Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

Реальные варианты ЕГЭ 2018

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты «Школково». СтатГрад. Москва. 11 октября 2017

Задание 1

а) Решите уравнение \[2\cos^3x-\cos^2x+2\cos x-1=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[2\pi; \dfrac{7\pi}2\right]\).

а) Разложим на множители левую часть: \[\cos^2x(2\cos x-1)+(2\cos x-1)=0 \quad\Leftrightarrow\quad (2\cos x-1)(\cos^2x+1)=0\] Заметим, что вторая скобка никогда не может равняться нулю, так как \(\cos^2x\geqslant 0\), следовательно, \(\cos^2x+1\geqslant 1\). Тогда уравнение будет иметь решения тогда и только тогда, когда \[2\cos x-1=0\quad\Leftrightarrow\quad \cos x=\dfrac12\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm \dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни.   \(2\pi \leqslant \dfrac{\pi}3+2\pi n\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac56\leqslant n\leqslant \dfrac{19}{12}\quad\Rightarrow\quad n=1\quad \Rightarrow\quad x=\dfrac{7\pi}3\)   \(2\pi \leqslant -\dfrac{\pi}3+2\pi n\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac76\leqslant n\leqslant \dfrac{23}{12}\quad\Rightarrow\quad n\in \varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in \varnothing\)

Ответ:

а) \(\pm \dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

б) \(\dfrac{7\pi}3\)

Задание 2

Все ребра правильной треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) имеют длину 6. Точки \(M\) и \(N\) – середины ребер \(AA_1\) и \(A_1C_1\) соответственно.

а) Докажите, что прямые \(BM\) и \(MN\) взаимно перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями \(BMN\) и \(ABB_1\).

а) Проведем \(BK\) – медиану в \(\triangle ABC\).



Так как \(\triangle ABC\) правильный, то \(BK\perp AC\). Также \(AA_1\perp (ABC)\), следовательно, \(AA_1\perp BK\). Таким образом, \(BK\) перпендикулярна двух пересекающимся прямым \(AC\) и \(AA_1\), следовательно, \(BK\perp (AA_1C_1)\). Тогда \(KM\) – проекция \(BM\) на плоскость \(AA_1C_1\).
Так как \(AA_1C_1C\) – квадрат и \(AK=AM=MA_1=A_1N\), то \(\angle AMK=\angle A_1MN=45^\circ\). Следовательно, \(\angle KMN=90^\circ\). Таким образом, проекция \(KM\) наклонной \(BM\) перпендикулярна \(MN\). Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах наклонная \(BM\) перпендикулярна \(MN\), чтд.

 

б) \(BM\) – линия пересечения плоскостей \(BMN\) и \(AA_1B_1\). \(MN\) – перпендикуляр к линии пересечения в плоскости \(BMN\). Следовательно, необходимо построить перпендикуляр к линии пересечения в плоскости \(AA_1B_1\), проходящий через точку \(M\).
Пусть \(P\) – такая точка на \(A_1B_1\), что \(\angle A_1MP=\angle ABM\).



Тогда \(\triangle ABM\sim \triangle A_1PM\). Следовательно, \(\angle A_1MP+\angle AMB=90^\circ\), то есть \(\angle PMB=90^\circ\). Таким образом, \(\angle PMN\) – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями \(BMN\) и \(AA_1B_1\).
Из подобия: \[\dfrac{AB}{A_1M}=2=\dfrac{AM}{A_1P}\quad\Rightarrow\quad A_1P=\dfrac12AM=\dfrac32\] Заметим, что в этом случае \(NP\perp A_1B_1\).
Действительно, если провести в \(\triangle A_1B_1C_1\) высоту \(C_1H\), то она будет и медианой, следовательно, \(A_1H=3\). Но тогда \(\triangle A_1HC_1\sim \triangle A_1PN\), следовательно, \(\angle A_1PN=90^\circ\).
Таким образом \(NP\), как и \(C_1H\), перпендикулярна плоскости \(AA_1B_1\). Следовательно, \(NP\perp MP\), следовательно, \(\triangle PMN\) прямоугольный.
\(MN=3\sqrt2\) из \(\triangle MA_1N\);
\(MP=\frac32\sqrt5\) из \(\triangle MA_1P\).
Следовательно, \[\cos \angle PMN=\dfrac{MP}{MN}=\dfrac{\sqrt{10}}4\]

Ответ:

б) \(\arccos \dfrac{\sqrt{10}}4\)

Задание 3

Решить неравенство \[\dfrac 6{x\sqrt3-3}+\dfrac{x\sqrt3-6}{x\sqrt3-9}\geqslant 2\]

Пусть \(x\sqrt3-3=t\). Тогда \[\dfrac 6t+\dfrac{t-3}{t-6}\geqslant 2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t^2-15t+36}{t(t-6)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-3)(t-12)}{t(t-6)}\leqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим \(0<t\leqslant 3\) или \(6<t\leqslant 12\). Следовательно, \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &0<x\sqrt3-3\leqslant 3\\ &6<x\sqrt3-3\leqslant 12\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sqrt3<x\leqslant 2\sqrt3\\ &3\sqrt3<x\leqslant 5\sqrt3 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Ответ:

\((\sqrt3;2\sqrt3]\cup(3\sqrt3;5\sqrt3]\)

Задание 4

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах этих окружностей равен диаметру наибольшей из окружностей.

б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны \(6\) и \(2\).

а) Рассмотрим чертеж:



Если две окружности касаются, то их центры и точка касания лежат на одной прямой. Следовательно, пусть \(K\) – точка касания первой и второй окружностей, \(N\) – второй и третьей, \(P\) – первой и третьей. Пусть \(H\) – точка касания третьей окружности и прямой \(O_1O_2\).
Следовательно, \(O_1P=R\) – радиус первой окружности. Тогда \(R=O_1P=O_1O_3+O_3N\). Также \(O_2N=O_2K\) – радиус второй окружности. Следовательно, \[O_1O_3+O_3O_2+O_2O_1=O_1O_3+O_3N+O_2N+O_2O_1=R+O_2K+O_2O_1=R+O_1K=R+R=2R\] Чтд.

 

б) Так как \(H\) – точка касания окружности и прямой, то \(O_3H\) – радиус третьей окружности и \(O_3H\perp O_1O_2\). Обозначим радиус третьей окружности за \(x\), \(O_1H=y\). Тогда из прямоугольного треугольника \(HO_3O_2\): \[(x+2)^2=x^2+(y+4)^2\quad\Rightarrow\quad (y+4)^2=4(x+1)\] Из прямоугольного треугольника \(HO_1O_3\) (так как \(O_1O_3=O_1P-O_3P=6-x\)): \[x^2+y^2=(6-x)^2\quad\Rightarrow\quad y^2=12(3-x)\] Выразим из первого полученного равенства \(12x\) и подставим во второе, получим уравнение: \[y^2+6y=0\] Из этого уравнения следует, что либо \(y=-6\), либо \(y=0\).
Если \(y=-6\), то это означает, что точка \(H\) лежит не слева, а справа от точки \(O_1\), причем совпадает с точкой \(K\) (так как \(O_1K=6\)), что невозможно.
Следовательно, \(y=0\), а это значит, что точки \(H\) и \(O_1\) совпадают. Значит, чертеж выглядит так:



Это значит, что радиус первой окружности есть диаметр третьей окружности, откуда заключаем, что \(x=3\).

Ответ:

б) 3

Задание 5

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на \(10\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж составит 1,5 млн рублей?

Пусть \(n\) – количество лет, на которое взят кредит. Из условия следует, что кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами. Следовательно, так как в первый год после начисления процентов долг составит \(9+0,1\cdot 9\) млн рублей, то выплата в первый год должна составить \(0,1\cdot 9+\dfrac9n\) млн рублей. Заметим, что при дифференцированных платежах первая выплата – наибольшая. Следовательно, \[0,1\cdot 9+\dfrac9n =1,5\quad\Leftrightarrow\quad n=15\] Таким образом, кредит взят на 15 лет. Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до начисления проц.} & \text{После начисления проц.} & \text{Выплата}\\ \hline 1 & 9 & 9+0,1\cdot 9 & 0,1\cdot 9+\frac9{15}\\ \hline 2 & 9-\frac9{15} & 9-\frac9{15}+0,1\cdot (9-\frac9{15}) & 0,1\cdot (9-\frac9{15})+\frac9{15}\\ \hline ... & ... & ... & ...\\ \hline 15 & \frac9{15} & \frac9{15}+0,1\cdot \frac9{15} & 0,1\cdot \frac9{15}+\frac9{15}\\ \hline \end{array}\]

Тогда общая сумма выплат равна \[0,1\cdot \left(9+9-\dfrac9{15}+\dots+\dfrac9{15}\right)+15\cdot \dfrac9{15}\] В скобках находится сумма арифметической прогрессии, где первый член равен \(9\), разность равна \(-\frac9{15}\), последний член равен \(\frac9{15}\), количество членов равно 15. Следовательно, \[0,1\cdot \dfrac{9+\frac9{15}}2\cdot 15+9=16,2\]

Ответ:

16,2 млн рублей

Задание 6

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[x^2-|x+a+3|=|x-a-3|-(a+3)^2\]

имеет единственное решение.

Перенесем все слагаемые в левую часть: \[x^2-|x+a+3|-|x-a-3|+(a+3)^2=0\] Рассмотрим функцию: \(f(x)=x^2-|x+a+3|-|x-a-3|+(a+3)^2\). Данная функция определена при всех \(x\in \mathbb{R}\) и является четной, так как \(f(x)=f(-x)\). Следовательно, для каждого \(x_0>0\), удовлетворяющего уравнению, существует также корень \(-x_0\), удовлетворяющий уравнению. Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень, его корнем должен быть только \(x=0\).
Подставим \(x=0\): \[-|a+3|-|-a-3|+(a+3)^2=0 \quad\Rightarrow\quad (a+3)^2-2|a+3|=0\] Сделав замену \(t=|a+3|\), сведем уравнение к виду \(t^2-2t=0\); корнями будут \(t=0\) и \(t=2\). Следовательно, \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &|a+3|=0\\ &|a+3|=2 \end{aligned} \end{gathered} \right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &a=-3\\ &a=-1\\ &a=-5 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Проверим, действительно ли при этих значениях \(a\) уравнение имеет только корень \(x=0\).
1) Подставим \(a=-3\): \[x^2-|x|-|x|=0 \quad\Leftrightarrow\quad x^2-2|x|=0\] Данное уравнение имеет корни: \(x=0; 2; -2\). Следовательно, \(a=-3\) не подходит.
2) Подставим \(a=-1\): \[x^2-|x+2|-|x-2|+4=0 \quad\Leftrightarrow\quad x^2+4=|x+2|+|x-2|\] Решим данное уравнение графически:



Убеждаемся, что уравнение действительно имеет ровно один корень.
3) Подставив \(a=-5\), получаем то же уравнение, что и при \(a=-1\).

 

Таким образом, окончательный ответ: \[a\in \{-5;-1\}\]

Ответ:

\(\{-5;-1\}\)

Задание 7

а) Можно ли число 2016 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
б) Можно ли число 197 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы четырех различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

а) Да, пример: \(2016=2007+9\).

 

б) Предположим, что \(197=A+B\), где \(A, B\) – различные натуральные числа, сумма цифр которых одинакова. Заметим, что по крайней мере одно из них точно не трехзначное (то есть однозначное или двузначное).

 

Предположим, что \(A\) – трехзначное, \(B\) – не более чем двузначное. Пусть \(A=100a_1+10a_2+a_3\), \(B=10b_2+b_3\). Тогда:
1-ый случай. \(a_1+a_2+a_3=b_2+b_3\), \(a_3+b_3=7\), \(a_2+b_2=9\), \(a_1=1\).
Если обозначить \(a_2+a_3=x, b_2+b_3=y\), сложить второе равенство с третьим, то получаем систему: \[\begin{cases} 1+x=y\\ x+y=16\end{cases}\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} y=x+1\\ 2x=15\end{cases}\] Но \(x\) – это сумма двух цифр, следовательно, она не может быть равна \(7,5\), следовательно, этот случай невозможен.
2-ой случай. \(a_1=1\), \(a_2+b_2=8\), \(a_3+b_3=17\). Рассуждая аналогично 1-ому случаю, получаем числа \(A=139\), \(B=58\).

 

в) Попытаемся найти пример, где \(A, B, C, D\) – не более чем двузначные числа (\(A+B+C+D=N\), ищем наименьшее \(N\)). Для удобства будем рассматривать однозначные числа как двузначные с количеством десятков, равным нулю.
Тогда \(A=\overline{a_1a_2}, B=\overline{b_1b_2}, C=\overline{c_1c_2}, D=\overline{d_1d_2}\).
Заметим, что если у каких-то двух чисел совпадает количество десятков, то, учитывая, что сумма цифр этих чисел должна быть одинаковой, у них должно совпадать и количество единиц. То есть эти числа будут равны. Что противоречит условию. Следовательно, у всех чисел количество десятков различно.
Чтобы сумма чисел \(A+B+C+D\) была минимальной, должна быть минимальна сумма количества десятков этих чисел. Набор для количества десятков с наименьшей суммой – это \(0,1,2,3\). Следовательно, пусть \(a_1=0, b_1=1, c_1=2, d_1=3\). Тогда мы получаем числа: \(\overline{0a_2}, \overline{1b_2}, \overline{2c_2}, \overline{3d_2}\).
В свою очередь, чтобы сумма этих чисел была минимальна, то должна быть минимальна сумма количества единиц. Это также числа \(0, 1, 2, 3\). Следовательно, получаем числа: \(03, 12, 21, 30\). Их сумма равна \(66\). Заметим, что сумма цифр у полученных четырех чисел одинакова, следовательно, они удовлетворяют условию.

Ответ:

а) да

б) да, 139 и 58

в) 66