_1)\), в которой лежит \(BC_1\), в точке \(B_1\), не лежащей на \(BC_1\).
Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать как расстояние между прямой \(BC_1\) и плоскостью, проходящей через \(AB_1\) параллельно \(BC_1\).



Для этого проведем \(AD_1\) — она параллельна \(BC_1\). Следовательно, по признаку плоскость \((AB_1D_1)\parallel BC_1\).

 

2) Опустим перпендикуляр \(C_1H\) на эту плоскость и докажем, что точка \(H\) упадет на продолжение отрезка \(AO\), где \(O\) – точка пересечения диагоналей квадрата \(A_1B_1C_1D_1\).
Действительно, т.к. по свойству квадрата \(C_1O\perp B_1D_1\), то по теореме о трех перпендикуляр проекция \(HO\perp B_1D_1\). Но \(\triangle AB_1D_1\) равнобедренный, следовательно, \(AO\) – медиана и высота. Значит, точка \(H\) должна лежать на прямой \(AO\).

 

3) Рассмотрим плоскость \((AA_1C_1)\).


 

\(\triangle AA_1O\sim \triangle OHC_1\) по двум углам (\(\angle AA_1O=\angle OHC_1=90^\circ\), \(\angle AOA_1=\angle HOC_1\)). Таким образом,

\[\dfrac{C_1H}{AA_1}=\dfrac{OC_1}{AO} \qquad (*)\]

По теореме Пифагора из \(\triangle AA_1O\): \[AO=\sqrt{a^2+\dfrac{a^2}2}=\dfrac{\sqrt6}2a.\]

Следовательно, из \((*)\) теперь можно найти перпендикуляр

\[C_1H=\dfrac a{\sqrt3}.\]

Ответ:

\(\dfrac a{\sqrt3}\)

Задание 3
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите расстояние между прямыми \(A_1B\) и \(AC_1\), если ребро куба равно \(\sqrt6\).

Добавить задание в избранное


 

По определению угол между скрещивающимися прямыми - это угол между одной прямой и плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой. Найдем плоскость, проходящую через \(A_1B\) параллельно \(AC_1\).

 

Заметим, что данные прямые являются скрещивающимися. Т.к. \(B_1C_1\perp (AA_1B_1)\), то проекция наклонной \(AC_1\) на эту плоскость – это прямая \(AB_1\).

 

Пусть \(AB_1\cap A_1B=O\). Опустим из точки \(O\) на \(AC_1\) перпендикуляр \(OK\) и докажем, что это и есть искомое расстояние. Т.к. по определению расстояние между скрещивающимися прямыми – длина отрезка, перпендикулярного обеим прямым, то осталось доказать, что \(OK\) перпендикулярен прямой \(A_1B\).
Действительно, проведем \(KH\parallel B_1C_1\) (следовательно, \(H\in AB_1\)). Тогда т.к. \(B_1C_1\perp (AA_1B_1)\), то и \(KH\perp (AA_1B_1)\). Тогда по теореме о трех перпендикулярах (т.к. проекция \(HO\perp A_1B\)) наклонная \(KO\perp A_1B\), чтд.
Таким образом, \(KO\) – искомое расстояние.

 

Заметим, что \(\triangle AOK\sim \triangle AC_1B_1\) (по двум углам). Следовательно,

\[\dfrac{AO}{AC_1}=\dfrac{OK}{B_1C_1} \quad \Rightarrow \quad OK=\dfrac{\sqrt6\cdot \sqrt2}{2\sqrt3}=1.\]

Ответ: 1