1 способ.
Рассмотрим \(f(x)=\sqrt{(x+8)^2+(x+2)^2}+\sqrt{(x+14)^2+(x+3)^2}\).
Тогда уравнение примет вид \(f(x)=13a\). Тогда нам нужно найти наименьшее значение \(a\), при котором прямая \(y=13a\) будет пересекать график \(y=f(x)\) хотя бы в одной точке. Исследуем \(f(x)\). Для этого найдем сначала ее производную: \[\begin{aligned}
&f'(x)=\dfrac{2(x+8)+2(x+2)}{2\sqrt{(x+8)^2+(x+2)^2}}+
\dfrac{2(x+14)+2(x+3)}{2\sqrt{(x+14)^2+(x+3)^2}}=\\[2ex]
&=\dfrac{2x+10}{\sqrt{(x+8)^2+(x+2)^2}}+
\dfrac{2x+17}{\sqrt{(x+14)^2+(x+3)^2}} \end{aligned}\] Найдем нули производной: \[\begin{aligned}
&\dfrac{2x+10}{\sqrt{(x+8)^2+(x+2)^2}}+
\dfrac{2x+17}{\sqrt{(x+14)^2+(x+3)^2}}=0 \quad\Leftrightarrow\\[2ex]
&\sqrt{\dfrac{(x+14)^2+(x+3)^2}{(x+8)^2+(x+2)^2}}=-\dfrac{2x+17}{2x+10}
\quad\Leftrightarrow\\[2ex]
&\begin{cases}
\dfrac{(x+14)^2+(x+3)^2}{(x+8)^2+(x+2)^2}=\left(\dfrac{2x+17}{2x+10}\right)^2
\qquad (*)\\[2ex]
\dfrac{2x+17}{2x+10}\leqslant 0\end{cases}
\quad\Leftrightarrow\\[2ex]
&\begin{cases} 85x^2+598x+424=0\\
x\in \left[-8,5; -5\right) \end{cases}
\quad\Leftrightarrow\\[2ex]
& x=-\dfrac{106}{17}
\end{aligned}\]
Определим знаки производной:

Следовательно, схематично график функции выглядит так:

Следовательно, наименьшее значение параметра \(a\) – когда прямая \(y=13a\) проходит через точку экстремума функции \(f(x)\): \[13a=f\left(-\dfrac{106}{17}\right)\quad\Leftrightarrow\quad
13a=13\quad\Leftrightarrow\quad a=1\]
2 способ.
Заметим, что в первом способе было очень много вычислений и на самом деле нам повезло, что при решении уравнения \((*)\) слагаемые с \(x^4\) и \(x^3\) взаимно уничтожились и мы пришли к квадратному уравнению. А что делать, если числа так хорошо не подобраны и мы не получим в конечном итоге “красивое” уравнение, которое сможем решить?
Давайте рассмотрим второй способ решения подобных уравнений.
Рассмотрим три точки: \(A(x;x)\), \(B(-8; -2)\), \(C(-14; -3)\). Тогда уравнение примет вид \[AB+AC=13a\] Если нам нужно найти наименьшее значение параметра \(a\), при котором уравнение имеет хотя бы одно решение, то нам нужно найти точку \(A\), при которой сумма длин отрезков \(AB\) и \(AC\) будет наименьшей.
Где располагается точка \(A\)? Эта точка “бегает” по прямой \(y=x\). Графически это выглядит так:

Здесь мы будем использовать классическую идею планиметрии. Отразим симметрично точку \(B\) относительно прямой \(y=x\) (то есть проведем \(BB'\perp y=x\), где \(BH=HB'\):

Тогда \(AB+AC=AB'+AC\). Заметим, что по правилу треугольника, если точка \(A\) не лежит на отрезке \(B'C\), то \(AB'+AC>B'C\). Следовательно, наименьшая сумма длин \(AB'+AC\) будет достигаться тогда, когда \(A\in
B'C\).

Таким образом, мы идейно поняли, где должна находиться точка \(A\). Теперь осталось найти ее координаты.
1) Найдем координаты точки \(B'\).
Для этого сначала найдем уравнение прямой \(BB'\). Так как \(BB'\perp
y=x\), то если уравнение прямой \(BB'\) имеет вид \(y=kx+b\), то \(k\cdot
1=-1\) (произведение угловых коэффициентов двух взаимно перпендикулярных прямых равно \(-1\)). Следовательно, \(y=-x+b\).
Для того, чтобы найти число \(b\), нужно подставить координаты точки \(B\) в уравнение прямой: \[-2=-1\cdot (-8)+b\quad\Leftrightarrow\quad b=-10\] Следовательно, уравнение прямой имеет вид \(y=-x-10\).
Найдем координаты точки \(H\) – это точка пересечения прямых \(y=x\) и \(y=-x-10\): \[\begin{cases} y=x\\ y=-x-10\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad
x=y=-5\quad\Rightarrow\quad H(-5;-5)\] \(H\) – середина отрезка \(BB'\). Значит, если координаты точки \(B'\) равны \((x_0;y_0)\), то \[\begin{cases}
-5=\dfrac{-8+x_0}2\\[2ex]
-5=\dfrac{-2+y_0}2\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}
x_0=-2\\
y_0=-8\end{cases}\] Таким образом, \(B'(-2;-8)\).
2) Найдем уравнение прямой \(B'C\). Если уравнение этой прямой в общем виде выглядит как \(y=mx+n\), то \[\begin{cases}
-8=-2m+n\\
-3=-14m+n\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}
m=-\dfrac5{12}\\[2ex] n=-\dfrac{53}6\end{cases}\] Следовательно, \(y=-\frac5{12}x-\frac{53}6\). Теперь можно найти координаты точки \(A\) – это точка пересечения прямых \(y=x\) и \(B'C\): \[\begin{cases}
y=x\\[2ex] y=-\frac5{12}x-\frac{53}6\end{cases}
\quad\Leftrightarrow\quad x=y=-\dfrac{106}{17}\]
3) Теперь можно найти значение параметра \(a\). \[13a=AB'+AC=13\quad\Rightarrow\quad a=1\]
Чем хорош этот способ? Во-первых, он более изящный. Во-вторых, в ходе решения мы сталкивались только с линейными уравнениями, которые решать намного проще.
Ответ:
\(a=1\)