Тренировочные варианты «Школково». СтатГрад. Москва. 19-23 апреля 2018

На весь курс больному нужно \(0,5\cdot 2\cdot 15=15\) г лекарства. В одной упаковке \(6\cdot 0,25=1,5\) г лекарства. Следовательно, найдем \(15:1,5=10\). Значит, больному нужно минимум 10 упаковок лекарства.

Ответ: 10

Наибольшая температура 13 июля была в 12:00 и составила \(25^\circ C\).

Ответ: 25

Проведем перпендикуляр \(BH\) к стороне \(OA\). Получим прямоугольный треугольник \(OBH\). Из него \(\mathrm{tg}\,\angle O=BH:OH=3:5=0,6\).

Ответ: 0,6

Вероятность того, что попадется вопрос по теме “Вписанная окружность” ИЛИ по теме “Тригонометрия”, равна СУММЕ этих вероятностей, то есть \[0,15+0,3=0,45\]

Ответ: 0,45

ОДЗ уравнения: \(16+x>0\). Решим уравнение на ОДЗ.
Оно равносильно \(16+x=12\). Тогда \(x=-4\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -4

Проведем две высоты \(CK\) и \(DH\). По свойству равнобедренной трапеции \(HDCK\) – прямоугольник, то есть \(KH=CD=x\). Тогда \(AH+BC=25-x\), откуда \[AH=\dfrac{25-x}2\]

Так как \(\sin\angle A=\frac{\sqrt{11}}6\), то \[\cos \angle A=\sqrt{1-\dfrac{11}{36}}=\dfrac56\] Следовательно, из \(\triangle ADH\): \[\dfrac56=\cos \angle A=\dfrac{AH}{AD}\quad\Rightarrow\quad x=20\]

Ответ: 20

Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ABC\):



Так как \(f'(x_0)\) равно тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс, то \(f'(x_0)=\mathrm{tg}\,\angle BAC\). Следовательно, \[f'(x_0)=\mathrm{tg}\,\angle BAC=\dfrac3{12}=\dfrac14=0,25\]

Ответ: 0,25

Найдем площадь поверхности большого прямоугольного параллелепипеда. Он имеет две грани с площадью \(4\cdot 5\), две грани с площадью \(4\cdot 2\) и две грани с площадью \(2\cdot 5\). Следовательно, площадь его поверхности равна \(2(4\cdot 5+4\cdot 2+2\cdot 5)=76\).
Из этого параллелепипеда вырезали прямоугольный параллелепипед с ребрами 1, 1 и 2. В результате этого площадь боковой поверхности уменьшилась на \(2\cdot (1\cdot 1)\) и увеличилась на \(4\cdot (1\cdot 2)\). Следовательно, площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, равна \[76-2+8=82\]

Ответ: 82

По формуле разности квадратов \(49a^2-9=(7a-3)(7a+3)\). Следовательно, выражение при всех \(a\ne -\frac37; \frac37\) можно переписать в виде: \[(7a-3)(7a+3)\cdot \dfrac{7a+3-(7a-3)}{(7a-3)(7a+3)}= (7a-3)(7a+3)\cdot \dfrac6{(7a-3)(7a+3)}=6\]

Ответ: 6

Из условия задачи следует, что \(T(t)\) должно быть не больше \(1720\), то есть, подставляя все данные из условия, получим следующее неравенство \[1300+98t-\dfrac{14}3t^2\leqslant 1720 \ \Big|\cdot \left(-\dfrac3{14}\right) \quad\Leftrightarrow\quad t^2-21t+90\geqslant 0\] Корнями многочлена \(t^2-21t+90\) являются \(t=6\) и \(t=15\). Следовательно, решением неравенства будут \(t\in (-\infty;6]\cup[15;+\infty)\).



Таким образом, наибольшее время, после которого нужно отключить прибор, равно \(6\) (мин).
Из решения неравенства следует, что после 6-ой минуты температура нагревательного элемента превысит 1720 К, то есть после 6-ой минуты нагревательный элемент уже испортился ! Именно поэтому мы выбираем ответ 6 минут.

Ответ: 6

Пусть \(x\) – цена рубашки, а \(y\) – цена куртки. Тогда стоимость 4 рубашек составляет \(0,96\%\) от стоимости куртки: \(4x=0,96y\).
Нужно найти \(6x\): \[6x=\dfrac32\cdot 4x=\dfrac32\cdot 0,96y=1,44y\] Следовательно, стоимость 6 рубашек составляет \(144\%\) от стоимости куртки, то есть дороже куртки на \(44\%\).

Ответ: 44

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно схематично изобразить график функции на этом отрезке.

1) Найдем производную. \[y'=75-3x^2\]

2) Найдем нули производной: \[75-3x^2=0\quad\Rightarrow\quad x=\pm 5\]

3) Найдем знаки производной на получившихся промежутках и изобразим схематично график функции:



Таким образом, мы видим, что на отрезке \([-5;5]\) функция \(y\) возрастает, следовательно, наименьшее значение на этом отрезке она принимает в точке \(x=-5\). Тогда \[y(-5)=13-5\cdot 75+5^3=-237\]

Ответ: -237

а) Так как \(\cos^2x=1-\sin^2x\), то уравнение можно переписать в виде: \[2^{\sin^2x}+2^{1-\sin^2x}=3\quad\Leftrightarrow\quad 2^{\sin^2x}+2\cdot 2^{-\sin^2x}=3\] Сделаем замену \(2^{\sin^2x}=t\), тогда \(2^{-\sin^2x}=\dfrac1t\). Заметим также, что \(t>0\).
Тогда: \[t+\dfrac 2t=3 \ \big|\cdot t\quad\Rightarrow\quad t^2-3t+2=0\] (имеем право умножать на \(t\), так как \(t\ne 0\))
По теореме Виета корнями данного уравнения будут числа \(2\) и \(1\). Следовательно:

1) \(2^{\sin^2x}=1\quad\Leftrightarrow\quad \sin^2x=0\quad\Leftrightarrow\quad x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\)  

2) \(2^{\sin^2x}=2\quad\Leftrightarrow\quad \sin^2x=1\quad\Leftrightarrow\quad \sin x=\pm 1\quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}2+\pi k, k\in\mathbb{Z}\).  

б) Отберем корни.   \(-\dfrac{5\pi}2\leqslant \pi n\leqslant -\pi \quad\Leftrightarrow\quad -2,5\leqslant n\leqslant -1\quad\Rightarrow\quad n=-2;-1\quad\Rightarrow\quad x=-2\pi; -\pi\)   \(-\dfrac{5\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}2+\pi k\leqslant -\pi\quad\Leftrightarrow\quad -3\leqslant k\leqslant -1,5\quad\Rightarrow\quad k=-3;-2\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{5\pi}2; -\dfrac{3\pi}2\)

Ответ:

а) \(\pi n, \dfrac{\pi}2+\pi k, n,k\in\mathbb{Z}\)

б) \(-\dfrac{5\pi}2; -2\pi; -\dfrac{3\pi}2; -\pi\)

а) Назовем плоскость из условия плоскостью \(\alpha\). Так как \(AD\parallel \alpha\), то плоскость \(\alpha\) пересечет плоскость \(AMD\) по прямой, параллельной \(AD\). Следовательно, проведем \(NP\parallel AD\).
Так как \(AD\parallel BC\) (потому что пирамида правильная, следовательно, в основании лежит квадрат), то \(BC\) также параллельна \(\alpha\). Следовательно, аналогично предыдущему рассуждению, проведем \(KS\parallel BC\).
Получили сечение \(NPSK\):



Из построения следует, что \(NP\parallel KS\), следовательно, сечение представляет собой трапецию.
Так как \(NP\parallel AD\), то по теореме Фалеса \(MP:PD=MN:NA=1:1\). Аналогично \(MS:SC=MK:KB=2:1\). Следовательно, так как грани \(AMB\) и \(DMC\) равны, то и отрезки \(NK\) и \(PS\) равны. Таким образом, трапеция \(NPSK\) равнобедренная, чтд.

б) Так как \(NP\parallel AD\), то \(\triangle NMP\sim \triangle AMD\) с коэффициентом подобия \(1:2\). Следовательно, \(NP=0,5AD=6\). Аналогично \(\triangle KMS\sim \triangle BMC\) с коэффициентом подобия \(2:3\). Следовательно, \(KS=\frac23BC=8\).
Найдем боковую сторону трапеции. Для этого рассмотрим боковую грань \(AMB\):



Так как все ребра пирамиды равны, то \(\triangle AMB\) равносторонний, следовательно, \(\angle M=60^\circ\).
\(MN=6, MK=8\). По теореме косинусов \[NK^2=6^2+8^2-2\cdot 6\cdot 8\cdot \cos 60^\circ=52\quad\Leftrightarrow\quad NK=2\sqrt{13}\] Теперь рассмотрим трапецию \(NPSK\):



Проведем высоту \(NH\). Тогда по свойству равнобедренной трапеции
\(KH=(8-6):2=1\). Следовательно, по теореме Пифагора \[NH=\sqrt{52-1}=\sqrt{51}\] Следовательно, площадь трапеции равна \[S=\dfrac{6+8}2\cdot \sqrt{51}=7\sqrt{51}\]

Ответ:

б) \(7\sqrt{51}\)

ОДЗ неравенства: \[\begin{cases} x^2-4>0\\ x+2>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x>2\] Решим неравенство на ОДЗ.
Пользуясь формулой \(a^{\log_bc}=c^{\log_ba}\), неравенство можно записать в виде: \[2^{\lg(x^2-4)}\geqslant 2^{\lg(x+2)}\] Так как основания \(2>1\), то неравенство можно переписать так (знак неравенства не сменится):\[\lg (x^2-4) \geqslant \lg(x+2)\] Так как снова основания логарифмов \(10>1\), то неравенство на ОДЗ равносильно \[x^2-4\geqslant x+2\quad\Leftrightarrow\quad (x+2)(x-2)-(x+2)\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x+2)(x-3)\geqslant 0\] Решением этого неравенства будут \(x\in (-\infty;-2]\cup[3;+\infty)\). Пересекая полученный ответ с ОДЗ, получим: \[x\in [3;+\infty)\]

Ответ:

\([3;+\infty)\)

а) Пусть \(BM=x\), тогда \(AC=3x\). Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины, то \(MB_1=0,5x\), следовательно, \(BB_1=1,5x\). Следовательно, \(AB_1=B_1C=BB_1=1,5x\). Следовательно, \(\triangle ABC\) прямоугольный с \(\angle B=90^\circ\).

б) Обозначим \(AB=2a\), \(BC=2b\).



Тогда по теореме Пифагора \[\begin{aligned} &AA_1^2=4a^2+b^2\\ &CC_1^2=a^2+4b^2 \end{aligned}\] Отсюда \(AA_1^2+CC_1^2=5(a^2+b^2)\).
Так как по теореме Пифагора из \(\triangle ABC\): \(4a^2+4b^2=12^2\), то \(a^2+b^2=36\). Следовательно, \[AA_1^2+CC_1^2=5(a^2+b^2)=5\cdot 36=180\]

Ответ:

б) 180

Из условия задачи следует, что в обоих случаях кредит будет гаситься аннуитетными платежами. Составим таблицу для каждого случая, делая все вычисления в тысячах рублей.
Случай, когда кредит взят на 4 года (пусть \(x\) – ежегодный платеж):
\(\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления }\% & \text{Долг после платежа} \\ \hline 1 & 1342& 1,2\cdot 1342&1,2\cdot 1342-x\\ \hline 2 & 1,2\cdot 1342-x& 1,2(1,2\cdot 1342-x)&1,2(1,2\cdot 1342-x)-x\\ \hline 3 & 1,2(1,2\cdot 1342-x)-x& 1,2(1,2(1,2\cdot 1342-x)-x)& 1,2(1,2(1,2\cdot 1342-x)-x)\\ && &-x\\ \hline 4 & 1,2(1,2(1,2\cdot 1342-x)& 1,2(1,2(1,2(1,2\cdot 1342-x)& 1,2(1,2(1,2(1,2\cdot 1342-x)\\ &-x)-x& -x)-x)&-x)-x)-x\\ \hline \end{array}\)   Так как в конце 4-ого года долг банку равен нулю, то получаем уравнение: \[1,2(1,2(1,2(1,2\cdot 1342-x)-x)-x)-x=0,\] которое, как известно для аннуитетных платежей, переписывается в удобном виде: \[1,2^4\cdot 1342-x(1,2^3+1,2^2+1,2+1)=0\] Случай, когда кредит взят на 2 года (пусть \(y\) – ежегодный платеж):
\(\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления }\% & \text{Долг после платежа} \\ \hline 1 & 1342& 1,2\cdot 1342&1,2\cdot 1342-y\\ \hline 2 & 1,2\cdot 1342-y& 1,2(1,2\cdot 1342-y)&1,2(1,2\cdot 1342-y)-y\\ \hline \end{array}\)   Аналогично получаем уравнение \[1,2(1,2\cdot 1342-y)-y=0\quad\Leftrightarrow\quad 1,2^2\cdot 1342-y(1,2+1)=0\] В первом случае клиент отдаст банку \(4x\) тыс. рублей, во втором случае – \(2y\) тыс. рублей. Нам нужно найти \(4x-2y\). Выразим из каждого уравнения \(x\) и \(y\), тогда: \[\begin{aligned} &4x-2y=4\cdot \dfrac{1,2^4\cdot 1342}{1,2^3+1,2^2+1,2+1}-2\cdot \dfrac{1,2^2\cdot 1342}{1,2+1}=\\[2ex] &=2\cdot 1,2^2\cdot 1342\cdot \left(\dfrac{2\cdot 1,2^2}{(1,2+1)(1,2^2+1)}-\dfrac1{2,2}\right)=\\[2ex] &=2\cdot 1,2^2\cdot 1342\cdot \dfrac{2,88-2,44}{2,2\cdot 2,44}=\\[2ex] &=\dfrac{2\cdot 12\cdot 12\cdot 1342\cdot 44}{22\cdot 244\cdot 10}=\\[2ex] &=316,8 \end{aligned}\] Мы получили ответ в тыс. рублей, следовательно, ответ: \(316\,800\) рублей.

Ответ: 316800

Перепишем систему в виде: \[\begin{cases} ax^2+2ax+a\leqslant x^2-4\\ ax^2+2ax+a\geqslant -2x-1 \end{cases}\] Рассмотрим три функции: \(y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2\), \(g=x^2-4\), \(h=-2x-1\). Из системы следует, что \(y\leqslant g\), но \(y\geqslant h\). Следовательно, чтобы система имела решения, график \(y\) должен находиться в области, которая задается условиями: “выше” графика \(h\), но “ниже” графика \(g\):



(будем называть “левую” область областью I, “правую” область – областью II)
Заметим, что при каждом фиксированном \(a\ne 0\) графиком \(y\) является парабола, вершина которой находится в точке \((-1;0)\), а ветви обращены либо вверх, либо вниз. Если \(a=0\), то уравнение выглядит как \(y=0\) и графиком является прямая, совпадающая с осью абсцисс.
Заметим, что для того, чтобы исходная система имела единственное решение, нужно, чтобы график \(y\) имел ровно одну общую точку с областью I или с областью II (это значит, что график \(y\) должен иметь единственную общую точку с границей одной из этих областей).

Рассмотрим по отдельности несколько случаев.

1) \(a>0\). Тогда ветви параболы \(y\) обращены вверх. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) касалась границы области I или границы области II, то есть касалась параболы \(g\), причем абсцисса точки касания должна быть \(\leqslant -3\) или \(\geqslant 2\) (то есть парабола \(y\) должна коснуться границы одной из областей, которая находится выше оси абсцисс, раз парабола \(y\) лежит выше оси абсцисс).



\(y'=2a(x+1)\), \(g'=2x\). Условия касания графиков \(y\) и \(g\) в точке с абсциссой \(x_0\leqslant -3\) или \(x_0\geqslant 2\): \[\begin{cases} 2a(x_0+1)=2x_0\\ a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \\ \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end{aligned}\end{gathered}\right. \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end{aligned}\end{gathered}\right.\\[1ex] a=\dfrac{x_0}{x_0+1}\\[1ex] x_0^2+5x_0+4=0 \end{cases}\] Из данной системы \(x_0=-4\), \(a=\frac43\).
Получили первое значение параметра \(a\).

2) \(a=0\). Тогда \(y=0\) и видно, что прямая имеет бесконечное множество общих точек с областью II. Следовательно, это значение параметра нам не подходит.

3) \(a<0\). Тогда ветви параболы \(y\) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку \(B\), причем, если парабола \(y\) будет иметь еще одну общую точку с прямой \(h\), то эта общая точка должна быть “выше” точки \(B\) (то есть абсцисса второй точки должна быть \(<1\)).



Найдем \(a\), при которых парабола \(y\) проходит через точку \(B\): \[-3=a(1+1)^2\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac34\] Убеждаемся, что при этом значении параметра вторая точка пересечения параболы \(y=-\frac34(x+1)^2\) с прямой \(h=-2x-1\) – это точка с координатами \(\left(-\frac13; -\frac13\right)\).
Таким образом, получили еще одно значение параметра.

Так как мы рассмотрели все возможные случаи для \(a\), то итоговый ответ: \[a\in \left\{-\dfrac34; \dfrac43\right\}\]

Ответ:

\(\left\{-\frac34; \frac43\right\}\)

а) Предположим, что существуют такие \(x,y\), что \(q:d=204\).
Рассмотрим самый простой случай, когда \(d=1\), то есть числа взаимно просты. Тогда \(q=204\).
Так как \(q\cdot d=x\cdot y\), то получаем: \(xy=204\).
Заметим, что \(204=2^2\cdot 3\cdot 17\). Следовательно, нужно составить из множителей \(2, 2, 3, 17\) такие числа \(x\) и \(y\), чтобы их НОД был равен \(1\), и они подходили в \(7x=16y-73\). Перебором убеждаемся, что подходят \(x=17\) и \(y=12\).
Ответ: да.

б) Выпишем решения уравнения \(7x=16y-73\) в натуральных числах. Выразим: \[x=\dfrac{16y-73}7=2y-10+\dfrac{2y-3}7\] Чтобы \(x\) был натуральным, как минимум нужно, чтобы \(\frac{2y-3}7\) было целым числом. Это возможно только тогда, когда \(2y-3\) делится без остатка на \(7\). Все возможные остатки при делении \(y\) на \(7\) – это \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\). Заметим, что нам подходит только случай, когда \(y\) при делении на \(7\) дает в остатке \(5\), то есть \(y=7k+5\) (\(k\geqslant 0\)). Тогда \[x=2(7k+5)-10+\dfrac{2(7k+5)-3}7=16k+1, k\geqslant 0\] Таким образом, решением уравнения \(7x=16y-73\) будут \(x=16k+1, y=7k+5\), \(k\geqslant 0\).

Предположим, что существуют такие \(x,y\), что \(q:d=2\).

1) Если \(d=1\), то \(q=2\). Следовательно, аналогично пункту а), \(2=q=xy\).
Заметим, что так как \(k\geqslant 0\), то \(xy\geqslant (0+1)(0+5)=5\). Следовательно, \(q\) не может быть равно \(2\). Получили противоречие.

2) Пусть \(d>1\). Следовательно, можно записать \(x=ds\), \(y=dr\) (\(s,r\) – натуральные). И тогда уравнение \(7x=16y-73\) перепишется как \(d(16r-7s)=73\). Тогда, так как \(d, r, s\) – натуральные числа, то \(73\) должно делиться на \(d\). Но \(73\) – простое число, и делится только на \(1\) или на \(73\). Следовательно, \(d=73\). Тогда \(16r-7s=1\). Полученное уравнение также можно решить в натуральных числах (аналогично пункту б)) и получить решения \(r=7p+4\), \(s=16p+9\), \(p\geqslant 0\).
Следовательно, \(x=73(16p+9)\), \(y=73(7p+4)\), \(p\geqslant 0\).
Тогда \(2\cdot 73^2=\frac qd\cdot d^2=qd=xy\).
Но \(xy\geqslant 73(0+9)\cdot 73(0+4)=73^2\cdot 9\cdot 4\), а это явно больше \(2\cdot 73^2\). Следовательно, также получили противоречие.
Ответ: нет.

в) Заметим, что в пункте б) мы доказали, что существует лишь два варианта, чему может быть равно \(d\): либо \(1\), либо \(73\). Причем:

1) если \(d=1\), то \(xy\geqslant 5\). Значит, \(q:d=q=xy\geqslant 5\), то есть минимальное значение для \(q:d=5\).

2) если \(d=73\), то \(xy\geqslant 73^2\cdot 9\cdot 4\). Значит, \(q:d=xy:d^2\geqslant73^2\cdot 9\cdot 4:73^2=36\). То есть минимальное значение для \(q:d\) равно \(36\).

Таким образом, мы видим, что минимально возможное значение для \(q:d\) равно \(5\).
Приведем пример.
Этот минимум мы получили из случая, когда \(d=1\) и \(x=16k+1\), \(y=7k+5\) при \(k=0\). Следовательно, пример: \(x=1, y=5\).

Ответ:

а) да

б) нет

в) 5