Математика
Русский язык

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тригонометрические уравнения

Тригонометрическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в аргументе одной или нескольких тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, котангенс.

 

\(\bullet\) Стандартные тригонометрические уравнения:
\[\begin{array}{l|c|c} \hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\ \hline &&\\ \sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\arcsin a+2\pi n\\ &x=\pi -\arcsin a+2\pi m \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ , \ n,m\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline \end{array}\]  

\(\bullet\) Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов:
\[{\large{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&&\\[-17pt] & \quad 0 \quad (0^ \circ)& \quad \dfrac{\pi}6 \quad (30^\circ) & \quad \dfrac{\pi}4 \quad (45^\circ) & \quad \dfrac{\pi}3 \quad (60^\circ)& \quad \dfrac{\pi}2 \quad (90^\circ) \\ &&&&&\\[-17pt] \hline \sin & 0 &\frac12&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2&1\\[4pt] \hline \cos &1&\frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac12&0\\[4pt] \hline \mathrm{tg} &0 &\frac{\sqrt3}3&1&\sqrt3&\infty\\[4pt] \hline \mathrm{ctg} &\infty &\sqrt3&1&\frac{\sqrt3}3&0\\[4pt] \hline \end{array}}}\]  

\(\bullet\) Основные формулы приведения:

\[\begin{aligned} &\sin \left(\dfrac{\pi}2\pm x\right)=\cos x\\[2pt] &\sin (\pi\pm x)=\mp \sin x\\[2pt] &\cos \left(\dfrac{\pi}2 \pm x\right)=\pm \sin x\\[2pt] &\cos(\pi \pm x)=-\cos x \end{aligned}\]

Формулы приведения для тангенса и котангенса легко вывести, зная, что \[\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sin x}{\cos x} \quad \text{и} \quad \mathrm{ctg}\,x= \dfrac{\cos x}{\sin x}\]  

\(\bullet\) Четность косинуса и нечетность синуса, тангенса и котангенса:

\[\begin{aligned} \cos(-x)&=\cos x\\ \sin (-x)&=-\sin x\\ \mathrm{tg}\,(-x)&=-\mathrm{tg}\,x\\ \mathrm{ctg}\,(-x)&=-\mathrm{ctg}\,x \end{aligned}\]

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение \[\sin x=\dfrac{\sqrt2}2\]

В ответе укажите наименьший положительный корень, принадлежащий первой четверти, деленный на \(\pi\).

Добавить задание в избранное

Данное уравнение равносильно \[x_1=\dfrac{\pi}4+2\pi n\quad {\small{\text{и}}} \quad x_2=\dfrac{3\pi}4+2\pi m,\quad n,m\in\mathbb{Z}.\]


Видим, что в первой четверти лежит только серия \(x_1=\dfrac{\pi}4+2\pi n\). Найдем наименьший положительный корень, решив неравенство: \[\dfrac{\pi}4+2\pi n>0 \quad\Leftrightarrow\quad n>-\dfrac18 \quad\Rightarrow\] наименьшее целое \(n=0\), при котором получаем корень \(x=\dfrac{\pi}4\). Следовательно, в ответ запишем \(\dfrac{\pi}4\div \pi=\dfrac14=0,25.\)

Ответ: 0,25

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение \[\mathrm{tg}\, \dfrac x6=\sqrt3\]

В ответе укажите наименьший корень, принадлежащий отрезку \([0;2\pi]\), деленный на \(\pi\).

Добавить задание в избранное

Данное уравнение равносильно \[\dfrac x6=\dfrac{\pi}3+\pi n\quad\Leftrightarrow\quad x=2\pi+6\pi n, \qquad n\in\mathbb{Z}.\] Корни, принадлежащие отрезку \([0;2\pi]\), найдем, решив неравенство: \[0\leqslant 2\pi+6\pi n\leqslant 2\pi\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac13\leqslant n\leqslant 0\] Целое \(n\), принадлежащее отрезку \(\left[-\frac13;0\right]\), это \(n=0\). Следовательно, корень \(x=2\pi\). Следовательно, в ответ пойдет \(2\).

Ответ: 2

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение \[\mathrm{tg}\, \dfrac x3=1\]

В ответе укажите произведение наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней уравнения, деленное на \(\pi^2\).

Добавить задание в избранное

Данное уравнение равносильно \[\dfrac x3=\dfrac{\pi}4+\pi n\quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{3\pi}4+3\pi n, \qquad n\in\mathbb{Z}.\]

Найдем отрицательные корни уравнения, решив неравенство: \[\dfrac{3\pi}4+3\pi n<0\quad\Leftrightarrow\quad n<-\dfrac14\quad\Rightarrow\] наибольший отрицательный корень получается при \(n=-1\) и это \(x=-\dfrac{9\pi}4\).

 

Найдем положительные корни уравнения, решив неравенство: \[\dfrac{3\pi}4+3\pi n>0\quad\Leftrightarrow\quad n>-\dfrac14\quad\Rightarrow\] наибольший отрицательный корень получается при \(n=0\) и это \(x=\dfrac{3\pi}4\).

 

Тогда произведение, деленное на \(\pi^2\), равно \[-\dfrac{9\pi}4\cdot \dfrac{3\pi}4\div\pi^2=-\dfrac{27}{16}=-1,6875.\]

Ответ: -1,6875

Задание 4
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение \[\cos \dfrac x2=-1\]

В ответе укажите произведение наибольших двух отрицательных корней уравнения, деленное на \(\pi^2\).

Добавить задание в избранное

Данное уравнение равносильно \[\dfrac x2=\pi+2\pi n\quad\Leftrightarrow\quad x=2\pi+4\pi n, \qquad n\in\mathbb{Z}.\] Найдем отрицательные корни уравнения, решив неравенство: \[2\pi+4\pi n<0\quad\Leftrightarrow\quad n<-\dfrac12\quad\Rightarrow\] последние два отрицательных корня получаются при \(n=-2; \ -1\) и это \(x=-6\pi; \ -2\pi\). Следовательно, их произведение, деленное на \(\pi^2\), равно \(12\pi^2\div \pi^2=12.\)

Ответ: 12

Задание 5
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение \[\cos x=-1\]

В ответе укажите сумму наименьших трех положительных корней уравнения, деленную на \(\pi\).

Добавить задание в избранное

Данное уравнение равносильно \[x=-\pi+2\pi n, \qquad n\in\mathbb{Z}.\] Найдем положительные корни уравнения, решив неравенство: \[-\pi+2\pi n>0 \quad\Leftrightarrow\quad n>\dfrac12\quad\Rightarrow\] первые три положительных корня получаются при \(n=1; \ 2; \ 3\) и это \(x=\pi; \ 3\pi; \ 5\pi\). Следовательно, их сумма, деленная на \(\pi\), равна \(9\pi\div\pi=9.\)

Ответ: 9

Задание 6
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение \[\cos x=\dfrac12\]

В ответе укажите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения.

Добавить задание в избранное

Данное уравнение равносильно серии корней \[x_1=\dfrac{\pi}3+2\pi n\quad {\small{\text{и}}}\quad x_2=-\dfrac{\pi}3+2\pi m, \qquad n, m\in\mathbb{Z}.\] Найдем положительные корни уравнения, решив неравенства: \[\begin{aligned} \dfrac{\pi}3+2\pi n>0\quad&\Leftrightarrow\quad n>-\dfrac16\\[2ex] -\dfrac{\pi}3+2\pi m>0\quad&\Leftrightarrow\quad m>\dfrac16 \end{aligned}\] Следовательно, наименьшее подходящее целое \(n\) — это \(n=0\), при котором получается \(x=\dfrac{\pi}3\); наименьшее подходящее целое \(m\) – это \(m=1\), при котором получается \(x=\dfrac{5\pi}3\). Очевидно, что \(\dfrac{\pi}3<\dfrac{5\pi}3\).

 

Аналогично найдем наибольший отрицательный корень (он будет получаться из второй серии корней при \(m=0\)): \(x=-\dfrac{\pi}3\).

 

Тогда сумма наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней равна \(-\dfrac{\pi}3+\dfrac{\pi}3=0\).

Ответ: 0

Задание 7
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение \[\sin \alpha=1\]

В ответе укажите наименьший положительный корень уравнения, деленный на \(\pi\).

Добавить задание в избранное

Данное уравнение равносильно серии корней \[\alpha=\dfrac{\pi}2+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.\] Найдем положительные корни уравнения, решив неравенство: \[\dfrac{\pi}2+2\pi n>0\quad\Leftrightarrow\quad n>-\dfrac14 \quad\Rightarrow\] наименьшее подходящее целое \(n\) — это \(n=0\), при котором получается \(\alpha=\dfrac{\pi}2\).
Следовательно, в ответ пойдет \[\dfrac{\pi}2\div\pi=\dfrac12=0,5.\]

Ответ: 0,5