Математика
Русский язык

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи по теме «Прямоугольный параллелепипед»

\(\blacktriangleright\) Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками.
Другими словами, это прямая призма, основания которой – прямоугольники.
(эти определения эквивалентны).

 

Тогда:

 

1) противоположные грани равны между собой;

2) боковые ребра перпендикулярны основаниям, то есть являются высотами;

3) как следствие, формула для объема принимает вид: \({\Large{V=abc}}\), где \(a,\ b,\ c\) – три различных боковых ребра.

 

\(\blacktriangleright\) Диагональ прямоугольного параллелепипеда – это отрезок, соединяющий две противоположные (не лежащие в одной грани) вершины.

 

1) Все диагонали равны, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам;

2) Диагональ \(d\) можно найти по формуле: \({\Large{d^{\,2}=a^2+b^2+c^2}}\).

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Дан прямоугольный параллелепипед, стороны основания которого равны \(4\) и \(5\), а боковое ребро равно \(3\). Найдите наибольшую площадь его грани.

Добавить задание в избранное



Заметим, что все варианты для площадей его граней – это всевозможные попарные произведения чисел \(3,4,5\), то есть \(3\cdot 4\), \(4\cdot 5\) или \(3\cdot 5\). Среди этих произведений наибольшим является \(4\cdot 5=20\).

Ответ: 20

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Даны два прямоугольных параллелепипеда: ребра одного равны \(185\), \(185\) и \(37\); а ребра другого равны \(185, 37\) и \(37\). Во сколько раз объем первого параллелепипеда больше объема второго параллелепипеда?

Добавить задание в избранное



Отношение их объемов равно: \[\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{185\cdot 185\cdot 37}{185\cdot 37\cdot 37}= \dfrac{185}{37}=5.\]

Ответ: 5

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Даны два прямоугольных параллелепипеда: ребра одного равны \(a, b\) и \(b\), а ребра другого равны \(a, a\) и \(b\). На сколько площадь полной поверхности первого параллелепипеда больше, чем площадь поверхности второго параллелепипеда, если \(a=1000, b=1001\).

Добавить задание в избранное



Площадь полной поверхности первого параллелепипеда \[S_1=2(ab+b^2+ab)\] Площадь полной поверхности второго параллелепипеда \[S_2=2(ab+ab+a^2)\] Следовательно, \[S_1-S_2=2(b^2-a^2)=2(b-a)(b+a)=2(1001-1000)(1001+1000)=4002.\]

Ответ: 4002

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дар прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), причем \(AB=AD\). Во сколько раз объем пирамиды \(AA_1BD\) меньше объема этого параллелепипеда?

Добавить задание в избранное



Пусть \(AB=AD=x\), \(AA_1=y\). Тогда объем параллелепипеда равен \[V_{par}=x^2y.\] Так как \(S_{ABD}=0,5S_{ABCD}\) (потому что в основании лежит квадрат), то объем пирамиды \[V_{pir}=\dfrac13\cdot \dfrac12x^2\cdot y=\dfrac16x^2y.\] Следовательно, объем пирамиды в 6 раз меньше объема параллелепипеда.

Ответ: 6

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В прямоугольном параллелепипеде диагональ грани \(AA_1D_1D\) равна \(5\), а \(AB=2\sqrt6\). Найдите диагональ параллелепипеда.

Добавить задание в избранное


 

Так как параллелепипед прямоугольный, то все его грани – прямоугольники, а у прямоугольника обе диагонали равны. Следовательно, \(A_1D=AD_1\). Рассмотрим диагональ \(A_1D\) и диагональ параллелепипеда \(B_1D\). Треугольник \(A_1B_1D\) прямоугольный, так как ребро \(A_1B_1\) перпендикулярно грани \(AA_1D_1D\) (по определению прямоугольного параллелепипеда). Следовательно, гипотенуза \[B_1D=\sqrt{A_1B_1^2+A_1D^2}=\sqrt{5^2+(2\sqrt6)^2}=7.\]

Ответ: 7

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан прямоугольный параллелепипед с ребрами \(2, \ 3\) и \(6\). Найдите его диагональ.

Добавить задание в избранное

Пусть \(AB=2, AD=3 , AA_1=6\).


 

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника \(ABD\) (\(\angle A=90^\circ\)) имеем: \(BD^2=AB^2+AD^2\).

 

Из прямоугольного треугольника \(BB_1D\) (\(\angle B=90^\circ\)) по теореме Пифагора \(B_1D^2=BD^2+BB_1^2\).

 

Подставляя \(BD^2\) из первого равенства во второе, получим:

\[B_1D^2=AB^2+AD^2+BB_1^2=2^2+3^2+6^2=4+9+36=49 \quad \Leftrightarrow \quad B_1D=7.\]

Ответ: 7

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите объём фигуры, получившейся после удаления маленького прямоугольного параллелепипеда из большого.



Добавить задание в избранное

Объём оставшейся фигуры равен разности объёмов большого прямоугольного параллелепипеда (каким он был до удаления) и маленького (удалённого).

Таким образом, искомый объём равен \[0,8\cdot 1\cdot 1,2 - 0,3\cdot 0,5\cdot 0,55 = 0,8775\,.\]

Ответ: 0,8775

Учащимся старших классов будет полезно научиться решать задачи ЕГЭ на нахождение объема и других неизвестных параметров прямоугольного параллелепипеда. Опыт предыдущих лет подтверждает тот факт, что подобные задания являются для многих выпускников достаточно сложными.

При этом понимать, как найти объем или площадь прямоугольного параллелепипеда, должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи единого госэкзамена по математике.

Основные нюансы, которые стоит запомнить

  • Параллелограммы, из которых состоит параллелепипед, являются его гранями, их стороны — ребрами. Вершины этих фигур считаются вершинами самого многогранника.
  • Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Так как это прямой многогранник, то боковые грани представляют собой прямоугольники.
  • Так как параллелепипед — это призма, в основании которой находится параллелограмм, эта фигура обладает всеми свойствами призмы.
  • Боковые ребра прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны основанию. Следовательно, они являются его высотами.

Готовьтесь к ЕГЭ вместе со «Школково»!

Чтобы занятия проходили легко и максимально эффективно, выбирайте наш математический портал. Здесь вы найдете весь необходимый материал, который потребуется на этапе подготовки к единому государственному экзамену.

Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию, основные формулы и элементарные задачи с решением, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня.

Нужную базовую информацию вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Вы также можете сразу приступить к решению задач по теме «Прямоугольный параллелепипед» в онлайн-режиме. В разделе «Каталог» представлена большая подборка упражнений разной степени сложности. База заданий регулярно пополняется.

Проверьте, легко ли вы сможете найти объем прямоугольного параллелепипеда, прямо сейчас. Разберите любое задание. Если упражнение дается вам легко, переходите к более сложным задачам. А если возникли определенные сложности, рекомендуем вам планировать свой день таким образом, чтобы ваше расписание включало занятия с дистанционным порталом «Школково».