Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Работа с внешними углами многоугольника с помощью тригонометрии

Внешний угол многоугольника – угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом многоугольника.


 

\[\large{\begin{aligned} &\sin \alpha_{\text{внеш}}=\sin \alpha \qquad \qquad \qquad \cos \alpha_{\text{внеш}}=-\cos \alpha\\ &\\ &\mathrm{tg}\, \alpha_{\text{внеш}}=-\, \mathrm{tg}\,\alpha \qquad \qquad \qquad \, \mathrm{ctg}\, \alpha_{\text{внеш}}= -\, \mathrm{ctg}\,\alpha \end{aligned}}\]

Замечание: Синус и острого, и тупого угла – положительное число. Косинус, тангенс и котангенс острого угла – положительное число, а тупого угла – отрицательное число.
(острый угол: \(0^\circ<\alpha<90^\circ\), тупой угол: \(90^\circ<\alpha<180^\circ\))

Задание 1 #2107
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан выпуклый четырехугольник \(GEOM\), причем \(\angle G+\angle E+\angle O=330^\circ\). Найдите синус внешнего угла при вершине \(M\).

Добавить задание в избранное



Т.к. сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна \(360^\circ\), то \(\angle M=360^\circ - 330^\circ =30^\circ\). Следовательно, \(\sin \angle M=\sin 30^\circ =0,5\). Т.к. синусы смежных углов равны, то \(\sin M_{\text{внеш}}=0,5\).

Ответ: 0,5

Задание 2 #2108
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан треугольник \(ABC\), причем \(\sin (\angle A+\angle B)=0,67\). Найдите синус угла \(ACB\).

Добавить задание в избранное



Т.к. в треугольнике внешний угол при вершине \(C\) равен сумме углов \(A\) и \(B\), то и \(\sin \angle C_{\text{внеш}}=\sin (\angle A+\angle B)=0,67\).
Т.к. синусы смежных углов равны, то \(\sin \angle C=\sin \angle C_{\text{внеш}}=0,67\).

Ответ: 0,67

Задание 3 #617
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\angle B < 90^{\circ}\), \(\sin {\angle ABC} = 0,8\). Найдите косинус внешнего угла при вершине \(B\).

Добавить задание в избранное




 

Синусы смежных углов равны: \(\sin{(180^{\circ} - \alpha)} = \sin{\alpha}\), тогда синус внешнего угла при вершине \(B\) равен \(0,8\).

Используя основное тригонометрическое тождество (\(\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1\)), находим, что косинус внешнего угла при вершине \(B\) равен \(\pm 0,6\).

Так как \(\angle ABC < 90^{\circ}\), то внешний угол при вершине \(B\) – тупой, следовательно, его косинус отрицателен. Косинус внешнего угла при вершине \(B\) равен \(-0,6\).

Ответ: -0,6

Задание 4 #2109
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(\cos (\angle B+\angle C)=0,33\). Найдите косинус угла \(A\).

Добавить задание в избранное



Т.к. в треугольнике внешний угол при вершине \(A\) равен сумме углов \(B\) и \(C\), то \(\cos \angle A_{\text{внеш}}=\cos(\angle B+\angle C)=0,33\).
Т.к. косинусы смежных углов отличаются только знаком, то \(\cos \angle A=-\cos \angle A_{\text{внеш}}=-0,33\).

Ответ: -0,33

Задание 5 #2473
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан выпуклый пятиугольник, причем сумма четырех его внутренних углов равна \(420^\circ\). Найдите квадрат косинуса внешнего угла при вершине оставшегося пятого угла.

Добавить задание в избранное



Т.к. сумма внутренних углов выпуклого \(n\)-угольника вычисляется по формуле \(180^\circ \cdot (n-2)\), то сумма внутренних углов нашего пятиугольника равна \(540^\circ\). Следовательно, если \(\angle H+\angle O+\angle U+\angle S=420^\circ \quad \Rightarrow \quad \angle E=540^\circ -420^\circ =120^\circ\).

Следовательно, \(\angle E_{\text{внеш}}=180^\circ -\angle E=60^\circ\). Следовательно, \(\cos\angle E_{\text{внеш}}=\cos ^260^\circ =\dfrac14=0,25\).

Ответ: 0,25

Задание 6 #618
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В четырёхугольнике \(ABCD\) с тупыми углами \(C\) и \(D\) продолжение стороны \(AD\) за точку \(D\) и продолжение стороны \(BC\) за точку \(C\) пересеклись в точке \(E\) под прямым углом. При этом \(\sin{\angle DCE} = 0,6\). Найдите \(\sin{\angle ADC}\).

Добавить задание в избранное




 

Из основного тригонометрического тождества с учётом того, что \(\angle DCE\) – острый, получаем: \(\cos{\angle DCE} = 0,8\).

Из определений синуса и косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике получаем, что \(\sin{\angle EDC} = \cos{\angle DCE} = 0,8\).

Так как синусы смежных углов равны, то \(\sin{\angle ADC} = \sin{\angle EDC} = 0,8\).

Ответ: 0,8

Задание 7 #619
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В невыпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) (\(\angle C > 180^\circ\)) сторону \(AD\) продолжили за точки \(A\) и \(D\), получив по одному внешнему углу при вершинах \(A\) и \(D\). \(\angle BAD = 2\cdot \angle CDA\). Найдите косинус внешнего угла при вершине \(A\), если косинус внешнего угла при вершине \(D\) получился \(-0,9\).

Добавить задание в избранное




 

Косинусы смежных углов противоположны: \(\cos{(180^{\circ} - \alpha)} = -\cos{\alpha}\).

Косинус внешнего угла при вершине \(D\) равен \((-1)\cdot \cos{\angle CDA}\), откуда \(\cos{\angle CDA} = 0,9\).

\(\angle BAD = 2\cdot \angle CDA\), тогда \(\cos{\angle BAD} = 2\cos^2{\angle CDA} - 1 = 0,62\).

Так как косинус внешнего угла равен минус косинусу угла, смежного с ним, то косинус внешнего угла при вершине \(A\) равен \(-0,62\).

Ответ: -0,62

Задания, в которых школьникам необходимо найти внешние углы многоугольника, в ЕГЭ по математике традиционно встречаются из года в год. Правильно решать подобные задачи должны уметь выпускники, сдающие как базовый, так и профильный уровень аттестационного испытания. Школьники, которые освоили задания из раздела «Работа с внешними углами многоугольника», смогут справиться с ЕГЭ и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам его прохождения.

Как подготовиться к экзамену?

Перед решением задач на нахождение внешних углов многоугольника в ЕГЭ стоит освежить в памяти определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике. Кроме того, для некоторых заданий могут потребоваться формулы основных тригонометрических тождеств.

Восполнить пробелы в знаниях, например, по теме «Вычисление синуса угла треугольника» и лучше усвоить информацию вам поможет образовательный проект «Школково». Для того чтобы выпускники могли успешно справляться с задачами на нахождение внешних углов треугольника в ЕГЭ, мы предоставляем возможность повторить определения и основные правила. Весь необходимый базовый материал вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Наши специалисты подобрали соответствующую информацию.

Для закрепления теоретического материала мы предлагаем выполнить упражнения по теме «Работа с внешними углами многоугольника». Подборка простых и сложных заданий представлена в блоке «Каталог». Наши специалисты регулярно обновляют и дополняют упражнения.

Попрактиковаться в решении задач на нахождение внешних углов многоугольника, подобных тем, которые встречаются в ЕГЭ, можно в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России.