Первый способ
\(y' = 9x^2e^{3x} + 9x^3e^{3x} + 4xe^{2x} + 4x^2e^{2x} + e^x + xe^x\)
Так как при любом \(x\in[0; 2]\) верно: \(e^x > 0\), \(e^{2x} > 0\), \(e^{3x} > 0\), \(x \geqslant 0\), \(x^2\geqslant 0\), \(x^3\geqslant 0\), то на \([0; 2]\) \(y' > 0\), следовательно на отрезке \([0; 2]\) функция \(y\) возрастает, тогда наименьшее значение она достигает при \(x = 0\): \[y(0) = 0\,.\]
Второй способ
При любом \(a > 0\) функция \(x^a\) возрастает на \([0; 2]\); 2) при любом \(b > 0\) функция \(e^{bx}\) возрастает на \([0; 2]\); 3) произведение возрастающих функций снова возрастающая функция; 4) сумма возрастающих функций снова возрастающая функция.
Из этих четырёх фактов следует, что данная в условии функция возрастает на \([0; 2]\), следовательно, наименьшее на \([0; 2]\) значение она принимает в левом конце этого отрезка, то есть её наименьшее значение равно \(y(0) = 0\).
Третий способ
Заметим, что функция является сложной относительно \(t(x)=x\cdot
e^x\): \(y(t(x))=3t^3+2t^2+t\). Следовательно, ее производную можно искать как производную сложной функции: \[y'=(3t^3+2t^2+t)'_{t=x\cdot e^x}\cdot t'_x=(9t^2+4t+1)_{t=x\cdot e^x}\cdot (x\cdot e^x+e^x)=
(9t^2+4t+1)_{t=x\cdot e^x}\cdot e^x(x+1)\] Заметим, что производная равна нулю тогда и только тогда, когда либо \(x+1=0\), либо \((9t^2+4t+1)_{t=x\cdot e^x}=0\) (т.к. \(e^x>0\) при всех \(x\)). Второе уравнение не имеет решений, т.к. дискриминант \(D<0\). Следовательно, имеем \[x+1=0\quad\Leftrightarrow\quad x=-1.\] Найдем знаки производной на отрезке \([0;2]\):
Следовательно, на отрезке \([0;2]\) функция \(y(x)\) возрастает, значит, наименьшее значение она принимает в начале отрезке. Тогда \[y_{\text{наим.}}(x)=y(0)=0.\]
Ответ: 0
