Математика
Русский язык

Тренировочные варианты. Первая часть.

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты "Школково". Тренировочный вариант №4

Задание 1

Вика хочет купить билет в кино для себя и подруги. Один билет стоит \(500\) рублей, но при покупке сразу двух билетов предоставляется скидка \(3\%\) на оба билета. У Вики в кармане \(1200\) рублей. Все оставшиеся после покупки билетов деньги она хочет потратить на попкорн, одна пачка которого стоит \(30\) рублей. Сколько пачек попкорна сможет купить Вика?

На билеты Вика потратит с учётом скидки \(2\cdot 500\cdot (1 - 0,03) = 970\) рублей. Тогда на попкорн у неё остаётся \(1200 - 970 = 230\) рублей. Количество пачек попкорна, которое сможет купить Вика, равно округлённому в меньшую сторону частному чисел \(230\) и \(30\), то есть Вика сможет купить \(7\) пачек попкорна.

Ответ: 7

Задание 2

На плоскости \(Oxv\) показана взаимосвязь скорости \(v\) материальной точки и её положения \(x\). Определите наибольшую скорость, с которой точка может пройти положение \(x = 2\).

Для ответа на поставленный вопрос надо найти на данной кривой точку, у которой \(x = 2\). Таких точек две: \(P(2; 2)\) и \(Q(2; 4)\).



При этом скорость больше в точке \(Q\) (и равна она \(4\)).

Ответ: 4

Задание 3

В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) лежит на стороне \(AC\) (но не совпадает с точкой \(A\) или точкой \(C\)), причём \(CM = MB\). Кроме того, \(CB = MB\). Найдите сумму меньшего и большего углов треугольника \(ABC\). Ответ дайте в градусах.

Так как \(CM = MB = BC\), то треугольник \(MBC\) – равносторонний, тогда \(\angle MCB = 60^\circ\).

Так как сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), то угол, равный \(60^\circ\), не может быть большим и не может быть меньшим углом треугольника. Треугольник \(ABC\) не равносторонний (так как \(A\) не совпадает с \(M\)), причём \(\angle ACB = 60^\circ\), тогда один из углов \(A\) и \(B\) больше \(60^\circ\), а другой меньше \(60^\circ\). Таким образом, \[\angle A + \angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\] – искомая сумма углов.

Ответ: 120

Задание 4

Илья решает задачу по геометрии, в которой дан четырёхугольник \(ABCD\), причём \(AB = 5\), \(BC = 6\), \(CD = 4\), \(AD = 10\). В условии задачи сказано, что одна из вершин является центром некоторой окружности и Илья думает, какую вершину ему выбрать в качестве центра этой самой окружности.

Известно, что вероятность выбора каждой конкретной вершины пропорциональна сумме длин сторон четырёхугольника \(ABCD\), проходящих через эту вершину. Какова вероятность того, что Илья выберет вершину \(B\)?

Через вершину \(A\) проходят стороны \(AB\) и \(AD\), их сумма: \(AB + AD = 15\).

Через вершину \(B\) проходят стороны \(AB\) и \(BC\), их сумма: \(AB + BC = 11\).

Через вершину \(C\) проходят стороны \(BC\) и \(CD\), их сумма: \(BC + CD = 10\).

Через вершину \(D\) проходят стороны \(CD\) и \(DA\), их сумма: \(CD + DA = 14\).

Обозначим вероятность выбора вершины \(A\) через \(P(A)\) (для остальных вершин аналогично). Тогда по условию имеем: \[P(A) = 15k,\qquad P(B) = 11k,\qquad P(C) = 10k,\qquad P(D) = 14k\,,\] но \(P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 1\), тогда \(k = 0,02\), откуда находим: \(P(B) = 0,22\).

Ответ: 0,22

Задание 5

Решите уравнение \[3^{2x + 2} + 3^{x + 2} = 3^{2\log_3 2}\]

Данное уравнение можно переписать в виде \[3^{2(x + 1)} + 3\cdot 3^{x + 1} = 4\]

Пусть \(t = 3^{x + 1}\), \(t > 0\), тогда \[t^2 + 3t - 4 = 0\,,\] откуда \(t_1 = 1\), \(t_2 = -4\), но \(t > 0\), следовательно, подходит только \(t = 1\).

Тогда \(3^{x + 1} = 1 = 3^0\), что равносильно \(x + 1 = 0\), то есть \(x = -1\).

Ответ: -1

Задание 6

Радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\), равен \(R\). Большая сторона треугольника \(ABC\) равна \(10\), а \(\angle ABC = 150^\circ\). Найдите \(R\).

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тогда \(AC = 10\).

 

По теореме синусов \[2R = \dfrac{AC}{\sin \angle ABC} = \dfrac{10}{0,5} = 20\,,\] откуда \(R = 10\).

Ответ: 10

Задание 7

Найдите ординату точки касания графика функции \(y = \sin^2 x\) и прямой \(y = x + 0,5 - \dfrac{\pi}{4}\).

Если указанные графики касаются в точке \((x_0; y_0)\), то производные соответствующих функций равны в точке \(x_0\):

\[2\sin x_0\cdot \cos x_0 = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \sin 2x_0 = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad x_0 = \dfrac{\pi}{4} + \pi k, k\in\mathbb{Z}\]

При этом необходимо, чтобы при \(x = x_0\) значения соответствующих функций совпадали:

\[\sin^2 x_0 = x_0 + 0,5 - \dfrac{\pi}{4}\,,\]

но при \(x_0 = \dfrac{\pi}{4} + \pi k, k\in\mathbb{Z}\) имеем: \(\sin^2 x_0 = 0,5\), тогда \[0,5 = x_0 + 0,5 - \dfrac{\pi}{4}\,,\] куда подходит только \(x_0 = \dfrac{\pi}{4}\).

Таким образом, для касания указанных графиков в точке \((x_0; y_0)\) необходимо, чтобы было выполнено \(x_0 = \dfrac{\pi}{4}\). Но этого и достаточно, ведь при \(x_0 = \dfrac{\pi}{4}\) совпадают значения функций и их производных.

В итоге, \[y_0 = \sin^2 x_0 = 0,5\]

Ответ: 0,5

Задание 8

Про прямые круговые цилиндры \(C_1\) и \(C_2\) известно, что у \(C_1\) радиус основания в два раза больше, чем у \(C_2\), но у \(C_2\) высота в три раза больше, чем у \(C_1\). Найдите отношение объёма цилиндра \(C_2\) к объёму \(C_1\).

Обозначим высоту цилиндра \(C_1\) через \(h_1\), а высоту цилиндра \(C_2\) через \(h_2\). Обозначим радиус основания цилиндра \(C_1\) через \(r_1\), а радиус основания цилиндра \(C_2\) через \(r_2\). Тогда \[r_1 = 2r_2,\qquad h_2 = 3h_1\,.\]

Объём цилиндра \(C_1\) равен \(\pi {r_1}^2 h_1 = 4\pi {r_2}^2 h_1\), а объём цилиндра \(C_2\) равен \(3\pi {r_2}^2 h_1\), тогда \[\dfrac{V_{C_2}}{V_{C_1}} = \dfrac{3\pi {r_2}^2 h_1}{4\pi {r_2}^2 h_1} = 0,75\]

Ответ: 0,75

Задание 9

Найдите значение выражения \[\dfrac{a + 15}{ab + 30} + \dfrac{a^2 + 7}{a^b + b + 5}\] при \(a = \sqrt[3]{\pi}\), \(b = 2\).

Подставим \(b = 2\) в исходное выражение, учитывая, что \(a > 0\): \[\dfrac{a + 15}{2a + 30} + \dfrac{a^2 + 7}{a^2 + 7} = \dfrac{a + 15}{2(a + 15)} + 1 = 1,5\]

Ответ: 1,5

Задание 10

Рейтинг студентов некоторого университета вычисляется на основании показателей \(m\), \(n\), \(k\) по следующей формуле: \[\dfrac{m^2 + n^2 + 0,5\cdot mnk}{n + k}\,.\] Рейтинг Димы равен \(10\), а Тимур имеет следующие значения показателей: \(m = 10\), \(k = 3\). Какое минимальное значение показателя \(n\) может иметь Тимур, чтобы его рейтинг был не меньше, чем рейтинг Димы, если \(n \geqslant 0\)?

Подставим известные значения для вычисления рейтинга Тимура: \[\dfrac{100 + n^2 + 15n}{n + 3}\]

Полученная величина должна быть не меньше \(10\), причём \(n\geqslant 0\), следовательно, \(n + 3 > 0\), тогда \[\dfrac{100 + n^2 + 15n}{n + 3}\geqslant 10\qquad\Leftrightarrow\qquad n^2 + 5n + 70 \geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (n + 2,5)^2 + 63,75 \geqslant 0\,,\] что выполнено при всех \(n\). Таким образом, наименьшее допустимое значение \(n\) равно \(0\).

Ответ: 0

Задание 11

Илья решил в течение некоторого периода каждый день отжиматься в два раза больше, чем в предыдущий день. В четвёртый и последний день вместе он отжался в десять раз больше, чем в третий день. Сколько раз суммарно отжался Илья за этот период, если в первый день он отжался три раза?

В третий день Илья сделал \(3\cdot 2^{3 - 1} = 12\) отжиманий, а в четвёртый день он сделал \(3\cdot 2^{4 - 1} = 24\) отжимания. Так как в четвёртый и последний день вместе он отжался в десять раз больше, чем в третий день, то в четвёртый и последний день он отжался \(12\cdot 10 = 120\) раз, следовательно, в последний день он отжался \(120 - 24 = 96\) раз.

Пусть \(n\) дней длился период отжиманий Ильи, тогда \[3\cdot 2^{n - 1} = 96\qquad\Leftrightarrow\qquad 2^{n - 1} = 32\qquad\Leftrightarrow\qquad n = 6\,.\]

Суммарное количество отжиманий, сделанное Ильёй, равно \[3\cdot\dfrac{2^6 - 1}{2 - 1} = 189\,.\]

Ответ: 189

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции \(y = 3x^3e^{3x} + 2x^2e^{2x} + xe^{x}\) на отрезке \([0; 2]\).

Первый способ

\(y' = 9x^2e^{3x} + 9x^3e^{3x} + 4xe^{2x} + 4x^2e^{2x} + e^x + xe^x\)

Так как при любом \(x\in[0; 2]\) верно: \(e^x > 0\), \(e^{2x} > 0\), \(e^{3x} > 0\), \(x \geqslant 0\), \(x^2\geqslant 0\), \(x^3\geqslant 0\), то на \([0; 2]\) \(y' > 0\), следовательно на отрезке \([0; 2]\) функция \(y\) возрастает, тогда наименьшее значение она достигает при \(x = 0\): \[y(0) = 0\,.\]

Второй способ

При любом \(a > 0\) функция \(x^a\) возрастает на \([0; 2]\); 2) при любом \(b > 0\) функция \(e^{bx}\) возрастает на \([0; 2]\); 3) произведение возрастающих функций снова возрастающая функция; 4) сумма возрастающих функций снова возрастающая функция.

Из этих четырёх фактов следует, что данная в условии функция возрастает на \([0; 2]\), следовательно, наименьшее на \([0; 2]\) значение она принимает в левом конце этого отрезка, то есть её наименьшее значение равно \(y(0) = 0\).

 

Третий способ

Заметим, что функция является сложной относительно \(t(x)=x\cdot e^x\): \(y(t(x))=3t^3+2t^2+t\). Следовательно, ее производную можно искать как производную сложной функции: \[y'=(3t^3+2t^2+t)'_{t=x\cdot e^x}\cdot t'_x=(9t^2+4t+1)_{t=x\cdot e^x}\cdot (x\cdot e^x+e^x)= (9t^2+4t+1)_{t=x\cdot e^x}\cdot e^x(x+1)\] Заметим, что производная равна нулю тогда и только тогда, когда либо \(x+1=0\), либо \((9t^2+4t+1)_{t=x\cdot e^x}=0\) (т.к. \(e^x>0\) при всех \(x\)). Второе уравнение не имеет решений, т.к. дискриминант \(D<0\). Следовательно, имеем \[x+1=0\quad\Leftrightarrow\quad x=-1.\] Найдем знаки производной на отрезке \([0;2]\):


 

Следовательно, на отрезке \([0;2]\) функция \(y(x)\) возрастает, значит, наименьшее значение она принимает в начале отрезке. Тогда \[y_{\text{наим.}}(x)=y(0)=0.\]

Ответ: 0