Математика
Русский язык

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на комбинированные поверхности

В этой подтеме собраны поверхности являются комбинацией поверхностей, изученных ранее: пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, сферы.

 

Для того, чтобы найти объем или площадь поверхности подобной комбинированной фигуры, нужно разбить ее на известные фигуры и искать объем/площадь по частям.

 

Рассмотрим пример:
Комбинация куба с ребром \(a\) и правильной четырехугольной пирамиды с высотой \(a\):


 

Объем такой фигуры равен \(V=V_{\text{куб}}+V_{\text{пирамида}}=a^3+\dfrac13a^2\cdot a=\dfrac43a^3\)

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Добавить задание в избранное

Заметим, что можно разбить данный многогранник на два непересекающихся прямоугольных параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) и \(DCEFD_2C_2E_1F_1\):


 

Тогда объем первого параллелепипеда будет равен \(1\cdot 3\cdot 4=12\), а объем второго \(1\cdot 3\cdot 2=6\). Следовательно, объем всего многогранника будет равен \(12+6=18\).

Ответ: 18

Задание 2
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Точка \(A\) – середина оси цилиндра, высота которого \(h\). Точка \(B\) лежит на основании цилиндра (с центром \(O\) и радиусом \(R\)), причём угол между \(AB\) и плоскостью основания равен \(60^\circ\), Объём заштрихованной области \[V_{\text{штрих}} = \dfrac{75\sqrt{5}}{\sqrt{\pi}}.\] Найдите площадь боковой поверхности конуса с вершиной \(A\) и основанием, совпадающим с основанием цилиндра.



Добавить задание в избранное

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AOB\): \(AO = 0,5h\), \(\angle ABO = 60^\circ\), \(OB = R\), тогда \(0,5h = R\cdot \mathrm{tg}\, 60^\circ = R\sqrt{3}\), откуда \(h = 2R\sqrt{3}\); \(AB = \dfrac{R}{\cos 60^\circ} = 2 R\).

\[\dfrac{75\sqrt{5}}{\sqrt{\pi}} = V_{\text{штрих}} = V_{\text{цил}} - V_{\text{кон}} = \pi R^2 h - \dfrac{1}{3}\pi R^2\cdot 0,5 h = \pi R^2\cdot\dfrac{5h}{6} = \pi R^3\dfrac{5\sqrt{3}}{3},\] тогда \(\dfrac{75\sqrt{5}}{\sqrt{\pi}} = \pi R^3\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\), откуда \(R = \sqrt{\dfrac{15}{\pi}}\), тогда \[S_{\text{бок кон}} = \pi R\cdot AB = 2\pi R^2 = 30.\]

Ответ: 30

Задание 3
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Верхняя грань куба является основанием пирамиды, высота которой равна \(4\). Найдите площадь поверхности фигуры, если сторона квадрата равна \(6\).

Добавить задание в избранное




 

Найдем сперва апофему пирамиды \(h_1\) из прямоугольного треугольника, в котором она является гипотенузой, а катеты – это высота пирамиды \(h_2\) и половина стороны квадрата \(\displaystyle \frac{a}{2}\): \(\displaystyle h_1^2 = h_2^2 + \frac{a^2}{4}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle h_1^2 = 16 + \frac{36}{4}\) \(\Rightarrow\) \(h_1 = 5\). Площадь боковой грани пирамиды: \(\displaystyle \frac{1}{2}ah_1 = \frac{1}{2}\cdot6\cdot5 = 15\). Площадь грани куба: \(a^2 = 36\). Площадь поверхности фигуры состоит из пяти граней куба и четырех боковых граней пирамиды: \(S = 5\cdot36 + 4\cdot15 = 180 + 60 = 240\).

Ответ: 240

Задание 4
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Песочные часы состоят из двух одинаковых усеченных конусов, плоскости оснований которых параллельны. Высота песочных часов \(H = 16\). Радиус окружности, являющейся пересечением боковых поверхностей конусов, равен \(1\). Тангенс половины угла раствора каждого конуса равен \(\frac{1}{2}\). Найдите объем песочных часов \(V\), умноженный на \(\frac{3}{\pi}\).



Добавить задание в избранное

Выберем какое-нибудь сечение конусов плоскостью \(\alpha\), проходящей через их общую ось вращения.


 

На рисунке в плоскости \(\alpha\): \(DI\) – ось вращения конусов, отрезок \(DI\) совпадает с высотой песочных часов и равен \(16\). Отрезки \(CD\) и \(DE\) являются радиусами окружности, лежащей в верхнем основании фигуры, а отрезки \(BO\) и \(OF\) являются радиусами окружности пересечения конусов, поэтому \(BO = OF = 1\). Угол раствора конуса \(\angle CKE\) делится пополам осью вращения на равные углы \(\angle CKD\) и \(\angle DKE\), поэтому \(\mathrm{tg}\, \angle CKD = \mathrm{tg}\, \angle DKE = \frac{1}{2}\). Рассмотрим \(\triangle CKD\) и \(\triangle BKO\). Плоскости оснований конусов и плоскость, содержащая окружность пересечения конусов, параллельны друг другу \(\Rightarrow\) рассматриваемая плоскость сечения \(\alpha\) будет пересекать эти плоскости по прямым, параллельным друг другу \(\Rightarrow\) \(CD || BO\) \(\Rightarrow\) \(\triangle CKD\) и \(\triangle BKO\) подобны друг другу \(\Rightarrow\) \(\frac{CD}{BO} = \frac{KD}{KO}\). Ось вращения перпендикулярна плоскостям оснований и плоскости пересечения конусов \(\Rightarrow\) \(\triangle CKD\) и \(\triangle BKO\) – прямоугольные треугольники. Т.к. \(DI = H\) \(\Rightarrow\) \(DO = OI = H:2 = 8\); \(KO = BO:\mathrm{tg}\,\angle CKD = 1:\frac{1}{2} = 2\) \(\Rightarrow\) \(KD = KO + OD = 2 + 8 = 10\) \(\Rightarrow\) \(\frac{CD}{BO} = \frac{KD}{KO} = \frac{10}{2} = 5\) \(\Rightarrow\) \(CD = 5\).

Объем усеченного конуса \(CBOFEDC\) можно посчитать как разность объемов конуса \(KCDE\) и конуса \(KBOF\): \[V_{CBOFEDC} = V_{KCDE} - V_{KBOF} = \frac{1}{3}\cdot\pi CD^2\cdot KD - \frac{1}{3}\cdot\pi BO^2\cdot KO = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 5^2\cdot 10 - \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 1^2\cdot 2 = \frac{248\pi}{3}.\]

Объем песочных часов складывается из двух объемов усеченного конуса, т.к. ситуация с нижним конусом полностью аналогична ситуации с верхним конусом в силу симметрии задачи, поэтому их объемы совпадают \(CBOFEDC\) объем песочных часов равен \(2\cdot\frac{248\pi}{3}\). Окончательно, после умножения на \(\frac{3}{\pi}\) получаем: \[V = 496.\]

Ответ: 496

Многолетняя практика подтверждает тот факт, что задачи ЕГЭ на комбинированные поверхности вызывают у выпускников определенные затруднения. При этом подобные задания из раздела «Геометрия в пространстве» включаются в программу аттестационного испытания по математике из года в год. В связи с этим вспомнить базовые алгоритмы выполнения подобных задач просто необходимо.

Как подготовиться к экзамену?

Хотите решать геометрические задачи по теме «Комбинированные поверхности», не допуская ошибок? Для этого достаточно усвоить несложный алгоритм нахождения правильного ответа.
  • Для вычисления объема, площади или других неизвестных параметров комбинированной фигуры необходимо прежде всего поделить ее на известные элементы.
  • Затем рекомендуем вспомнить основные формулы получившихся фигур.
  • Освежив в памяти эту информацию и правильно применив ее, вы сможете рассчитать искомый параметр.

Чтобы подготовка к сдаче единого государственного экзамена была действительно качественной и эффективной, занимайтесь вместе с математическим порталом «Школково». Для того чтобы задачи ЕГЭ по теме «Комбинированные фигуры» не вызывали у старшеклассников особых затруднений, вначале им непременно стоит освежить в памяти базовый теоретический материал. Причем для этого вовсе не обязательно искать нужный параграф в школьном учебнике. Весь необходимый материал уже собран и понятно изложен в разделе «Теоретическая справка».

Чтобы применить полученные знания на практике, предлагаем выпускникам попрактиковаться в выполнении онлайн-задач. Чтобы найти соответствующие упражнения, достаточно перейти в раздел «Каталог». База заданий регулярно дополняется. Для каждого упражнения на сайте мы прописали алгоритм решения и правильный ответ.

Чтобы в случае необходимости быстро найти задание, вы можете сохранить его в разделе «Избранное». Это позволит вам в любой момент вернуться к нему и обсудить принцип его выполнения со школьным учителем или репетитором.