Математика
Русский язык

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение уравнений в заданиях прошлых лет

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\dfrac1{\sin^2x}-\dfrac3{\cos \left(\dfrac{11\pi}2+x\right)}=-2\]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}2\right].\)

 

(ЕГЭ 2017, официальный пробный 21.04.2017)

Добавить задание в избранное

а) По формуле приведения \(\cos \left(\dfrac{11\pi}2+x\right)=\sin x\), следовательно, уравнение примет вид: \[\dfrac1{\sin^2x}-\dfrac3{\sin x}+2=0\]

Сделаем замену \(t=\dfrac1{\sin x}\), тогда \[t^2-3t+2=0 \quad\Rightarrow\quad t_1=1 \quad {\small{\text{и}}} \quad t_2=2.\] Следовательно, \(\sin x=1\), что равносильно \(x=\dfrac{\pi}2+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\);

 

\(\sin x=\dfrac12\), что равносильно \(x=\dfrac{\pi}6+2\pi k\) и \(x=\dfrac{5\pi}6+2\pi n\), \(k,n\in\mathbb{Z}\).

 

б) Отберем корни.

 

\(-2\pi \leqslant \dfrac{\pi}6+2\pi k\leqslant -\dfrac{\pi}2 \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{13}{12}\leqslant k\leqslant -\dfrac13\). Так как \(k\) – целое, то \(k=-1\), следовательно, \(x=-\dfrac{11\pi}6\).  

\(-2\pi \leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi n\leqslant -\dfrac{\pi}2 \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{17}{12}\leqslant n\leqslant -\dfrac23\). Так как \(n\) – целое, то \(n=-1\), следовательно, \(x=-\dfrac{7\pi}6\).  

\(-2\pi \leqslant \dfrac{\pi}2+2\pi m\leqslant -\dfrac{\pi}2\quad\Rightarrow\quad -\dfrac54\leqslant m\leqslant -\dfrac12\). Так как \(m\) – целое, то \(m=-1\), следовательно, \(x=-\dfrac{3\pi}2.\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}6+2\pi k; \dfrac{5\pi}6+2\pi n; \dfrac{\pi}2+2\pi m; \ k,n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{11\pi}6; -\dfrac{3\pi}2; -\dfrac{7\pi}6\)

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\log^2_2x^2-16\log_2(2x)+31=0\]

б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку \([3;6].\)

 

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ уравнения: \(x^2>0\) и \(2x>0\), то есть \(x>0\).
Решим на ОДЗ.
Заметим, что \(\log_2(2x)=1+\log_2x\), \(\log^2_2(x^2)=(\log_2x^2)^2=(2\log_2|x|)^2\), что равно \(4(\log_2x)^2\) на ОДЗ. Следовательно, после замены \(\log_2x=t\) уравнение примет вид \[4t^2-16(1+t)+31=0 \quad\Leftrightarrow\quad 4t^2-16t+15=0 \quad\Leftrightarrow\quad 4t^2-16t+16=1\quad\Leftrightarrow\quad 4(t-2)^2=1\] Следовательно, \[t-2=\pm \dfrac12\quad\Rightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &t=\dfrac52\\[2ex] &t=\dfrac32 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\log_2x=\dfrac52\\[2ex] &\log_2x=\dfrac32 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=2^{\frac52}=2^{2+\frac12}=4\sqrt2\\[1ex] &x=2^{\frac32}=2\sqrt2 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad\] Заметим, что оба корня подходят по ОДЗ.

 

б) Так как \(1,4<\sqrt2<1,5\), то \(5,6<4\sqrt2<6\) и \(2\sqrt2<3\), следовательно, в отрезок \([3;6]\) входит только корень \(x=4\sqrt2\).

Ответ:

а) \(2\sqrt2; 4\sqrt2\)

б) \(4\sqrt2\)

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\log_3(x^2-24x)=4\]

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку \([\log_2(0,1); 12\sqrt5].\)

 

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ уравнения: \(x^2-24x>0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;0)\cup (24;+\infty)\).
Решим уравнение на ОДЗ. \[x^2-24x=3^4 \quad\Leftrightarrow\quad x^2-24x-81=0 \quad\Leftrightarrow\quad x_1=-3\quad {\small{\text{или}}}\quad x_2=27\] Заметим, что оба корня подходят по ОДЗ.

 

б) Так как \(\log_2(0,1)=-\log_210\) и \(3=\log_28<\log_210<\log_216=4\), то \(-4<\log_2(0,1)<-3\).
Так как \(\sqrt5>2\), то \(12\sqrt5>24\). Следовательно, корень \(x_1=-3\) принадлежит отрезку \([\log_2(0,1);12\sqrt5].\)
Проверим, принадлежит ли отрезку \([\log_2(0,1);12\sqrt5]\) корень \(x_2=27\). Для этого сравним \(12\sqrt5\) и \(27\): \[\begin{aligned} 12\sqrt5 \quad &\lor \quad 27\\ 4\sqrt5\quad &\lor \quad 9\\ 80\quad&\lor\quad 81 \end{aligned}\] Таким образом, \(12\sqrt5<27\). Следовательно, корень \(x_2=27\) не принадлежит отрезку \([\log_2(0,1);12\sqrt5]\).

Ответ:

а) \(-3; 27\)

б) \(-3\)

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\log_4(2^{2x}-\sqrt3\cos x-\sin2x)=x\]

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{\pi}2;\dfrac{3\pi}2\right].\)

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ уравнения: \(2^{2x}-\sqrt3\cos x-\sin2x>0\). Решим уравнение на ОДЗ. Его можно преобразовать: \[\begin{aligned} &2^{2x}-\sqrt3\cos x-\sin2x=4^x \ (*)\quad\Rightarrow\quad -\sqrt3\cos x-\sin2x=0 \quad\Rightarrow\\[1ex] &\Rightarrow\quad 2\sin x\cos x+\sqrt3\cos x=0\quad\Rightarrow\quad \cos x(2\sin x+\sqrt3)=0\end{aligned}\] Решениями данного уравнения будут \(\cos x=0\) и \(\sin x=-\dfrac{\sqrt3}2\): \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}2+\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=-\dfrac{\pi}3+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=-\dfrac{2\pi}3+2\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Проверим, подходят ли эти корни под ОДЗ. Так как эти корни получились из уравнения \((*)\), а \(4^x>0\) при всех \(x\), то при подстановке данных корней в уравнение левая часть \((*)\) также будет всегда \(>0\). А это и есть ОДЗ. Следовательно, все корни удовлетворяют ОДЗ.

 

б) Отберем корни. \[\begin{aligned} &-\dfrac{\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}2+\pi n\leqslant \dfrac{3\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad -1\leqslant n\leqslant 1\quad\Rightarrow \quad n=-1; 0; 1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}2; \dfrac{\pi}2; \dfrac{3\pi}2\\[2ex] & -\dfrac{\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}3+2\pi m\leqslant \dfrac{3\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac1{12}\leqslant m\leqslant \dfrac{11}{12}\quad\Rightarrow\quad m=0\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}3\\[2ex] &-\dfrac{\pi}2\leqslant -\dfrac{2\pi}3+2\pi k\leqslant \dfrac{3\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac1{12}\leqslant k\leqslant \dfrac{13}{12}\quad\Rightarrow\quad k=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{4\pi}3 \end{aligned}\]

Ответ:

а) \(x=\dfrac{\pi}2+\pi n, -\dfrac{\pi}3+2\pi m, -\dfrac{2\pi}3+2\pi k, n,m,k\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{\pi}2; -\dfrac{\pi}3; \dfrac{\pi}2; \dfrac{4\pi}3; \dfrac{3\pi}2\)

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[2\log^2_2(2\sin x)-7\log_2(2\sin x)+3=0\]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\dfrac{\pi}2; 2\pi\right].\)

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ уравнения: \(\sin x>0\). Сделаем замену \(\log_2(2\sin x)=t\). Тогда уравнение примет вид: \[2t^2-7t+3=0\] Его корнями будут \(t_1=3\) и \(t_2=\frac12\). Сделаем обратную замену:   \(\bullet\) \(\log_2(2\sin x)=3\quad\Rightarrow\quad \sin x=4\). Данное уравнение не имеет решений.   \(\bullet\) \(\log_2(2\sin x)=\frac12\quad\Rightarrow\quad \sin x=\frac{\sqrt2}2\quad\Rightarrow\quad \) \(x_1=\dfrac{\pi}4+2\pi n \ \) и \( \ x_2=\dfrac{3\pi}4+2\pi k\), \(n,k\in\mathbb{Z}\).  

б) Отберем корни: \[\begin{aligned} &\dfrac{\pi}2\leqslant x_1\leqslant 2\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac18\leqslant n\leqslant \dfrac78\quad\Rightarrow\quad n\in\varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in \varnothing\\[2ex] & \dfrac{\pi}2\leqslant x_2\leqslant 2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac 18\leqslant k\leqslant \dfrac58\quad\Rightarrow\quad k=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{3\pi}4\end{aligned}\]

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}4+2\pi n; \ \dfrac{3\pi}4+2\pi k; \ k,n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{3\pi}4\)

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[{\large{16^{\sqrt3\sin x}=\left(\dfrac14\right)^{2\sin 2x}}}\]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi; \dfrac{7\pi}2\right].\)

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

а) Так как \(\frac14=4^{-1}\) и \(16=4^2\), то уравнение перепишется: \[\begin{aligned} &4^{2\sqrt3\sin x}=4^{-2\sin 2x}\quad\Leftrightarrow\quad 2\sqrt3\sin x=-2\sin 2x\quad\Leftrightarrow\quad \sqrt3\sin x=-2\sin x\cos x\quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\sin x\cdot (\sqrt3+2\cos x)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered} \sin x=0\\[1ex] \cos x=-\dfrac{\sqrt3}2\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered} x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] x=\pm \dfrac{5\pi}6+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\end{gathered}\right.\end{aligned}\]

б) Отберем корни.
\[\begin{aligned} &2\pi \leqslant \pi n\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad 2\leqslant n\leqslant \dfrac72\quad\Rightarrow\quad n=2; 3\quad\Rightarrow\quad x=2\pi; \ 3\pi\\[2ex] &2\pi \leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi k\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac7{12}\leqslant k\leqslant \dfrac43\quad\Rightarrow\quad k=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{17\pi}6\\[2ex] &2\pi \leqslant -\dfrac{5\pi}6+2\pi k\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{17}{12}\leqslant k\leqslant \dfrac{13}6\quad\Rightarrow\quad k=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{19\pi}6 \end{aligned}\]

Ответ:

а) \(\pi n, \ \pm \dfrac{5\pi}6+2\pi k, \ n,k\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(2\pi; \ \dfrac{17\pi}6; \ 3\pi; \ \dfrac{19\pi}6\)

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\left(\dfrac14\right)^{\sin(x+\pi)}= 2^{2\sqrt3\sin\left(\dfrac{\pi}2-x\right)}\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{9\pi}2;-3\pi\right]\)

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

а) По формулам приведения \(\sin (x+\pi)=-\sin x\) и \(\sin \left(\frac{\pi}2-x\right)=\cos x\), следовательно, уравнение перепишется в виде \[\left(2^{-2}\right)^{-\sin x}=2^{2\sqrt3\cos x} \quad\Leftrightarrow\quad 2^{2\sin x}=2^{2\sqrt3\cos x} \quad\Leftrightarrow\quad 2\sin x=2\sqrt3\cos x\] Заметим, что в полученном уравнении не может быть \(\cos x=0\), так как в этом случае из уравнения будет следовать, что и \(\sin x=0\), а это противоречит основному тригонометрическому тождеству: \(\sin^2x+\cos^2x=1\). Следовательно, можно разделить обе части уравнения на \(2\cos x\): \[\mathrm{tg}\,x=\sqrt3 \quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}3+\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни.
\[-\dfrac{9\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}3+\pi n\leqslant -3\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{29}6\leqslant n\leqslant -\dfrac{10}3 \quad\Rightarrow\quad n=-4 \quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{11\pi}3\]

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}3+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{11\pi}3\)