а) Решите уравнение \[2\cos^3x-\cos^2x+2\cos x-1=0\]
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[2\pi; \dfrac{7\pi}2\right]\).
а) Разложим на множители левую часть: \[\cos^2x(2\cos x-1)+(2\cos x-1)=0 \quad\Leftrightarrow\quad (2\cos x-1)(\cos^2x+1)=0\] Заметим, что вторая скобка никогда не может равняться нулю, так как \(\cos^2x\geqslant 0\), следовательно, \(\cos^2x+1\geqslant 1\). Тогда уравнение будет иметь решения тогда и только тогда, когда \[2\cos x-1=0\quad\Leftrightarrow\quad \cos x=\dfrac12\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm \dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\]
б) Отберем корни. \(2\pi \leqslant \dfrac{\pi}3+2\pi n\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac56\leqslant n\leqslant \dfrac{19}{12}\quad\Rightarrow\quad n=1\quad \Rightarrow\quad x=\dfrac{7\pi}3\) \(2\pi \leqslant -\dfrac{\pi}3+2\pi n\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac76\leqslant n\leqslant \dfrac{23}{12}\quad\Rightarrow\quad n\in \varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in \varnothing\)
Ответ:
а) \(\pm \dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\)
б) \(\dfrac{7\pi}3\)