Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи про банковский кредит: другие схемы платежей

Задание 1 #1211
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Валентина Яковлевна решила взять кредит в банке на \(565\,000\) рублей под \(25 \%\) годовых сроком на три года. Каждый год Валентина Яковлевна вносит платеж по кредиту после начисления процентов. Причем платеж в первый год в два раза меньше платежа во второй год и в три раза меньше платежа в третий год. Сколько рублей составит переплата Валентины Яковлевны по кредиту?

Добавить задание в избранное

Составим таблицу (суммы долга запишем в тыс. рублей): \[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до начисления }\% & \text{Сумма долга после начисления }\% \text{ и платежа} \\ \hline 1 & 565 & 1,25\cdot 565 - x \\ \hline 2 & 1,25\cdot 565-x & 1,25(1,25\cdot 565-x)-2x \\ \hline 3 & 1,25(1,25\cdot 565-x)-2x & 1,25(1,25(1,25\cdot 565-x)-2x)-3x\\ \hline \end{array}\]

где \(x, 2x, 3x\) тыс. рублей – платежи по кредиту.

Тогда имеем: \(1,25(1,25(1,25\cdot 565-x)-2x)-3x=0 \Rightarrow x=\dfrac{1,25^3\cdot 565}{1,25^2+2\cdot 1,25+3}=156,25\) тыс.рублей.

Таким образом, переплата равна \((x+2x+3x)-565 =372,5\) тыс.руб. или \(372\,500\) рублей.

Ответ:

\(372\,500\) рублей.

Задание 2 #4043
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В конце сентября 2016 года планируется взять кредит в банке на год. Условия его возврата таковы:
— в течение первого месяца каждого квартала долг увеличивается на \(6\%\) по сравнению с долгом на конец предыдущего квартала;
— в течение второго месяца каждого квартала необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— долг на начало каждого квартала должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Квартал} & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline \text{Долг (в процентах)} & 100 & 75 & 40 & 0\\ \hline \end{array}\] На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Пусть кредит составил \(A\) рублей. Тогда:
– в первый месяц первого квартала до начисления процентов долг равен \(A\), после начисления процентов долг составил \(1,06A\);
– в первый месяц второго квартала до начисления процентов долг равен \(0,75A\), после начисления процентов долг составил \(1,06\cdot 0,75A\);
– в первый месяц третьего квартала до начисления процентов долг равен \(0,4A\), после начисления процентов долг составил \(1,06\cdot 0,4A\);
– в первый месяц четвертого квартала долг равен \(0\).

 

Таким образом, в первом квартале был сделан платеж в размере \(B_1=1,06A-0,75A\); во втором квартале платеж \(B_2=1,06\cdot 0,75A-0,4A\); в третьем \(B_3=1,06\cdot 0,4A-0\). Следовательно, общая сумма выплат составила: \[V=B_1+B_2+B_3=(1,06A-0,75A)+(1,06\cdot 0,75A-0,4A)+(1,06\cdot 0,4A-0)\] Необходимо найти, на сколько процентов общая сумма выплат больше кредита, или, что то же самое, сколько процентов составила переплата (общая сумма выплат минус сумма кредита) от кредита: \[\dfrac{V-A}{A}\cdot 100\%\] Найдем \[\begin{aligned} &\dfrac{V-A}{A}=\dfrac{A(1,06-0,75+1,06\cdot 0,75-0,4+1,06\cdot 0,4-1)}A=\\[2ex] &=1,06(1+0,75+0,4)-(1+0,75+0,4)=(1+0,75+0,4)(1,06-1)=1,25\cdot 0,06=0,129 \end{aligned}\] Следовательно, ответ: \[0,129\cdot 100\%=12,9\%.\]

Ответ:

12,9\(\%\)

Задание 3 #3919
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В июле 2017 года планируется взять кредит в банке на сумму \(250\,000\) рулей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на \(r\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга.
Найдите число \(r\), если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено \(150\,000\) рублей, во второй год – \(180\,000\) рублей.

Добавить задание в избранное

Если \(r\) – количество начисляемых процентов, то \(y=(100+r):100=1+0,01r\) – коэффициент, на который умножается сумма долга после начисления процентов. Составим таблицу (ведя все вычисления в тыс. рублей): \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text {Год}&\text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления } \%&\text{Выплата} \\ \hline 1 & 250 & 250y & 150\\ \hline 2 & 250y-150 & (250y-150)y & 180 \\ \hline \end{array}\] Так как после второй выплаты долг банку должен быть равен нулю, то получаем уравнение \[(250y-150)y-180=0\quad\Leftrightarrow\quad 25y^2-15y-18=0\quad\Rightarrow\quad y=\dfrac65\] (отрицательный корень мы не рассматриваем, так как \(r>0\), следовательно, и \(y>0\))

 

Таким образом, \[1+0,01r=\dfrac65\quad\Rightarrow\quad r=20\]

Ответ:

20

Задание 4 #1212
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В январе банк предоставляет кредиты на сумму \(A\) рублей на \(6\) лет на следующих условиях:
– в ноябре каждого года, начиная с первого (когда был взят кредит) сумма долга возрастает на некоторое целое число \(y\) процентов;
– в декабре каждого года, начиная с первого, клиент должен внести платеж в счет погашения части текущего долга;
– платежи подбираются так, чтобы в январе каждого года сумма долга менялась соответственно таблице:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 \text{ год} & 2\text{ год} & 3\text{ год} & 4\text{ год} & 5\text{ год} & 6\text{ год} & 7\text{ год}\\ \hline A & 0,8A & 0,65A & 0,4A & 0,35A & 0,2A & 0 \\ \hline \end{array}\]

Какой наибольший процент годовых должен выставить банк, чтобы переплата клиента не превысила половину от суммы взятого кредита?

Добавить задание в избранное

Обозначим за \(t=\dfrac{100+y}{100}\).

 

В ноябре \(1\)-ого года сумма долга составит \(t\cdot A\) рублей. Т.к. после выплаты долг должен уменьшиться до \(0,8A\), то выплата составит: \(t\cdot A-0,8A\).

 

Выпишем выплаты по кредиту в течение всех шести лет: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 \text{ год} & 2\text{ год} & 3\text{ год} & 4\text{ год} & 5\text{ год} & 6\text{ год} \\ \hline tA-0,8A & t\cdot0,8A-0,65A & t\cdot0,65A-0,4A &t\cdot0,4A-0,35A & t\cdot0,35A-0,2A & t\cdot0,2A \\ \hline \end{array}\]

Тогда переплата составит: \((t\cdot A-0,8A+t\cdot0,8A-0,65A+t\cdot0,65A-0,4A+t\cdot0,4A-0,35A+t\cdot0,35A-0,2A+\)

\(+t\cdot0,2A-0)-A=3,4A(t-1)=\dfrac{3,4Ay}{100}\)

Т.к. переплата не должна превышать половины суммы кредита, то:

\(\dfrac{3,4Ay}{100} \leq \dfrac{A}{2} \Rightarrow y \leq 14\dfrac{12}{17} \Rightarrow\) наибольшее целое \(y=14\%\).

Ответ:

\(14\%\).

Задание 5 #1213
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Студент Миша не смог поступить на бюджет в Университет и поэтому был вынужден взять образовательный кредит сроком на \(10\) лет. Условия пользования образовательным кредитом таковы:
– в течение первых пяти лет (пока Миша учится в Университете) гасить кредит не нужно, но за пользование кредитом банк начисляет проценты;
– каждый год в течение обучения банк перечисляет на счет Университета сумму в размере \(327\,680\) рублей, равную стоимости годового обучения в Университете;
– один раз в конце года в течение первых пяти лет (после зачисления денег на счет Университета) банк начисляет \(12,5 \%\) на сумму, которую на этот момент клиент должен банку;
– с \(6\)-ого по \(10\)-ый года клиент обязан устроиться на работу и выплачивать кредит равными платежами раз в полгода.
Чему равен этот платеж?

Добавить задание в избранное

Составим таблицу для первых пяти лет, обозначив за \(A=327680\) рублей: \[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до начисления }\% & \text{Сумма долга после начисления }\%\\ \hline 1& A & 1,125A\\ \hline 2& 1,125A+A & 1,125(1,125A+A)\\ \hline 3& 1,125(1,125A+A)+A & 1,125(1,125(1,125A+A)+A)\\ \hline 4& 1,125(1,125(1,125A+A)+ & 1,125(1,125(1,125(1,125A+A)+\\ &+A)+A&+A)+A)\\ \hline 5& 1,125(1,125(1,125(1,125A+A)+ & 1,125(1,125(1,125(1,125(1,125A+A)+\\ &+A)+A)+A&+A)+A)+A)\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, по окончании Университета Миша будет должен банку
\(1,125(1,125(1,125(1,125(1,125A+A)+A)+A)+A)=\)

\(=1,125A(1,125^4+1,125^3+1,125^2+1,125+1)=B\)

 

Т.к. в последующие годы проценты банк не начисляет, а платежи Миша вносит каждые полгода, то каждый платеж равен \(\dfrac{B}{10}\). Для удобства вычисления заметим, что \(1,125=\dfrac{9}{8} \Rightarrow\) (используя формулу суммы геометрической прогрессии)

\(\dfrac{B}{10}=\dfrac{9\cdot \left(\dfrac{9^5}{8^5}-1\right)}{8\cdot \dfrac{1}{8}}\cdot A\cdot \dfrac{1}{10}=236\,529\) рублей.

Ответ:

\(236\,529\) рублей.

Задание 6 #2067
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На последние два года обучения в университете студент взял образовательный кредит. Условия пользования кредитом таковы:
– в сентябре каждого года в течение обучения студента банк перечисляет на счет университета сумму, равную стоимости годового обучения в университете;
– один раз в ноябре каждого года пользования кредитом банк начисляет \(20 \%\) на текущий долг клиента;
– каждый год в течение обучения в декабре студент вносит некоторую сумму (одну и ту же) в счет погашения кредита;
– после окончания обучения в течение еще двух лет банк продолжает в ноябре каждого года начислять \(20\%\) на оставшуюся сумму долга, но теперь студент обязан выплачивать кредит равными платежами, в пять раз превышающими платеж во время обучения.

 

Сколько рублей составит переплата по такому кредиту, если год обучения в университете стоит \(402\,500\) рублей?

Добавить задание в избранное

Обозначим за \(A=402\,500\) рублей.
Заметим, что в итоге кредит был выдан на 4 года, причем в течение первых двух лет студент учится, а в течение последних двух – уже нет. Пусть \(x\) – это платеж банку в первые 2 года, тогда \(5x\) – платеж банку в последние два года. Если банк начисляет \(20\%\) на текущий долг, то этот долг увеличивается в \(\frac{120}{100}=1,2\) раза.
Заметим также, что в сентябре второго года долг банку увеличится на стоимость годового обучения, то есть на \(A\).
Составим таблицу:

\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до } & \text{Сумма долга после}& \text{Сумма долга} & \text{Платеж}\\ & \text{начисления }\% & \text{начисления }\% & \text{после платежа} &\\ \hline 1& A & 1,2A & 1,2A-x & x\\ \hline 2& 1,2A-x+A & 1,2((1,2+1)A-x) & 1,2((1,2+1)A-x)-x=B & x\\ \hline 3& B & 1,2B & 1,2B-5x & 5x\\ \hline 4& 1,2B-5x & 1,2(1,2B-5x) & 1,2(1,2B-5x)-5x & 5x\\ \hline \end{array}\]

Т.к. в конце 4-ого года кредит закрыт, то долг банку будет равен нулю, то есть

\[1,2(1,2B-5x)-5x=0 \quad \Leftrightarrow \quad 1,2^2B-5x\cdot 2,2=0\]

Т.к. \(B=1,2((1,2+1)A-x)-x=1,2(1,2+1)A-x(1,2+1)=1,2\cdot 2,2A-2,2x\), то:

\[1,2^3\cdot 2,2A-1,2^2\cdot 2,2x-5\cdot 2,2x=0 \quad \Leftrightarrow \quad 1,2^3A-x(1,2^2+5)=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=\dfrac{1,2^3A}{1,2^2+5}\]

Заметим, что за все годы пользования кредитом студент выплатил банку \(x+x+5x+5x=12x\) рублей, а взял в кредит — две стоимости годового обучения в университете, то есть взял \(2A\). Значит, переплата равна \[R=12x-2A=2(6x-A)=2A\cdot \left(\dfrac{6\cdot 1,2^3}{1,2^2+5}-1\right)=491\,000\]

Ответ:

\(491000\)

Задание 7 #2313
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В банке в честь Дня труда действует следующее предложение по выдаче кредита:
— кредит выдается сроком на 5 лет под \(10\%\) годовых;
— в первый, третий и пятый годы после начисления процентов на текущую сумму долга клиент обязан внести некоторый платеж, одинаковый во все эти три года;
— во второй и четвертый годы после начисления процентов на текущую сумму долга клиент выплачивает только проценты по кредиту.

 

Какое максимальное целое число тысяч рублей в кредит может позволить себе взять трудоголик Лера, если она знает, что переплата по кредиту не должна превысить \(100\) тысяч рублей?

Добавить задание в избранное

Пусть Лера взяла в кредит \(A\) тысяч рублей, а платеж, который она вносила в первый, третий и пятый годы, равен \(x\) тысяч рублей. Составим таблицу:

\[\small{\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма долга до} &\text{Сумма долга после} &\text{Сумма платежа}&\text{Сумма долга}\\ &\text{начисления }\% &\text{начисления }\% & &\text{после платежа}\\ \hline 1& A & 1,1A & x & 1,1A-x \\ \hline 2& 1,1A-x & 1,1A-x+0,1(1,1A-x) & 0,1(1,1A-x) & 1,1A-x\\ \hline 3& 1,1A-x & 1,1(1,1A-x) & x & 1,1(1,1A-x)-x\\ \hline 4& 1,1(1,1A-x)-x & 1,1(1,1A-x)-x+ & 0,1(1,1(1,1A- & 1,1(1,1A-x)-x\\ &&+0,1(1,1(1,1A-x)-x)&-x)-x)&\\ \hline 5& 1,1(1,1A-x)-x & 1,1(1,1(1,1A-x)-x) & x & 1,1(1,1(1,1A-x)-x)-x\\ \hline \end{array}}\]

Заметим, что в те годы, когда платеж составлял \(x\), мы записывали сумму долга после начисления процентов как \(1,1\cdot\)долг; а в те годы, где платеж равнялся начисленным процентам — как долг\(+0,1\cdot\)долг. Это было сделано лишь для удобства.

 

Т.к. в последний, пятый, год кредит был погашен, то \[1,1(1,1(1,1A-x)-x)-x=0 \quad \Rightarrow \quad 1,1^3A-x(1,1^2+1,1+1)=0\]

По условию задачи переплата не должна превысить \(100\) тысяч рублей. Вычислим переплату (для этого нужно из общей суммы всех выплат вычесть сумму кредита):

\[3x+0,1(1,1A-x)+0,1(1,1(1,1A-x)-x)-A=2,69x-0,769A\]

Таким образом, получаем следующее неравенство:

\[2,69x-0,769A\leqslant 100\]

Подставим в это неравенство выраженное из уравнения \(x=\dfrac{1,1^3\cdot A}{1,1^2+1,1+1}\):

\[2,69\cdot \dfrac{1,1^3\cdot A}{1,1^2+1,1+1}-0,769A\leqslant 100 \quad \Leftrightarrow \quad A\leqslant \dfrac{66200}{207}=319,8...\]

Т.к. \(A\) – целое число тысяч рублей, то наибольшее подходящее \(A=319\) тысяч рублей.

Ответ: 319