Найдите точку минимума функции
\(y = x\sqrt{x} - 1,5\ln x + 2\).
ОДЗ: \(x \geq 0\). Решим на ОДЗ:
1) \[y' = \sqrt{x} + \dfrac{x}{2\sqrt{x}} - 1,5\dfrac{1}{x}.\]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\sqrt{x} + \dfrac{x}{2\sqrt{x}} - 1,5\dfrac{1}{x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1,5}{x}(x\sqrt{x} - 1) = 0\] – при \(x\neq 0\), откуда находим \(x = 1\). Производная функции \(y\) не определена при \(x \leq 0\), но \(x < 0\) не входят в ОДЗ, а \(x = 0\) не является внутренней точкой ОДЗ. Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на ОДЗ:
3) Эскиз графика \(y\):
Таким образом, \(x = 1\) – точка минимума функции \(y\).
Ответ: 1