Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Рациональные уравнения

Рациональное (дробное) уравнение – уравнение вида \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=0\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) – многочлены.

 

I. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла.
Таким образом, рациональное уравнение

\[\large{ \dfrac{P(x)}{Q(x)}=0 \quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} P(x)=0\\ Q(x)\ne 0 \end{cases} }\]

II. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла.
Таким образом, \({\color{blue}{\text{на общей ОДЗ функций }P(x) \text{ и } Q(x)}}\) уравнение

\[\large{P(x)\cdot Q(x)=0 \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &P(x)=0\\ &Q(x)=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.}\]

Задание 1 #360
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{20x}{3x^2 - 7} = 1\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(3x^2 - 7 \neq 0\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{20x - 3x^2 + 7}{3x^2 - 7} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(20x - 3x^2 + 7 = 0\), что равносильно \(3x^2 - 20x - 7 = 0\).

Дискриминант \[D = 400 + 84 = 484 = 22^2.\] Корни \[x_1 = \dfrac{20 + 22}{6} = 7, x_2 = \dfrac{20 - 22}{6} = -\dfrac{1}{3}\] – подходят по ОДЗ. Больший из корней равен \(7\).

Ответ: 7

Задание 2 #345
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{3x - 4}{x + 43} = -2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq -43\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{3x - 4 + 2\cdot(x + 43)}{x + 43} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{5x + 82}{x + 43} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x = -16,4\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -16,4

Задание 3 #346
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{-x - 8}{x - 8} = 9\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq 8\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{-x - 8 - 9\cdot(x - 8)}{x - 8} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{-10x + 64}{x - 8} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x = 6,4\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 6,4

Задание 4 #347
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{7 + 2x}{3 + x} = 3\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq -3\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{7 + 2x - 3\cdot(3 + x)}{3 + x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{-x - 2}{3 + x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x = -2\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -2

Задание 5 #364
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{1}{33x - 12} = \dfrac{1}{17 + 32x}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(33x - 12 \neq 0\) и \(17 + 32x \neq 0\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1\cdot(17 + 32x) - 1\cdot(33x - 12)}{(33x - 12)(17 + 32x)} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(1\cdot(17 + 32x) - 1~\cdot~(33x~-~12) = 0\), что равносильно \(-x = -29\), тогда \(x = 29\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 29

Задание 6 #363
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{1}{5x - 24} = \dfrac{1}{16 - 3x}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(5x - 24 \neq 0\) и \(16 - 3x \neq 0\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1\cdot(16 - 3x) - 1\cdot(5x - 24)}{(5x - 24)(16 - 3x)} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(1\cdot(16 - 3x) - 1\cdot(5x - 24) = 0\), что равносильно \(-8x = -40\), тогда \(x = 5\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 5

Задание 7 #348
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{7 + 24x}{5 + \frac{4}{3}x} = 3\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq -\dfrac{15}{4}\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{7 + 24x - 15 - 4x}{5 + \frac{4}{3}x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{20x - 8}{5 + \frac{4}{3}x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x = 0,4\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 0,4

«Рациональные уравнения с многочленами» — одна из самых часто встречающихся тем в тестовых заданиях ЕГЭ по математике. По этой причине их повторению стоит уделить особое внимание. Многие ученики сталкиваются с проблемой нахождения дискриминанта, перенесения показателей из правой части в левую и приведения уравнения к общему знаменателю, из-за чего выполнение подобных заданий вызывает трудности. Решение рациональных уравнений при подготовке к ЕГЭ на нашем сайте поможет вам быстро справляться с задачами любой сложности и сдать тестирование на отлично.

Выбирайте образовательный портал «Школково» для успешной подготовки к единому экзамену по математике!

Чтобы знать правила вычисления неизвестных и легко получать правильные результаты, воспользуйтесь нашим онлайн-сервисом. Портал «Школково» — это единственная в своем роде площадка, где собраны необходимые для подготовки к ЕГЭ материалы. Наши преподаватели систематизировали и изложили в понятной форме все математические правила. Кроме того, мы предлагаем школьникам попробовать силы в решении типовых рациональных уравнений, база которых постоянно обновляется и дополняется.

Для более результативной подготовки к тестированию рекомендуем следовать нашему особому методу и начать с повторения правил и решения простых задач, постепенно переходя к более сложным. Таким образом, выпускник сможет выделить для себя самые трудные темы и сделать акцент на их изучении.

Начните подготовку к итоговому тестированию со «Школково» уже сегодня, и результат не заставит себя ждать! Выберите самый легкий пример из предложенных. Если вы быстро справились с выражением, переходите к более сложной задаче. Так вы сможете подтянуть свои знания вплоть до решения заданий ЕГЭ по математике профильного уровня.

Обучение доступно не только выпускникам из Москвы, но и школьникам из других городов. Уделяйте пару часов в день занятиям на нашем портале, например, решению кубических уравнений и совсем скоро вы сможете справиться с уравнениями любой сложности!