Математика
Русский язык

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи про банковский кредит: другие схемы платежей

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Валентина Яковлевна решила взять кредит в банке на \(565\,000\) рублей под \(25 \%\) годовых сроком на три года. Каждый год Валентина Яковлевна вносит платеж по кредиту после начисления процентов. Причем платеж в первый год в два раза меньше платежа во второй год и в три раза меньше платежа в третий год. Сколько рублей составит переплата Валентины Яковлевны по кредиту?

Добавить задание в избранное

Составим таблицу (суммы долга запишем в тыс. рублей): \[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до начисления }\% & \text{Сумма долга после начисления }\% \text{ и платежа} \\ \hline 1 & 565 & 1,25\cdot 565 - x \\ \hline 2 & 1,25\cdot 565-x & 1,25(1,25\cdot 565-x)-2x \\ \hline 3 & 1,25(1,25\cdot 565-x)-2x & 1,25(1,25(1,25\cdot 565-x)-2x)-3x\\ \hline \end{array}\]

где \(x, 2x, 3x\) тыс. рублей – платежи по кредиту.

Тогда имеем: \(1,25(1,25(1,25\cdot 565-x)-2x)-3x=0 \Rightarrow x=\dfrac{1,25^3\cdot 565}{1,25^2+2\cdot 1,25+3}=156,25\) тыс.рублей.

Таким образом, переплата равна \((x+2x+3x)-565 =372,5\) тыс.руб. или \(372\,500\) рублей.

Ответ:

\(372\,500\) рублей.

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В конце сентября 2016 года планируется взять кредит в банке на год. Условия его возврата таковы:
— в течение первого месяца каждого квартала долг увеличивается на \(6\%\) по сравнению с долгом на конец предыдущего квартала;
— в течение второго месяца каждого квартала необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— долг на начало каждого квартала должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Квартал} & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline \text{Долг (в процентах)} & 100 & 75 & 40 & 0\\ \hline \end{array}\] На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Пусть кредит составил \(A\) рублей. Тогда:
– в первый месяц первого квартала до начисления процентов долг равен \(A\), после начисления процентов долг составил \(1,06A\);
– в первый месяц второго квартала до начисления процентов долг равен \(0,75A\), после начисления процентов долг составил \(1,06\cdot 0,75A\);
– в первый месяц третьего квартала до начисления процентов долг равен \(0,4A\), после начисления процентов долг составил \(1,06\cdot 0,4A\);
– в первый месяц четвертого квартала долг равен \(0\).

 

Таким образом, в первом квартале был сделан платеж в размере \(B_1=1,06A-0,75A\); во втором квартале платеж \(B_2=1,06\cdot 0,75A-0,4A\); в третьем \(B_3=1,06A\cdot 0,4A-0\). Следовательно, общая сумма выплат составила: \[V=B_1+B_2+B_3=(1,06A-0,75A)+(1,06\cdot 0,75A-0,4A)+(1,06A\cdot 0,4A-0)\] Необходимо найти, на сколько процентов общая сумма выплат больше кредита, или, что то же самое, сколько процентов составила переплата (общая сумма выплат минус сумма кредита) от кредита: \[\dfrac{V-A}{A}\cdot 100\%\] Найдем \[\begin{aligned} &\dfrac{V-A}{A}=\dfrac{A(1,06-0,75+1,06\cdot 0,75-0,4+1,06\cdot 0,4-1)}A=\\[2ex] &=1,06(1+0,75+0,4)-(1+0,75+0,4)=(1+0,75+0,4)(1,06-1)=1,25\cdot 0,06=0,129 \end{aligned}\] Следовательно, ответ: \[0,129\cdot 100\%=12,9\%.\]

Ответ:

12,9\(\%\)

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В январе банк предоставляет кредиты на сумму \(A\) рублей на \(6\) лет на следующих условиях:
– в ноябре каждого года, начиная с первого (когда был взят кредит) сумма долга возрастает на некоторое целое число \(y\) процентов;
– в декабре каждого года, начиная с первого, клиент должен внести платеж в счет погашения части текущего долга;
– платежи подбираются так, чтобы в январе каждого года сумма долга менялась соответственно таблице:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 \text{ год} & 2\text{ год} & 3\text{ год} & 4\text{ год} & 5\text{ год} & 6\text{ год} & 7\text{ год}\\ \hline A & 0,8A & 0,65A & 0,4A & 0,35A & 0,2A & 0 \\ \hline \end{array}\]

Какой наибольший процент годовых должен выставить банк, чтобы переплата клиента не превысила половину от суммы взятого кредита?

Добавить задание в избранное

Обозначим за \(t=\dfrac{100+y}{100}\).

 

В ноябре \(1\)-ого года сумма долга составит \(t\cdot A\) рублей. Т.к. после выплаты долг должен уменьшиться до \(0,8A\), то выплата составит: \(t\cdot A-0,8A\).

 

Выпишем выплаты по кредиту в течение всех шести лет: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 \text{ год} & 2\text{ год} & 3\text{ год} & 4\text{ год} & 5\text{ год} & 6\text{ год} \\ \hline tA-0,8A & t\cdot0,8A-0,65A & t\cdot0,65A-0,4A &t\cdot0,4A-0,35A & t\cdot0,35A-0,2A & t\cdot0,2A \\ \hline \end{array}\]

Тогда переплата составит: \((t\cdot A-0,8A+t\cdot0,8A-0,65A+t\cdot0,65A-0,4A+t\cdot0,4A-0,35A+t\cdot0,35A-0,2A+\)

\(+t\cdot0,2A-0)-A=3,4A(t-1)=\dfrac{3,4Ay}{100}\)

Т.к. переплата не должна превышать половины суммы кредита, то:

\(\dfrac{3,4Ay}{100} \leq \dfrac{A}{2} \Rightarrow y \leq 14\dfrac{12}{17} \Rightarrow\) наибольшее целое \(y=14\%\).

Ответ:

\(14\%\).

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Студент Миша не смог поступить на бюджет в Университет и поэтому был вынужден взять образовательный кредит сроком на \(10\) лет. Условия пользования образовательным кредитом таковы:
– в течение первых пяти лет (пока Миша учится в Университете) гасить кредит не нужно, но за пользование кредитом банк начисляет проценты;
– каждый год в течение обучения банк перечисляет на счет Университета сумму в размере \(327\,680\) рублей, равную стоимости годового обучения в Университете;
– один раз в конце года в течение первых пяти лет (после зачисления денег на счет Университета) банк начисляет \(12,5 \%\) на сумму, которую на этот момент клиент должен банку;
– с \(6\)-ого по \(10\)-ый года клиент обязан устроиться на работу и выплачивать кредит равными платежами раз в полгода.
Чему равен этот платеж?

Добавить задание в избранное

Составим таблицу для первых пяти лет, обозначив за \(A=327680\) рублей: \[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до начисления }\% & \text{Сумма долга после начисления }\%\\ \hline 1& A & 1,125A\\ \hline 2& 1,125A+A & 1,125(1,125A+A)\\ \hline 3& 1,125(1,125A+A)+A & 1,125(1,125(1,125A+A)+A)\\ \hline 4& 1,125(1,125(1,125A+A)+ & 1,125(1,125(1,125(1,125A+A)+\\ &+A)+A&+A)+A)\\ \hline 5& 1,125(1,125(1,125(1,125A+A)+ & 1,125(1,125(1,125(1,125(1,125A+A)+\\ &+A)+A)+A&+A)+A)+A)\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, по окончании Университета Миша будет должен банку
\(1,125(1,125(1,125(1,125(1,125A+A)+A)+A)+A)=\)

\(=1,125A(1,125^4+1,125^3+1,125^2+1,125+1)=B\)

 

Т.к. в последующие годы проценты банк не начисляет, а платежи Миша вносит каждые полгода, то каждый платеж равен \(\dfrac{B}{10}\). Для удобства вычисления заметим, что \(1,125=\dfrac{9}{8} \Rightarrow\) (используя формулу суммы геометрической прогрессии)

\(\dfrac{B}{10}=\dfrac{9\cdot \left(\dfrac{9^5}{8^5}-1\right)}{8\cdot \dfrac{1}{8}}\cdot A\cdot \dfrac{1}{10}=236\,529\) рублей.

Ответ:

\(236\,529\) рублей.

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На последние два года обучения в университете студент взял образовательный кредит. Условия пользования кредитом таковы:
– в сентябре каждого года в течение обучения студента банк перечисляет на счет университета сумму, равную стоимости годового обучения в университете;
– один раз в ноябре каждого года пользования кредитом банк начисляет \(20 \%\) на текущий долг клиента;
– каждый год в течение обучения в декабре студент вносит некоторую сумму (одну и ту же) в счет погашения кредита;
– после окончания обучения в течение еще двух лет банк продолжает в ноябре каждого года начислять \(20\%\) на оставшуюся сумму долга, но теперь студент обязан выплачивать кредит равными платежами, в пять раз превышающими платеж во время обучения.

 

Сколько рублей составит переплата по такому кредиту, если год обучения в университете стоит \(402\,500\) рублей?

Добавить задание в избранное

Обозначим за \(A=402\,500\) рублей.
Заметим, что в итоге кредит был выдан на 4 года, причем в течение первых двух лет студент учится, а в течение последних двух – уже нет. Пусть \(x\) – это платеж банку в первые 2 года, тогда \(5x\) – платеж банку в последние два года. Если банк начисляет \(20\%\) на текущий долг, то этот долг увеличивается в \(\frac{120}{100}=1,2\) раза.
Заметим также, что в сентябре второго года долг банку увеличится на стоимость годового обучения, то есть на \(A\).
Составим таблицу:

\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до } & \text{Сумма долга после}& \text{Сумма долга} & \text{Платеж}\\ & \text{начисления }\% & \text{начисления }\% & \text{после платежа} &\\ \hline 1& A & 1,2A & 1,2A-x & x\\ \hline 2& 1,2A-x+A & 1,2((1,2+1)A-x) & 1,2((1,2+1)A-x)-x=B & x\\ \hline 3& B & 1,2B & 1,2B-5x & 5x\\ \hline 4& 1,2B-5x & 1,2(1,2B-5x) & 1,2(1,2B-5x)-5x & 5x\\ \hline \end{array}\]

Т.к. в конце 4-ого года кредит закрыт, то долг банку будет равен нулю, то есть

\[1,2(1,2B-5x)-5x=0 \quad \Leftrightarrow \quad 1,2^2B-5x\cdot 2,2=0\]

Т.к. \(B=1,2((1,2+1)A-x)-x=1,2(1,2+1)A-x(1,2+1)=1,2\cdot 2,2A-2,2x\), то:

\[1,2^3\cdot 2,2A-1,2^2\cdot 2,2x-5\cdot 2,2x=0 \quad \Leftrightarrow \quad 1,2^3A-x(1,2^2+5)=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=\dfrac{1,2^3A}{1,2^2+5}\]

Заметим, что за все годы пользования кредитом студент выплатил банку \(x+x+5x+5x=12x\) рублей, а взял в кредит — две стоимости годового обучения в университете, то есть взял \(2A\). Значит, переплата равна \[R=12x-2A=2(6x-A)=2A\cdot \left(\dfrac{6\cdot 1,2^3}{1,2^2+5}-1\right)=491\,000\]

Ответ:

\(491000\)

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В банке в честь Дня труда действует следующее предложение по выдаче кредита:
— кредит выдается сроком на 5 лет под \(10\%\) годовых;
— в первый, третий и пятый годы после начисления процентов на текущую сумму долга клиент обязан внести некоторый платеж, одинаковый во все эти три года;
— во второй и четвертый годы после начисления процентов на текущую сумму долга клиент выплачивает только проценты по кредиту.

 

Какое максимальное целое число тысяч рублей в кредит может позволить себе взять трудоголик Лера, если она знает, что переплата по кредиту не должна превысить \(100\) тысяч рублей?

Добавить задание в избранное

Пусть Лера взяла в кредит \(A\) тысяч рублей, а платеж, который она вносила в первый, третий и пятый годы, равен \(x\) тысяч рублей. Составим таблицу:

\[\small{\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма долга до} &\text{Сумма долга после} &\text{Сумма платежа}&\text{Сумма долга}\\ &\text{начисления }\% &\text{начисления }\% & &\text{после платежа}\\ \hline 1& A & 1,1A & x & 1,1A-x \\ \hline 2& 1,1A-x & 1,1A-x+0,1(1,1A-x) & 0,1(1,1A-x) & 1,1A-x\\ \hline 3& 1,1A-x & 1,1(1,1A-x) & x & 1,1(1,1A-x)-x\\ \hline 4& 1,1(1,1A-x)-x & 1,1(1,1A-x)-x+ & 0,1(1,1(1,1A- & 1,1(1,1A-x)-x\\ &&+0,1(1,1(1,1A-x)-x)&-x)-x)&\\ \hline 5& 1,1(1,1A-x)-x & 1,1(1,1(1,1A-x)-x) & x & 1,1(1,1(1,1A-x)-x)-x\\ \hline \end{array}}\]

Заметим, что в те годы, когда платеж составлял \(x\), мы записывали сумму долга после начисления процентов как \(1,1\cdot\)долг; а в те годы, где платеж равнялся начисленным процентам — как долг\(+0,1\cdot\)долг. Это было сделано лишь для удобства.

 

Т.к. в последний, пятый, год кредит был погашен, то \[1,1(1,1(1,1A-x)-x)-x=0 \quad \Rightarrow \quad 1,1^3A-x(1,1^2+1,1+1)=0\]

По условию задачи переплата не должна превысить \(100\) тысяч рублей. Вычислим переплату (для этого нужно из общей суммы всех выплат вычесть сумму кредита):

\[3x+0,1(1,1A-x)+0,1(1,1(1,1A-x)-x)-A=2,69x-0,769A\]

Таким образом, получаем следующее неравенство:

\[2,69x-0,769A\leqslant 100\]

Подставим в это неравенство выраженное из уравнения \(x=\dfrac{1,1^3\cdot A}{1,1^2+1,1+1}\):

\[2,69\cdot \dfrac{1,1^3\cdot A}{1,1^2+1,1+1}-0,769A\leqslant 100 \quad \Leftrightarrow \quad A\leqslant \dfrac{66200}{207}=319,8...\]

Т.к. \(A\) – целое число тысяч рублей, то наибольшее подходящее \(A=319\) тысяч рублей.

Ответ: 319

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на \(10\%\) по сравнению с началом года. По договоренности с банком в конце первого и третьего годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, начисленные за соответствующий текущий год. В конце второго и четвертого годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая к концу четвертого года весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита в млн. рублей, при котором общая сумма выплат заемщика превысит \(100\) млн. рублей.

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Пусть \(A\) – сумма кредита в млн. рублей, а \(x\) – сумма выплаты во второй и четвертый годы в млн. рублей. Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма долга до}&\text{Сумма долга после} &\text{Сумма долга}&\text{Выплата}\\ &\text{начисления }\%&\text{начисления }\%&\text{после выплаты}&\\ \hline 1&A&A+0,1A&A&0,1A\\ \hline 2&A&1,1A&1,1A-x&x\\ \hline 3&1,1A-x&(1,1A-x)+0,1(1,1A-x)&1,1A-x&0,1(1,1A-x)\\ \hline 4&1,1A-x&1,1(1,1A-x)&1,1(1,1A-x)-x&x\\ \hline \end{array}\]

Т.к. в конце четвертого года заемщик выплатил весь кредит, то сумма долга после выплаты будет равна нулю, то есть \[1,1(1,1A-x)-x=0\quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{121}{210}A \quad (*)\] Т.к. общая сумма выплат заемщика должна превысить \(100\) млн. рублей, то получаем следующее неравенство: \[0,1A+x+0,1(1,1A-x)+x>100\quad\Leftrightarrow\quad 21A+190x>10\,000.\] Подставим в это неравенство выражение \((*)\) и получим: \[A>\dfrac{210\,000}{2740}\quad\Rightarrow\quad A>76,...\] Т.к. \(A\) – целое число млн. рублей, то наименьшее \(A=77\) млн. рублей.

Ответ: 77