Математика
Русский язык

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Рациональные уравнения

Рациональное (дробное) уравнение – уравнение вида \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=0\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) – многочлены.

 

I. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла.
Таким образом, рациональное уравнение

\[\large{ \dfrac{P(x)}{Q(x)}=0 \quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} P(x)=0\\ Q(x)\ne 0 \end{cases} }\]

II. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла.
Таким образом, \({\color{blue}{\text{на общей ОДЗ функций }P(x) \text{ и } Q(x)}}\) уравнение

\[\large{P(x)\cdot Q(x)=0 \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &P(x)=0\\ &Q(x)=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.}\]

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{20x}{3x^2 - 7} = 1\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(3x^2 - 7 \neq 0\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{20x - 3x^2 + 7}{3x^2 - 7} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(20x - 3x^2 + 7 = 0\), что равносильно \(3x^2 - 20x - 7 = 0\).

Дискриминант \[D = 400 + 84 = 484 = 22^2.\] Корни \[x_1 = \dfrac{20 + 22}{6} = 7, x_2 = \dfrac{20 - 22}{6} = -\dfrac{1}{3}\] – подходят по ОДЗ. Больший из корней равен \(7\).

Ответ: 7

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{3x - 4}{x + 43} = -2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq -43\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{3x - 4 + 2\cdot(x + 43)}{x + 43} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{5x + 82}{x + 43} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x = -16,4\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -16,4

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{-x - 8}{x - 8} = 9\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq 8\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{-x - 8 - 9\cdot(x - 8)}{x - 8} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{-10x + 64}{x - 8} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x = 6,4\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 6,4

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{7 + 2x}{3 + x} = 3\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq -3\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{7 + 2x - 3\cdot(3 + x)}{3 + x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{-x - 2}{3 + x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x = -2\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -2

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{1}{33x - 12} = \dfrac{1}{17 + 32x}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(33x - 12 \neq 0\) и \(17 + 32x \neq 0\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1\cdot(17 + 32x) - 1\cdot(33x - 12)}{(33x - 12)(17 + 32x)} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(1\cdot(17 + 32x) - 1~\cdot~(33x~-~12) = 0\), что равносильно \(-x = -29\), тогда \(x = 29\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 29

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{1}{5x - 24} = \dfrac{1}{16 - 3x}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(5x - 24 \neq 0\) и \(16 - 3x \neq 0\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1\cdot(16 - 3x) - 1\cdot(5x - 24)}{(5x - 24)(16 - 3x)} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(1\cdot(16 - 3x) - 1\cdot(5x - 24) = 0\), что равносильно \(-8x = -40\), тогда \(x = 5\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 5

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{7 + 24x}{5 + \frac{4}{3}x} = 3\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq -\dfrac{15}{4}\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{7 + 24x - 15 - 4x}{5 + \frac{4}{3}x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{20x - 8}{5 + \frac{4}{3}x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x = 0,4\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 0,4