Математика
Русский язык

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи по теме «Прямая и правильная призмы»

\(\blacktriangleright\) Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.
Тогда:

 

1) боковые грани представляют собой прямоугольники;

2) боковое ребро является высотой призмы.

 

\(\blacktriangleright\) Призма называется правильной, если она прямая и ее основания – правильные многоугольники.
Тогда:

боковые грани представляют собой равные прямоугольники.

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Дана правильная четырехугольная призма, диагональ которой равна \(15\), а диагональ основания равна \(10\sqrt2\). Найдите площадь полной поверхности призмы.

Добавить задание в избранное



Пусть \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – данная призма. Так как она правильная, то в основании лежит квадрат и она является прямой. Тогда \(\triangle BB_1D\) прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора \[BB_1=\sqrt{15^2-(10\sqrt2)^2}=5.\] Так как диагональ квадрата в \(\sqrt2\) раз больше его стороны, то \[AB=\dfrac{BD}{\sqrt2}=10.\] Следовательно, \[S_{\text{пов-ти}}=2S_{ABCD}+4S_{AA_1D_1D}=2\cdot 10^2+4\cdot 10\cdot 5=400.\]

Ответ: 400

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дана прямая призма, в основании которой лежит равнобедренная описанная около окружности трапеция \(ABCD\) с боковой стороной, равной \(5\), и высотой, равной \(3\). Боковое ребро призмы равно \(2\). Найдите площадь полной поверхности призмы.

Добавить задание в избранное



Пусть \(AB=CD=5\). Так как трапеция описанная, то суммы противоположных сторон равны, следовательно, \(AD+BC=AB+CD=10\). Следовательно, ее площадь равна \[S_{ABCD}=\dfrac{AD+BC}2\cdot h=\dfrac{10}2\cdot 3=15.\] Площадь боковой поверхности призмы равна \[S'=(AB+BC+CD+AD)\cdot AA_1=(10+10)\cdot 2=40.\] Следовательно, площадь полной поверхности равна \[S_{\text{пов-ти}}=40+15+15=70.\]

Ответ: 70

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

\(ABCA_1B_1C_1\) – правильная треугольная призма, \(AB = \sqrt[4]{3}\), \(AA_1 = \sqrt[4]{27}\). Найдите площадь полной поверхности призмы.

Добавить задание в избранное




 

Площадь равностороннего треугольника со стороной \(a\) равна \(\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\), тогда

\[\begin{aligned} &S_{ABC} = S_{A_1B_1C_1} = \dfrac{(\sqrt[4]{3})^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3}{4},\\ &S_{AA_1C_1C} = S_{CC_1B_1B} = S_{AA_1B_1B} = AA_1\cdot AB = \sqrt[4]{27}\cdot\sqrt[4]{3} = \sqrt[4]{81} = 3. \end{aligned}\]

Таким образом, площадь полной поверхности \(ABCA_1B_1C_1\) равна \[2\cdot\dfrac{3}{4} + 3\cdot 3 = 10,5.\]

Ответ: 10,5

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В прямоугольной треугольной призме все боковые грани являются квадратами со стороной \(10\sqrt3\). Найдите объем призмы.

Добавить задание в избранное

У квадрата все стороны равны \(\Rightarrow\) в основаниях призмы лежат равносторонние треугольники со сторонами, равными \(10\sqrt3\).


 

Тогда площадь основания:
\(\displaystyle S_{\text{осн.}} = \frac{1}{2}\cdot10\sqrt3\cdot10\sqrt3\cdot\sin 60^\circ = \frac{1}{2}\cdot10\sqrt3\cdot10\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 75\sqrt3\). Высота призмы равна стороне квадрата, тогда объем призмы: \[10\sqrt3\cdot75\sqrt3 = 2250.\]

Ответ: 2250

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дана правильная треугольная призма. Площадь основания равна площади одной из боковых граней и равна \(4\sqrt3\). Найдите объем призмы.



Добавить задание в избранное

Так как призма является правильной, то в основаниях призмы лежат равносторонние треугольники, поэтому все боковые грани равны друг другу и являются прямоугольниками. Обозначим высоту призмы за \(h\), а сторону правильного треугольника за \(x\). Тогда найдем площадь основания:
\(\displaystyle S_{\text{осн.}} = \frac{1}{2}\cdot x^2\cdot\sin 60^\circ = \frac{1}{2}\cdot x^2\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3}{4}\cdot x^2 = 4\sqrt3\) \(\Rightarrow\) \(x^2 = 16\) \(\Rightarrow\) \(x = 4\). Высоту выразим из формулы для площади боковой грани: \(S = 4\sqrt3 = x\cdot h = 4\cdot h\) \(\Rightarrow\) \(h = \sqrt3\). Наконец, найдем объем призмы: \[V = h\cdot S_{\text{осн.}} = \sqrt3\cdot4\sqrt3 = 12.\]

Ответ: 12

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В правильной четырехугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) известно, что \(DB_1=2CD\). Найдите угол между диагоналями \(AC_1\) и \(B_1D\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное



Так как призма четырехугольная и правильная, то в основании лежит квадрат и она прямая. Следовательно, \(AD=CD\) и \(DB_1=2AD\).
Диагонали призмы пересекаются и точкой пересечения \(O\) делятся пополам, следовательно, \(OD=\frac12DB_1=AD\). Так как призма правильная, то диагонали равны, значит, \(AO=OD=AD\). Следовательно, \(\triangle AOD\) правильный и \(\angle AOD=60^\circ\). Это и есть угол между \(DB_1\) и \(AC_1\).

Ответ: 60

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\), все ребра которой равны \(1\), найдите угол между прямыми \(AA_1\) и \(CB_1\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное



Для того, чтобы найти угол между прямыми, не лежащими в одной плоскости, нужно одну из прямых параллельно перенести в плоскость, в которой лежит вторая прямая. Заметим, что \(BB_1\parallel AA_1\). Следовательно, угол между \(AA_1\) и \(CB_1\) равен углу между прямыми \(BB_1\) и \(CB_1\).
Так как все ребра призмы равны, то грань \(BCC_1B_1\) представляет собой квадрат, где \(CB_1\) – диагональ. Следовательно, \(\angle BB_1C=45^\circ\).

Ответ: 45

Школьникам, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике, обязательно стоит научиться решать задачи на нахождение площади прямой и правильной призмы. Многолетняя практика подтверждает тот факт, что подобные задания по геометрии многие учащиеся считают достаточно сложными.

При этом уметь находить площадь и объем правильной и прямой призмы должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Основные моменты, которые стоит запомнить

  • Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, она называется прямой. Все боковые грани этой фигуры являются прямоугольниками. Высота прямой призмы совпадает с ее ребром.
  • Правильной является призма, боковые ребра которой перпендикулярны основанию, в котором находится правильный многоугольник. Боковые грани этой фигуры — равные прямоугольники. Правильная призма всегда является прямой.

Подготовка к единому госэкзамену вместе со «Школково» — залог вашего успеха!

Чтобы занятия проходили легко и максимально эффективно, выбирайте наш математический портал. Здесь представлен весь необходимый материал, который поможет подготовиться к прохождению аттестационного испытания.

Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию, основные формулы, теоремы и элементарные задачи с решением, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня.

Базовая информация систематизирована и понятно изложена в разделе «Теоретическая справка». Если вы уже успели повторить необходимый материал, рекомендуем вам попрактиковаться в решении задач на нахождение площади и объема прямой призмы. В разделе «Каталог» представлена большая подборка упражнений различной степени сложности.

Попробуйте рассчитать площадь прямой и правильной призмы прямо сейчас. Разберите любое задание. Если оно не вызвало сложностей, можете смело переходить к упражнениям экспертного уровня. А если определенные трудности все же возникли, рекомендуем вам регулярно готовиться к ЕГЭ в онлайн-режиме вместе с математическим порталом «Школково», и задачи по теме «Прямая и правильная призма» будут даваться вам легко.