Математика
Русский язык

11. Сюжетные текстовые задачи

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на движение по воде

Верны те же формулы: \[{\large{S=v\cdot t \quad \quad \quad v=\dfrac St \quad \quad \quad t=\dfrac Sv}}\]
\(\blacktriangleright\) Если тело движется по реке по течению:
\(v_c\) — собственная скорость тела (скорость в неподвижной воде);
\(v_t\) — скорость течения;
тогда скорость движения тела \(v=v_c+v_t\).
Значит, \[{\large{S=(v_c+v_t)\cdot t}}\]
\(\blacktriangleright\) Если тело движется по реке против течения:
\(v_c\) — собственная скорость тела (скорость в неподвижной воде);
\(v_t\) — скорость течения;
тогда скорость движения тела \(v=v_c-v_t\).
Значит, \[{\large{S=(v_c-v_t)\cdot t}}\]
\(\blacktriangleright\) Заметим, что плот — это тело, у которого собственная скорость \(v_c=0\). Значит, плот может плыть только по течению и со скоростью течения.

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Антон знает, что собственная скорость его лодки равна \(10\, км/ч\). При этом ему надо успеть проплыть \(25\, км\) за \(2\) часа. Плыть он будет по течению. Какой должна быть скорость течения реки, чтобы Антон успел? Ответ дайте в км/ч. Если в задаче может быть более одного ответа – выберите наименьший.

Добавить задание в избранное

Чтобы Антон успел, необходимо и достаточно, чтобы его лодка перемещалась со скоростью не меньше, чем \(25 : 2 = 12,5\, км/ч\). То есть для того, чтобы Антон успел, необходимо и достаточно, чтобы скорость течения была не меньше, чем \(2,5\, км/ч\).

Ответ: 2,5

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Лодка прошла \(10\, км\) по течению, а затем \(5\, км\) против течения. На весь путь лодка затратила \(3\, часа\). Найдите среднюю скорость лодки на описанном участке пути, если скорость течения равна \(2\, км/ч\). Ответ дайте в км/ч.

Добавить задание в избранное

Средняя скорость есть отношение всего пути ко времени, затраченному на этот путь. Независимо от скорости течения, средняя скорость лодки:\[v_{ср} = \dfrac{10 + 5}{3} = 5\, км/ч\,.\]

Ответ: 5

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Катер береговой охраны прошёл по течению реки Конго 120 км и вернулся обратно. Известно, что обратный путь занял на 1 час больше времени, а скорость катера в неподвижной воде равна 27 км/ч. Найдите скорость течения. Ответ дайте в км/ч.

Добавить задание в избранное

Пусть \(v\) км/ч – скорость течения, \(v > 0\), тогда

\(27 + v\) – скорость перемещения катера по течению,

\(27 - v\) – скорость перемещения катера против течения,

 

\(\dfrac{120}{27 + v}\) – время, затраченное катером на перемещение по течению,

 

\(\dfrac{120}{27 - v}\) – время, затраченное катером на перемещение против течения.

 

Так как время перемещения против течения на час больше, чем время по течению, то: \[\dfrac{120}{27 + v} + 1 = \dfrac{120}{27 - v}\qquad\Leftrightarrow\qquad v^2 + 240 v - 729 = 0\] – при \(v \neq \pm 27\), что равносильно \(v_1 = 3, v_2 = -243\), откуда получаем, что \(v = 3\) км/ч, так как \(v > 0\).

Ответ: 3

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Катер прошел 40 км по течению реки и 6 км против течения реки, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость катера в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч.

Добавить задание в избранное

Пусть \(x\) км/ч – скорость катера в стоячей воде. Тогда можно составить следующее уравнение: \[\dfrac{40}{x+2}+\dfrac 6{x-2}=3 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{46x-68}{x^2-4}=3 \quad\Rightarrow\quad 3x^2-46x+56=0\] Дискриминант равен \(D=4\cdot 361=(38)^2\), следовательно, корнями будут \(x_1=\dfrac43\) и \(x_2=14\). Так как скорость катера не может быть меньше скорости течения, то \(x_1\) не подходит. Следовательно, \(x=14\).

Ответ: 14

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

От пристани A в направлении пристани В с постоянной скоростью отправился первый теплоход. Через час после этого от пристани В в направлении пристани А отправился второй теплоход, причём скорость второго теплохода на 1 км/ч меньше, чем скорость первого. При этом скорость течения составляет 2 км/ч. Найдите скорость первого теплохода в неподвижной воде, если расстояние от А до В равно 120 км, а встретились теплоходы посередине между пристанями А и В. Ответ дайте в км/ч.

Добавить задание в избранное

Так как теплоходы встретились посередине, а время, затраченное на это теплоходом с меньшей скоростью в неподвижной воде, меньше, чем время теплохода с большей скоростью в неподвижной воде, то теплоход с большей скоростью в неподвижной воде плыл против течения, то есть течение направлено от В к А.

Пусть \(v\) км/ч – скорость первого теплохода в неподвижной воде, \(v > 0\), тогда

\(v - 2\) км/ч – скорость перемещения первого теплохода,

\((v - 1) + 2\) км/ч – скорость перемещения второго теплохода,

 

\(\dfrac{60}{v - 2}\) ч – время, затраченное первым теплоходом,

 

\(\dfrac{60}{v + 1}\) ч – время, затраченное вторым теплоходом.

 

Так как время, затраченное первым теплоходом, на час больше, то: \[\dfrac{60}{v - 2} - \dfrac{60}{v + 1} = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad v^2 - v - 182 = 0\] – при \(v \neq 2, v \neq -1\), откуда находим \(v_1 = 14, v_2 = -13\), значит, \(v = 14\) км/ч (т.к. \(v > 0\)).

Ответ: 14

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На озере расположены пристани А и В. Расстояние между пристанями равно 90 км. Моторная лодка проплыла от А до В с постоянной скоростью, после чего сразу отправилась обратно со скоростью на 5 км/ч больше прежней. На середине пути из В в А лодка замедлилась и поплыла со скоростью на 2,5 км/ч меньшей, чем по дороге из А в В. В результате лодка затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость лодки на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Добавить задание в избранное

Пусть \(v\) км/ч – скорость лодки по пути от А до В, тогда

 

\(\dfrac{90}{v}\) ч – время, затраченное лодкой на путь из А в В,

 

\(\dfrac{45}{v + 5}\) ч – время, затраченное лодкой на первую половину пути из В в А,

 

\(\dfrac{45}{v - 2,5}\) – время, затраченное лодкой на вторую половину пути из В в А.

 

Так как в итоге лодка проплыла из В в А за такое же время, как и из А в В, то: \[\dfrac{90}{v} = \dfrac{45}{v + 5} + \dfrac{45}{v - 2,5},\] откуда \(v = 10\) км/ч.

Ответ: 10

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Теплоход с туристами плыл из города А в город В. Его скорость в неподвижной воде была 12 км/ч. В городе В он сделал остановку продолжительностью 5 часов, после чего поплыл обратно в А. Скорость течения составляла 2 км/ч. В город А теплоход вернулся через 29 часов после отплытия из него. Найдите расстояние между А и В. Ответ дайте в километрах.

Добавить задание в избранное

Пусть \(S\) км – расстояние, которое проплыл теплоход по пути из А в В, тогда

 

\(\dfrac{S}{12 + 2}\) часов – время, которое теплоход плыл по течению,

 

\(\dfrac{S}{12 - 2}\) часов – время, которое теплоход плыл против течения,

 

плыл теплоход всего \(29 - 5 = 24\) часа, тогда:

\[\dfrac{S}{14} + \dfrac{S}{10} = 24,\] откуда находим \(S = 140\) км.

Ответ: 140