Математика
Русский язык

12. Исследование функций с помощью производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Поиск точек экстремума у смешанных функций

\(\blacktriangleright\) Смешанная функция — функция, для поиска производной которой нужно комбинировать знания из предыдущих подтем.

 

\(\blacktriangleright\) Все формулы:

 

1. Умножение функции на число: \[{\Large{(c\cdot f)'=c\cdot f'}}\]

 

2. Сумма или разность двух функций: \[{\Large{(f\pm g)'=f'\pm g'}}\]

 

3. Произведение двух функций: \[{\Large{(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'}}\]

 

4. Частное двух функций: \[{\Large{\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}}}\]

 

5. Сложная функция: \[{\Large{f'(t(x))=f'(t)\cdot t'(x)}}\]
\[\begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{1} & c & 0\\&&\\ \textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\ \textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\ \textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\ \textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf{8} & \cos x & -\sin x\\[1ex] \hline \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\ \textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\ \textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\ \textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[0.5ex] \hline \end{array}\]

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку минимума функции

\(y = x\sqrt{x} - 1,5\ln x + 2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \geq 0\). Решим на ОДЗ:

1) \[y' = \sqrt{x} + \dfrac{x}{2\sqrt{x}} - 1,5\dfrac{1}{x}.\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\sqrt{x} + \dfrac{x}{2\sqrt{x}} - 1,5\dfrac{1}{x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1,5}{x}(x\sqrt{x} - 1) = 0\] – при \(x\neq 0\), откуда находим \(x = 1\). Производная функции \(y\) не определена при \(x \leq 0\), но \(x < 0\) не входят в ОДЗ, а \(x = 0\) не является внутренней точкой ОДЗ. Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на ОДЗ:



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = 1\) – точка минимума функции \(y\).

Ответ: 1

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку минимума функции \(y = \dfrac{1}{2}\cdot\ln(x^2 + 10) + \dfrac{5}{x^2 + 10}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2x}{x^2 + 10} - \dfrac{10x}{(x^2 + 10)^2} = \dfrac{x^3}{(x^2 + 10)^2}\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{x^3}{(x^2 + 10)^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика:


 

Таким образом, \(x = 0\) – точка минимума функции \(y\).

Ответ: 0

Задание 3
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите точку локального минимума функции

\(y = \dfrac{xe^{-0,5x}}{x + 1}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq -1\). Решим на ОДЗ:

1) \[y' = \left(\dfrac{x}{x+1}\cdot e^{-0,5x}\right)' = \dfrac{1}{(x + 1)^2}e^{-0,5x} - 0,5e^{-0,5x}\dfrac{x}{x + 1} = \dfrac{e^{-0,5x}}{(x + 1)^2}(-0,5x^2 - 0,5x + 1).\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{e^{-0,5x}}{(x + 1)^2}(-0,5x^2 - 0,5x + 1) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad -0,5x^2 - 0,5x + 1 = 0\] – на ОДЗ (так как \(e^t > 0\) при любом \(t\)), откуда находим корни \(x_1 = -2, \ x_2 = 1\). Производная функции \(y\) не определена при \(x = -1\), но \(x = -1\) не входит в ОДЗ. Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = -2\) – точка локального минимума функции \(y\).

Ответ: -2

Задание 4
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите точку максимума функции \(y = x\cdot\dfrac{x + 2}{e^x} + \dfrac{1}{e^x}\) на промежутке \([0; 2]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1)

\[\begin{aligned} y' = &\dfrac{x + 2}{e^x} + x\cdot\dfrac{e^x - e^x(x + 2)}{e^{2x}} - \dfrac{1}{e^x} = \dfrac{x + 2}{e^x} + x\cdot\dfrac{1 - (x + 2)}{e^{x}} - \dfrac{1}{e^x} = \dfrac{1 -x^2}{e^x} \end{aligned}\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{1 -x^2}{e^x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x = -1\\ x = 1 \end{gathered} \right.\] Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом промежутке \([0; 2]\):


 

4) Эскиз графика на промежутке \([0; 2]\):


 

Таким образом, \(x = 1\) – точка максимума функции \(y\) на \([0; 2]\).

Ответ: 1

Задание 5
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите точку локального минимума функции

\(y = \dfrac{6e^x}{e + 1} - \ln((e^x + 1)^6)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(e^x + 1 > 0\) – верно при любом \(x\). Решим на ОДЗ:

Заметим, что \[\dfrac{6}{e + 1}\] – просто число, тогда:

1) \[y' = \left(\dfrac{6}{e + 1}e^x - \ln((e^x + 1)^6)\right)' = \dfrac{6e^x}{e + 1} - 6\dfrac{e^x}{e^x + 1} = 6e^x\left(\dfrac{1}{e + 1} - \dfrac{1}{e^x + 1}\right).\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[6e^x\left(\dfrac{1}{e + 1} - \dfrac{1}{e^x + 1}\right) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{e + 1} - \dfrac{1}{e^x + 1} = 0\] (так как \(e^x > 0\) при любом \(x\)), что равносильно \(\dfrac{e^x - e}{(e+1)(e^x+1)} = 0\), откуда находим \(x = 1\). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = 1\) – точка локального минимума функции \(y\).

Ответ: 1

Задание 6
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите точку максимума функции \(y = \dfrac{4x^3 + 5}{e^{2x}} + 10x\cdot\dfrac{x + 1}{e^{2x}}\) на промежутке \([-10; 3]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1)

\[\begin{aligned} y' = &\dfrac{12x^2\cdot e^{2x} - 2e^{2x}\cdot(4x^3 + 5)}{e^{4x}} + 10\cdot\dfrac{x + 1}{e^{2x}} + 10x\cdot\dfrac{e^{2x} - 2e^{2x}(x + 1)}{e^{4x}} =\\ = &-8\dfrac{x^2(x + 1)}{e^{2x}} \end{aligned}\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-8\dfrac{x^2(x + 1)}{e^{2x}} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x = -1\\ x = 0 \end{gathered} \right.\] Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом промежутке \([-10; 3]\):


 

4) Эскиз графика на промежутке \([-10; 3]\):


 

Таким образом, \(x = -1\) – точка максимума функции \(y\) на \([-10; 3]\).

Ответ: -1

Задание 7
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите точку локального минимума функции

\(y = (0,5x^2 - 3x)\ln x - 0,25x^2 + 3x + 2,718281828\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x > 0\). Решим на ОДЗ:

Заметим, что \(2,718281828\) – просто число, тогда:

1) \[y' = (x - 3)\ln x + (0,5x - 3) - 0,5x + 3 = (x - 3)\ln x.\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[(x - 3)\ln x = 0,\] откуда находим корни \(x_1 = 1,\ x_2 = 3\). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на ОДЗ:



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = 3\) – точка локального минимума функции \(y\).

Ответ: 3