Математика
Русский язык

Тренировочные варианты "Школково". Уровень Максим Олегович

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Уровень Максим Олегович. Тренировочный вариант №4

Задание 1

Семён взял в кредит \(25000\) рублей на год под \(20\%\) годовых. Чтобы погасить кредит, он должен ежемесячно вносить одинаковую сумму денег так, чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить ежемесячно?

В итоге за год ему придётся выплатить \(25000 \cdot (1 + 0,2) = 30000\) рублей. Эту сумму следует выплачивать по \(30000 : 12 = 2500\) рублей в месяц.

Ответ: 2500

Задание 2

На рисунке показано изменение скорости ветра во время урагана. По вертикальной оси отложена скорость ветра в метрах в секунду, по горизонтальной – время с начала урагана в часах. Определите по рисунку разницу между максимальной и минимальной скоростями ветра за первые \(2\) часа после начала урагана. Ответ дайте в метрах в секунду.



По рисунку видно, что за первые \(2\) часа минимальная скорость ветра составляет \(9\, м/с\), а максимальная \(22\, м/с\). Разница: \(22 - 9 = 13\, м/с\).

Ответ: 13

Задание 3

В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна \(1,5\). Найдите длину \(BC\) если \(AD = 5\), \(BC > AD\).



Проведем \(PQ\) – среднюю линию трапеции (\(P\in AB, Q\in CD\)); следовательно, \(PQ\parallel AD\parallel BC\). Пусть она пересекла диагонали \(BD\) и \(AC\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Т.к. \(PM\parallel AD\), то \(M\) – середина \(BD\) (по теореме Фалеса). Аналогично \(N\) – середина \(AC\). Значит, \(MN\) – отрезок, соединяющий середины диагоналей, то есть из условия \(MN=1,5\).



\(PQ = PM + MN + NQ\). Так как средняя линия треугольника равна половине параллельной ей стороны, то \(PM = 0,5\cdot AD = NQ\) (последнее равенство из треугольника \(ACD\)), тогда \(PM = NQ = 2,5\).

 

В итоге \(PQ = PM + MN + NQ = 2,5 + 1,5 + 2,5 = 6,5\). Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований, тогда \(0,5(AD + BC) = 6,5\), откуда \(5 + BC = 13\), следовательно, \(BC = 8\).

Ответ: 8

Задание 4

Антон играет в компьютерную игру, которая заключается в том, что компьютер выдаёт ему натуральное число от \(1\) до \(N\). Если число чётное – Антон выиграл, если нечётное – выиграл компьютер. Антон знает, что вероятность выпадения любого чётного числа равна \(0,02\), а вероятность выпадения любого нечётного числа равна \(0,04\). Найдите \(N\).

Возможны два случая: \(1\)) \(N\) – чётное (\(N = 2n\)), \(2\)) \(N\) – нечётное (\(N = 2n + 1\)).

 

\(1\)) Чётных и нечётных чисел в игре одинаково и равно \(n\), тогда \(n\cdot 0,02 + n\cdot 0,04 = 1\) (так как вероятность того, что выпадет какое-то число от \(1\) до \(N\) равна \(1\)).
В итоге \(n\cdot 0,06 = 1\), но тогда \(n = \dfrac{50}{3}\) – не натуральное число, следовательно, случай \(1\)) не подходит.

 

\(2\)) Нечётных чисел в игре больше чем чётных на одно, тогда чётных чисел в игре \(n\), следовательно, \(n\cdot 0,02 + (n + 1)\cdot 0,04 = 1\) (так как вероятность того, что выпадет какое-то число от \(1\) до \(N\) равна \(1\)).
В итоге \(n\cdot 0,06 = 0,96\), тогда \(n = 16\), следовательно, \(N = 33\).

Ответ: 33

Задание 5

Найдите корень уравнения \[\mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{\pi}{6} x\biggr)} = \sqrt{3}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.

ОДЗ: \(\dfrac{\pi}{6} x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\). Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\mathrm{tg}\, x = a\) имеет вид: \(x = \mathrm{arctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{6} x = \dfrac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = 2 + 6n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный \(x = 2\).

Ответ: 2

Задание 6

Треугольники \(ABC\) и \(ADC\) имеют общее основание, \(\angle ABC = \angle ADC\), \(M\) – точка пересечения \(AD\) и \(BC\), \(AM = 10\), \(MD = 6\), \(BM = 8\). Найдите \(MC\).

Так как \(\angle ABC = \angle ADC\), то около четырёхугольника \(ABDC\) можно описать окружность. Покажем это:



\(\angle AMB\) и \(\angle DMC\) – вертикальные, тогда \(\angle AMB = \angle DMC\); \(\angle ABC = \angle ADC\), тогда треугольники \(ABM\) и \(DMC\) – подобны по двум углам, откуда получаем: \[\dfrac{AM}{MC} = \dfrac{BM}{MD},\] но углы \(BMD\) и \(AMC\) также вертикальные, тогда \(\angle BMD = \angle AMC\) и треугольники \(BMD\) и \(AMC\) – подобны, так как если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, а стороны, образующие этот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны.

 

Из подобия получаем: \(\angle CBD = \angle CAD\), \(\angle MCD = BAM\), тогда \(\angle ABC + \angle CBD + \angle ACB + \angle BCD = \angle ABC + \angle CAD + \angle ACB + \angle BAM = 180^{\circ}\), так как это сумма углов треугольника \(ABC\).

Если в выпуклом четырёхугольнике сумма противоположных углов равна \(180^{\circ}\), то около него можно описать окружность, тогда около \(ABDC\) можно описать окружность.

Так как произведение отрезков одной из пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой, то \(AM \cdot MD = BM \cdot MC\), то есть \(60 = 8\cdot MC\), откуда \(MC = 7,5\).

Ответ: 7,5

Задание 7

Прямые \(y = k_1x - \sqrt{2}\) и \(y = k_2x + \pi \sqrt{2}\) образуют с положительным направлением оси \(Ox\) углы \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно, при этом, \(k_2 = -k_1\), \(\sin \alpha = \dfrac{3}{\sqrt{10}}\). Найдите наибольший из коэффициентов \(k_1\) и \(k_2\).

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

 

Таким образом, \(k_1 = \mathrm{tg}\, \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\), при том, что \(\sin \alpha = \dfrac{3}{\sqrt{10}}\) и \(0 \leqslant \alpha < \pi\). Из основного тригонометрического тождества (для всякого \(\alpha\) выполнено \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)) получаем, что \(\cos^2 \alpha = \dfrac{1}{10}\), тогда \(\cos \alpha = \pm \dfrac{1}{\sqrt{10}}\), откуда либо \(k_1 = \dfrac{3}{\sqrt{10}} : \dfrac{1}{\sqrt{10}} = 3\), либо \(k_1 = \dfrac{3}{\sqrt{10}} : \left(-\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right) = -3\).

 

При условии \(k_2 = -k_1\) наибольший из коэффициентов \(k_1\) и \(k_2\) равен \(|k_1|\). При \(k_1 = 3\) и при \(k_1 = -3\) получаем \(|k_1| = 3\), тогда наибольший из коэффициентов \(k_1\) и \(k_2\) равен \(3\).

Ответ: 3

Задание 8

Радиусы оснований усечённого конуса равны \[r = \dfrac{2}{\sqrt[4]{2}\sqrt{\pi}}\qquad \text{и}\qquad R = \dfrac{10}{\sqrt[4]{2}\sqrt{\pi}},\] а угол между его образующей и основанием равен \(45^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности этого усечённого конуса.

Обозначим центры оснований усечённого конуса через \(A\) и \(E\), так что \(A\) – центр большего основания. Отметим на большем основании точку \(C\), а точку меньшего основания, через которую проходит образующая, выходящая из \(C\), обозначим через \(D\).


 

Высота \(AE\) и образующая \(CD\) лежат в одной плоскости. Обозначим точку их пересечения через \(B\).

Так как \(AE\) – высота, то \(AE\perp ED\) и \(AE\perp AC\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BAC\):
в нём \(\angle BCA = 45^\circ\), тогда \[AB = R = \dfrac{10}{\sqrt[4]{2}\sqrt{\pi}},\qquad\qquad BC = R\sqrt{2} = \dfrac{10\sqrt{2}}{\sqrt[4]{2}\sqrt{\pi}}.\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BED\):
так как \(\angle EBD = 45^\circ\), то \[BE = r = \dfrac{2}{\sqrt[4]{2}\sqrt{\pi}},\qquad\qquad BD = r\sqrt{2} = \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt[4]{2}\sqrt{\pi}},\] тогда \(EA = AB - BE = R - r\), \(DC = BC - BD = R\sqrt{2} - r\sqrt{2} = \sqrt{2}(R - r)\). \[S_{\text{бок}} = \pi(R + r)\cdot I,\] где \(I\) – образующая, тогда \[S_{\text{бок}} = \pi(R + r)\cdot\sqrt{2}(R - r) = \sqrt{2}\pi(R^2 - r^2) = \sqrt{2}\pi\left(\dfrac{100}{\sqrt{2}\pi} - \dfrac{4}{\sqrt{2}\pi}\right) = 96.\]

Ответ: 96

Задание 9

Найдите значение выражения \(u + v - 4w + 1\), если \(3u + w = 15, \ 6v - 26w = 36\).

\(3u + w = 15\) равносильно \(u = 5 - \dfrac{w}{3}\).

\(6v - 26w = 36\) равносильно \(v = 6 + \dfrac{13}{3}w\).

Тогда, подставив эти выражения в исходное, получим: \[u + v - 4w + 1 = 5 - \dfrac{w}{3} + 6 + \dfrac{13}{3}w - 4w + 1 = 12.\]

Ответ: 12

Задание 10

Высота сигнальной ракеты после выстрела и до падения менялась по закону \(h = 80t - 5t^2\), где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, отсчитываемое от момента выстрела. Сколько секунд с момента выстрела до момента падения сигнальная ракета находилась на высоте не более \(140\) метров?

Моменты \(t\), в которые сигнальная ракета находилась на высоте не более \(140\) метров, удовлетворяют двойному неравенству \[0 \leqslant 80t - 5t^2 \leqslant 140.\] Решим два неравенства по очереди.

Рассмотрим неравенство \(0 \leqslant 80t - 5t^2\). Оно равносильно неравенству \[5t^2 - 80t \leqslant 0,\] которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения \(5t^2 - 80t = 0\): \[t_1 = 0, \qquad\qquad t_2 = 16,\] тогда:



Тогда решениями этого неравенства будут \(t\in[0; 16]\).

Рассмотрим теперь неравенство \(80t - 5t^2 \leqslant 140\). Оно равносильно неравенству \(5t^2 -80t + 140 \geqslant 0\), что равносильно \[t^2 -16t + 28 \geqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \(t^2 -16t + 28 = 0\): \[t_1 = 2, \qquad\qquad t_2 = 14,\] тогда:



но с учётом того, что \(t \geqslant 0\) подходят только \(t\in[0; 2] \cup [14; +\infty)\).

В итоге, сигнальная ракета находилась на высоте не более \(140\) метров в моменты \(t\in[0; 2] \cup [14; 16]\), то есть в течение \((2 - 0) + (16 - 14) = 4\) секунд.

Ответ: 4

Задание 11

По параллельным путям в одном направлении едут скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно \(100\, км/ч\) и \(80\, км/ч\). Длина скорого поезда равна \(500\) метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое скорый поезд полностью прошёл мимо пассажирского, равно \(3\) минутам. Ответ дайте в метрах.

Скорость удаления поездов составляет \(100 - 80 = 20\, км/ч\). За \(3\) минуты скорый поезд проезжает на \(1\, км\) больше, чем пассажирский. Когда скорый поезд полностью проходит мимо пассажирского, он проходит расстояние, равное сумме их длин.

Тогда сумма длин поездов составляет \(1\, км\), а значит, длина пассажирского поезда равна \(1000 - 500 = 500\) метров.

Ответ: 500

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции

\(y = 3e^{\cos (3x) + 2\sin (3x) - \sqrt{5}}\).

Так как \(e^t\) возрастает, то наибольшее значение \(y\) достигает там же, где и \(\cos (3x) + 2\sin (3x) - \sqrt{5}\).

С помощью формулы для косинуса разности (формула вспомогательного аргумента) можно преобразовать \(\cos (3x) + 2\sin (3x)\) к более удобному виду:

 

\(\cos (3x) + 2\sin (3x) = \sqrt{5}\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\cos (3x) + \dfrac{2}{\sqrt{5}}\sin (3x) \right) = \\ = \sqrt{5}\left(\cos\left(\mathrm{arccos}\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)\right) \cdot \cos (3x) + \sin\left(\mathrm{arccos}\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)\right) \cdot \sin (3x) \right) = \\ = \sqrt{5}\cos\left(3x - \mathrm{arccos}\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)\right)\).

 

Наибольшее значение \(\sqrt{5}\cos\left(3x - \mathrm{arccos}\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)\right)\) равно \(\sqrt{5}\), значит наибольшее значение \(y\) равно \(3e^{\sqrt{5} - \sqrt{5}} = 3\).

Ответ: 3

Задание 13

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \sin^3{x} + (1 + \pi)\sin^2{x} + (\pi - 2)\sin{x} - 2\pi = 0 \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left(\dfrac{\pi}{3}; 4\pi \right)\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Данное уравнение является уравнением третьей степени относительно \(\sin{x}\). Сделаем замену \[\sin{x} = t.\]

В новых переменных уравнение примет вид:

\[\begin{aligned} t^3 + (1 + \pi)t^2 + (\pi - 2)t - 2\pi = 0. \end{aligned}\]

Можно угадать один из корней этого уравнения \(t = 1\). Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение \((t - 1)\) при помощи деления многочлена \(t^3 + (1 + \pi)t^2 + (\pi - 2)t - 2\pi\) на \((t - 1)\) столбиком: \[\begin{array}{rr|l} t^3+(1 + \pi)t^2+(\pi - 2)t-2\pi&&\negthickspace\underline{\qquad\quad t-1 \qquad\quad }\\ \underline{t^3 -\qquad\quad t^2} \phantom{00000000000000}&&\negthickspace \ t^2 + (2 + \pi)t + 2\pi\\[-3pt] (2+\pi)t^2 + (\pi - 2)t\,\phantom{0000}&&\\ \underline{(2+\pi)t^2 - (2 + \pi)t\,}\phantom{0000}&&\\[-3pt] 2\pi t - 2\pi&&\\ \underline{2\pi t - 2\pi}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Для дальнейшего разложения на множители необходимо найти корни квадратного уравнения \[t^2 + (2 + \pi)t + 2\pi = 0.\]

По теореме Виета сумма его корней равна \(-(2 + \pi)\), а их произведение равно \(2\pi\), откуда подбираются корни \(t_1 = -2, \ t_2 = -\pi\).

Таким образом,

\[\begin{aligned} & t^3 + (1 + \pi)t^2 + (\pi - 2)t - 2\pi = (t - 1)(t + 2)(t + \pi). \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, следовательно, корнями уравнения

\[\begin{aligned} & t^3 + (1 + \pi)t^2 + (\pi - 2)t - 2\pi = 0 \end{aligned}\]

являются \(t_1 = -2, \ t_2 = -\pi, t_3 = 1\).

 

Возвращаясь к старым переменным, находим, что корнями исходного уравнения являются те \(x\), при которых выполнено по крайней мере одно из условий: или \(\sin{x} = -2\), или \(\sin{x} = -\pi\), или \(\sin{x} = 1\).

Так как \(-1 \leqslant \sin{x}\leqslant 1\), то у уравнений \(\sin{x} = -2\) и \(\sin{x} = -\pi\) нет корней, тогда

\[\begin{aligned} \sin{x} = 1. \end{aligned}\]

Решения этого уравнения имеют вид \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[\dfrac{\pi}{3} < \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k < 4\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{2} + 2 k < 4\qquad\Leftrightarrow\] \[\Leftrightarrow \qquad \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} < 2 k < 4 - \dfrac{1}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{1}{12} < k < 1,75,\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда подходят только корни при \(k = 0\) и \(k = 1\): \(x_1 = \dfrac{\pi}{2}\), \(x_2 = \dfrac{5\pi}{2}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\dfrac{\pi}{2}\), \(\dfrac{5\pi}{2}\).

Задание 14

\(SABC\) – треугольная пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник \(ABC\) со сторонами \(10, 10\) и \(10\sqrt3\). Высота пирамиды равна \(10\) и падает в точку пересечения высот основания. Найдите угол между двумя равными гранями пирамиды.

1) Пусть \(AC=AB=10, BC=10\sqrt3, \ SO\) — высота пирамиды.

 

Заметим, что \(ABC\) – тупоугольный (из теоремы косинусов следует, что \(\cos \angle A<0\)). Следовательно, высоты треугольника пересекаются в одной точке, лежащей вне треугольника.

 

Две равные грани пирамиды – это \(SAC\) и \(SAB\). Проведем \(CH\perp SA\). Т.к. \(\triangle SAC = \triangle SAB \Rightarrow BH\perp SA\). Таким образом, \(\angle BHC=\angle \alpha\) – искомый угол между равными гранями.

 

Будем искать \(\angle \alpha\) из теоремы косинусов для \(\triangle BHC\) (у которого \(BH=CH\)). Для этого найдем \(CH\).


 

2) Пусть \(O\) – точка пересечения высот основания. По теореме косинусов для \(\triangle ABC\):

 

\(\cos\angle ABC=\dfrac{\sqrt3}{2} \Rightarrow \angle ABC=30^\circ\). Следовательно, \(\angle BCB_1=90^\circ-30^\circ=60^\circ\). Аналогично \(\angle CBC_1=60^\circ \Rightarrow \triangle OBC\) – равносторонний и \(OC=BC=10\sqrt3\).

 

По теореме Пифагора для \(\triangle SOC: \ SC=20\).

Т.к. для \(\triangle BOC \quad OA_1, BB_1, CC_1\) – медианы, то \(OA=2AA_1=10 \Rightarrow SA=10\sqrt2\).

 


 

3) Заметим, что \(\triangle SAC\) – тоже тупоугольный. Найдем \(CH\):

 

\(CH^2=CS^2 -SH^2 =CA^2-AH^2 \Rightarrow 400-(10\sqrt2+AH)^2=100-AH^2\) (т.к. ранее мы нашли \(CS=20, SA=10\sqrt2\), а \(AC=10\) по условию)

 

Значит, \(AH=\dfrac{5\sqrt2}{2} \Rightarrow CH=\dfrac{5\sqrt{14}}{2}\).

Тогда по теореме косинусов для \(\triangle BHC: \ \cos \alpha =-\dfrac{5}{7} \Rightarrow \angle (SAB, SAC) = \arccos \dfrac{5}{7}\) (т.к. угол между плоскостями – это острый или прямой угол).

Ответ:

\(\arccos \dfrac{5}{7}\)

Задание 15

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{(x + 11)} (x^2 + 3) \geqslant -\dfrac{1}{\log_{x} \sqrt{x + 11}} + \dfrac{1}{\log_{(x^2 - 1)}(x + 11)} \end{aligned}\]

ОДЗ: \[\begin{cases} x + 11 > 0\\ x + 11\neq 1\\ x^2 + 3 > 0\\ x > 0\\ x\neq 1\\ \sqrt{x + 11} > 0\\ \sqrt{x + 11} \neq 1\\ x^2 - 1 > 0\\ x^2 - 1\neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x > 1\\ x\neq\sqrt{2} \end{cases}\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &\log_{(x + 11)} (x^2 + 3) \geqslant -\log_{\sqrt{x + 11}}x + \log_{(x + 11)}(x^2 - 1)\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad\log_{(x + 11)} (x^2 + 3) - \log_{(x + 11)}(x^2 - 1) + \log_{\sqrt{x + 11}}x\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \log_{(x + 11)} \dfrac{x^2 + 3}{x^2 - 1} + \log_{\sqrt{x + 11}}x\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{(x + 11)} \dfrac{x^2 + 3}{x^2 - 1} + 2\log_{|x + 11|}x\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad\log_{(x + 11)} \dfrac{x^2 + 3}{x^2 - 1} + \log_{(x + 11)}x^2\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad\log_{(x + 11)} \dfrac{x^2(x^2 + 3)}{x^2 - 1}\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} &\log_{(x + 11)} \dfrac{x^2(x^2 + 3)}{x^2 - 1}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x + 11 - 1)\left(\dfrac{x^2(x^2 + 3)}{x^2 - 1} - 1\right) \geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad (x + 10)\cdot\dfrac{x^4 + 2x^2 + 1}{x^2 - 1} \geqslant 0\,. \end{aligned}\]

\[x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 \geqslant 0,\] тогда

\[\begin{aligned} (x + 10)\cdot\dfrac{x^4 + 2x^2 + 1}{x^2 - 1} \geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} \dfrac{x + 10}{x^2 - 1} \geqslant 0\\ x^2 + 1 = 0 \end{gathered} \right. \end{aligned}\]

но на ОДЗ (при \(x > 1\), \(x\neq\sqrt{2}\)) у выражения \(\dfrac{x + 10}{x^2 - 1}\) числитель и знаменатель не обращаются в \(0\), тогда оно знакопостоянно при при \(x > 1\), \(x\neq\sqrt{2}\).

Так как \[\dfrac{x + 10}{x^2 - 1} > 0\qquad \text{при}\qquad x = 2,\] то у исходного неравенства множество решений совпадает с его ОДЗ.

Ответ:

\((1; \sqrt{2})\cup(\sqrt{2}; +\infty)\)

Задание 16

\(ABCDE\) – выпуклый пятиугольник, про который известно, что \(\angle A\geqslant 120^\circ\), \(\angle B\leqslant 70^\circ\), \(\angle C\geqslant 130^\circ\).

а) Докажите, что около хотя бы одного из четырёхугольников \(ABCD\) и \(ACDE\) нельзя описать окружность.

б) Найдите \(AE\), если в \(ABCDE\) вписана окружность, касающаяся стороны \(AE\) в её середине, \(P_{ABCDE} = 10\), \(AB + CD + AE = 6,5\).

а) Если около четырёхугольника \(ABCD\) можно описать окружность, то она будет описанной и для треугольника \(ACD\).

Если около четырёхугольника \(ACDE\) можно описать окружность, то она будет описанной и для треугольника \(ACD\).

Так как около треугольника можно описать ровно одну окружность, то описанные около четырёхугольников \(ABCD\) и \(ACDE\) окружности должны совпасть, следовательно, тогда пятиугольник \(ABCDE\) также будет вписанным.

Таким образом, достаточно показать, что около \(ABCDE\) нельзя описать окружность.


 

Пусть пятиугольник \(ABCDE\) – вписанный, тогда

 

\(\angle A + \angle C = 0,5\cdot\smile BCE + 0,5\cdot\smile BAD = 0,5\cdot (\smile BCE+\smile BAE+\smile ED)=\)

 

\(=0,5\cdot (360^\circ + \smile DE)=180^\circ+0,5\cdot \smile DE,\)

 

где \(\smile DE\) отлична от \(\smile DCBAE\). Таким образом, \(\angle A + \angle C > 180^\circ\).

Аналогично для любых двух несмежных углов вписанного пятиугольника: их сумма больше \(180\) градусов.

По условию \(\angle A + \angle C \geqslant 250^\circ\), тогда \(\angle B + \angle D + \angle E\leqslant 290^\circ\), но \(\angle B\leqslant 70^\circ\), тогда \[2\angle B + \angle D + \angle E\leqslant 360^\circ.\]

Если бы около \(ABCDE\) можно было описать окружность, то было бы верно \(\angle B + \angle E > 180^\circ\) и \(\angle B + \angle D > 180^\circ\), тогда было бы \[\angle E + 2\angle B + \angle D > 360^\circ,\] что неверно для \(ABCDE\), следовательно, около \(ABCDE\) нельзя описать окружность, откуда следует, что около хотя бы одного из четырёхугольников \(ABCD\) и \(ACDE\) нельзя описать окружность.

 

б)

 

Пользуясь тем, что отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны, а окружность касается \(AE\) в середине, обозначим длины отрезков касательных, проведённых из точки \(A\), через \(a\), длины отрезков касательных, проведённых из точки \(B\), через \(b\) и т.д. \[P_{ABCDE} = 4a + 2b + 2c + 2d = 10,\] тогда \(2a + b + c + d = 5\).

\[AB + CD + AE = 3a + b + c + d = a + (2a + b + c + d) = a + 5 = 6,5,\] откуда \(a = 1,5\), следовательно, \(AE = 3\).

Ответ:

б) \(3\).

Задание 17

Определите, где выгоднее взять кредит: в банке А на \(4\) года под \(12,5\%\) годовых или в банке Б на \(2\) года под \(28\frac47\%\) годовых, если в обоих банках погашение кредита происходит раз в год после начисления процентов равными ежегодными платежами.
Сколько процентов от суммы кредита составляет переплата по выгодному кредиту? Результат округлите до целого числа.

а) Пусть необходимо взять кредит на сумму \(A\) рублей.

 

\(1\)) Составим таблицу для банка А, приняв за \(x\) ежегодный платеж. Заметим, что каждый год после начисления процентов долг будет составлять \(112,5\%\) от предыдущего долга, то есть будет увеличиваться в \(1,125\) раз. Также заметим, что \(1,125=\frac98\).

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Номер года}&\text{Долг после начисления }\%&\text{Долг после платежа}\\ \hline 1&\frac98A&\frac98A-x\\ \hline 2&\frac98\left(\frac98A-x\right)&\frac98\left(\frac98A-x\right)-x=\\ && \left(\frac98\right)^2A-x(\frac98+1)\\ \hline 3& \frac98\left(\frac98\left(\frac98A-x\right)-x\right)&\frac98\left(\frac98\left(\frac98A-x\right)-x\right)-x=\\ &&=\left(\frac98\right)^3A-x\left(\left(\frac98\right)^2+\frac98+1\right)\\ \hline 4&\frac98\left(\frac98\left(\frac98\left(\frac98A-x\right)-x\right)-x\right)& \left(\frac98\right)^4A-x\left(\left(\frac98\right)^3+\left(\frac98\right)^2+\frac98+1\right)\\ \hline \end{array}\]

В конце \(4\)-ого года (после платежа) долг выплачен полностью, то есть это значит, что

\[\left(\frac98\right)^4A-x\left( \left(\frac98\right)^3+\left(\frac98\right)^2+\frac98+1\right)=0,\]

откуда

\[\dfrac xA=\dfrac{\left(\textstyle{\frac98}\right)^4}{\left(\textstyle{\frac98}\right)^3+\left(\textstyle{\frac98}\right)^2+\textstyle{\frac98}+1}\]

Знаменатель представляет собой сумму первых \(4\) членов геометрической прогрессии, где \(a_1=1\), а \(q=\frac{9}{8}\). Применяя формулу суммы геометрической прогрессии, получим:

\[\dfrac xA=\dfrac{\left(\textstyle{\frac98}\right)^4\left(\textstyle{\frac98}-1\right)}{\left(\textstyle{\frac98}\right)^4-1}=\dfrac{9^4}{8(9^4-8^4)}\]

Тогда величина \(\dfrac{4x}A\) показывает, какую часть составляет общая сумма выплат \(4x\) по кредиту от самого кредита \(A\):

\[\dfrac{4x}A=\dfrac{4\cdot9^4}{8(9^4-8^4)}\]

\(2\)) Аналогично составим таблицу для банка Б (пусть \(y\) – ежегодный платеж), заметив, что \(100+28\frac47\%=\frac{900}7\%\), а \(0,01\cdot \frac{900}7=\frac97\):

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Номер года}&\text{Долг после начисления }\%&\text{Долг после платежа}\\ \hline 1&\frac97A&\frac97A-y\\ \hline 2&\frac97\left(\frac97A-y\right)&\left(\frac97\right)^2A-y(\frac97+1)\\ \hline \end{array}\]

Поступая аналогично первому пункту, найдем

\[\dfrac{2y}A=\dfrac{2\cdot 9^2}{7\cdot(9+7)}\]

Тот банк, в котором общая сумма выплат составляет меньшую часть от кредита, и является наиболее выгодным банком. Таким образом, нам необходимо сравнить два числа:

\[\dfrac{4\cdot9^4}{8(9^4-8^4)} \quad \text{и}\quad \dfrac{2\cdot 9^2}{7\cdot 16}\]

Выполним сравнение, не вычисляя данные выражения:

\[\begin{aligned} \dfrac{4\cdot 9^4}{8(9-8)(9+8)(9^2+8^2)} \quad &\lor \quad \dfrac{2\cdot9^2}{7\cdot 16}\\ \dfrac{4\cdot 9^2}{17\cdot 145} \quad &\lor \quad \dfrac{1}{7}\\ 4\cdot 81\cdot 7 \quad &\lor \quad 17\cdot 145\\ (4\cdot 7)\cdot 81 \quad &\lor \quad (17\cdot 5)\cdot 29 \end{aligned}\]

Заметим, что \(4\cdot 7=28<29, \quad 81<17\cdot 5=85\). Значит, правая дробь больше левой. Таким образом, кредит в банке А выгоднее кредита в банке Б.

 

б) Переплата по выгодному кредиту равна \(4x-A\). Значит, необходимо найти

\[\dfrac{4x-A}A\cdot 100\%=\left(\dfrac{4x}A-1\right)\cdot 100\%= \left(\dfrac{4\cdot9^4}{8(9^4-8^4)}-1\right)\cdot100\%= \dfrac{1631}{4930}\cdot 100\%=33,0...\%\]

После округления до целого числа получим \(33\%\).

Ответ:

\(33\%\)

Задание 18

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \[x^4+12|x-2|+9=\dfrac{7}{3}x^3 +x^2 +7|x-11a|\]

имеет более одного корня.

Перепишем уравнение в другом виде:
\[x^4-\dfrac{7}{3}x^3-x^2+9=7|x-11a|-12|x-2|\]
Пусть \(f(x)=x^4-\dfrac{7}{3}x^3-x^2+9, \ \ g(x)=7|x-11a|-12|x-2|\)

 

Изобразим графики обеих функций:

 

\(1\))\(f(x)=x^4-\dfrac{7}{3}x^3-x^2+9 \Longrightarrow f'(x)=4x^3-7x^2-2x\)

 

\[f'(x)=0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=-\dfrac{1}{4}\\ &x=0\\ &x=2 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

\(x=-\dfrac{1}{4}\) и \(x=2\) – точки минимума, \(x=0\) – точка максимума.

 

Причем \(f\left(-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{6895}{768}>f(2)=\dfrac{7}{3}\)

 

\(2\))\(g(x)=7|x-11a|-12|x-2|\)

 

Рассмотрим два случая:
\(2.1\)) \(x\geqslant 2\). Тогда \(|x-2|=x-2\). В этом случае вне зависимости от того, как раскроется модуль \(|x-11a|\), \(g(x)\) – линейная функция, коэффициент перед \(x\) у которой будет отрицательным (в точности, он будет равен \(-19\) или \(-5\)). Т.е. \(g(x)\) всегда убывает при \(x\geqslant 2\).

 

\(2.2\)) \(x<2\). Тогда \(|x-2|=-(x-2)\). В этом случае вне зависимости от того, как раскроется модуль \(|x-11a|\), \(g(x)\) – линейная функция, коэффициент перед \(x\) у которой будет положительным (в точности, он будет равен \(19\) или \(5\)). Т.е. \(g(x)\) всегда возрастает при \(x< 2\).

 

Таким образом, \(x=2\) – точка максимума (единственная) у функции \(g(x)\), причем \(g(2)=7|2-11a|\)


 

Уравнение будет иметь более одного корня, если \(g(2)>f(2)\).

 

Решая данное неравенство, получим \(a\in \left(-\infty; \dfrac{5}{33}\right)\cup \left(\dfrac{7}{33};+\infty\right)\).

Ответ:

\(a\in \left(-\infty; \dfrac{5}{33}\right)\cup \left(\dfrac{7}{33};+\infty\right)\).

Задание 19

Тимур придумал бесконечную последовательность действительных чисел, в которой первые \(10\) членов натуральные числа, а каждый член, начиная с третьего, равен остатку от деления предпредыдущего члена на предыдущий член, либо \(0\) (то есть, например, \(a_3\) равен остатку от деления \(a_1\) на \(a_2\), либо \(a_3 = 0\)).

а) Приведите пример такой последовательности.

б) Назовём периодом последовательности наименьшее натуральное число \(T\), такое что начиная с некоторого номера \(N\) для любого \(k\in\mathbb{N}\cup\{0\}\) выполняется \(a_{N + k} = a_{N + k + T}\). Найдите период последовательности Тимура.

а) Будем искать такую последовательность в виде \[A, A + B, A, B, A - B, 2B - A, 2A - 3B, 5B - 3A, 5A - 8B, 13B - 8A, ...\] (каждый последующий член равен разности двух предыдущих). Чтобы такая последовательность подходила под условие, необходимо и достаточно, чтобы

\[\begin{cases} A > B > A - B > 2B - A > 2A - 3B > 5B - 3A > 5A - 8B > 13B - 8A > 0\\ A, B\in\mathbb{N}. \end{cases}\]

Данная система эквивалентна системе

\[\begin{cases} \dfrac{21}{13}B < A < \dfrac{13}{8}B\\ A, B\in\mathbb{N}. \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} \dfrac{336}{208}B < A < \dfrac{338}{208}B\\ A, B\in\mathbb{N}. \end{cases}\]

Таким образом, можно взять, например, \(A = 337\), \(B = 208\). При этом получим последовательность

\[337, 545, 337, 208, 129, 79, 50, 29, 21, 8, ...\]

б) Если какой-то из членов последовательности равен \(0\), то начиная с него все члены последовательности равны \(0\) (так как результат деления на \(0\) не может совпасть ни с каким действительным числом).

Пусть никакой из членов последовательности не равен \(0\).

 

1) Пусть \(a_1 > a_2\). Так как остаток от деления не может быть больше делителя, то \(a_2 > a_3 > a_4 > ...\), то есть последовательность убывает.

При этом остатки от деления натуральных чисел будут натуральными числами (\(0\) мы запретили), то есть каждый следующий член последовательности будет натуральным числом, меньшим предыдущего по крайней мере на \(1\).

Тогда член последовательности с номером \(N = a_1\) должен быть натуральным числом, меньшим, чем \(a_1\) по крайней мере на \(N = a_1\), что невозможно.

 

2) Пусть \(a_2 > a_1\), тогда \(a_3 = a_1\) и этот пункт сводится к пункту 1) при помощи смены обозначений \(a_2 = b_1\), \(a_3 = b_2\), ..., \(a_{n + 1} = b_n\) и дословное повторение рассуждения для последовательности \(b_1, ..., b_n, ...\).

Таким образом, последовательностей, подходящих под условие, у которых никакой из членов не равен \(0\), не бывает. Тогда, начиная с некоторого номера, все члены последовательности Тимура равны \(0\) и, значит, \(T = 1\).

Ответ:

а) \(337, 545, 337, 208, 129, 79, 50, 29, 21, 8, ...\)

б) \(1\)