а) Решите уравнение \(\cos x+\sqrt
2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)=\sin 2x-1\).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{11\pi}2; -4\pi\right]\).
(ЕГЭ 2018, основная волна)
а) Воспользуемся формулой \(\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha\cos
\beta+\sin\beta\cos \alpha\): \[\begin{aligned}
&\cos x+\sqrt 2\left(\sin 2x\cdot \cos \dfrac{\pi}4+ \sin
\dfrac{\pi}4\cdot \cos 2x\right)=\sin 2x-1 \quad\Rightarrow\\[2ex]
&\cos x+\sqrt2 \left(\sin 2x\cdot \dfrac{\sqrt2}2+\cos 2x\cdot
\dfrac{\sqrt2}2\right)=\sin 2x-1\quad \Rightarrow\\[2ex]
&\cos x+\sin 2x+\cos 2x-\sin 2x+1=0\quad\Rightarrow\\[2ex]
&\cos x+(2\cos^2x-1)+1=0\quad\Rightarrow\quad 2\cos ^2x+\cos
x=0\quad\Rightarrow\\[2ex]
&\cos x(2\cos x+1)=0 \end{aligned}\]Таким образом, либо \(\cos x=0\), либо \(2\cos x+1=0\), откуда получаем серии решений:
\(x=\dfrac{\pi}2+\pi k, \ x=\pm \dfrac{2\pi}3+2\pi n, \
k,n\in\mathbb{Z}\).
б) Отберем корни.
\(-\dfrac{11\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}2+\pi k\leqslant -4\pi
\quad\Rightarrow\quad -6\leqslant k\leqslant
-4,5\quad\Rightarrow\quad k=-6; -5\quad\Rightarrow\quad
x=-\dfrac{11\pi}2; -\dfrac{9\pi}2\)
\(-\dfrac{11\pi}2\leqslant \dfrac{2\pi}3+2\pi n\leqslant -4\pi
\quad\Rightarrow\quad -\dfrac{37}{12}\leqslant n\leqslant
-\dfrac73\quad\Rightarrow\quad n=-3\quad\Rightarrow\quad
x=-\dfrac{16\pi}3\)
\(-\dfrac{11\pi}2\leqslant -\dfrac{2\pi}3+2\pi n\leqslant -4\pi
\quad\Rightarrow\quad -\dfrac{29}{12}\leqslant n\leqslant
-\dfrac53\quad\Rightarrow\quad n=-2\quad\Rightarrow\quad
x=-\dfrac{14\pi}3\)
Ответ:
а) \(\dfrac{\pi}2+\pi k, \pm \dfrac{2\pi}3+2\pi n, \ k,n\in\mathbb{Z}\)
б) \(-\dfrac{11\pi}2; -\dfrac{16\pi}3; -\dfrac{14\pi}3; -\dfrac{9\pi}2\)