Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение уравнений в заданиях прошлых лет

Задание 1 #4027
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[2^{\sin^2x}+2^{\cos^2x}=3\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{5\pi}2; -\pi\right]\).

 

(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 19 апреля 2018)

Добавить задание в избранное

а) Так как \(\cos^2x=1-\sin^2x\), то уравнение можно переписать в виде: \[2^{\sin^2x}+2^{1-\sin^2x}=3\quad\Leftrightarrow\quad 2^{\sin^2x}+2\cdot 2^{-\sin^2x}=3\] Сделаем замену \(2^{\sin^2x}=t\), тогда \(2^{-\sin^2x}=\dfrac1t\). Заметим также, что \(t>0\).
Тогда: \[t+\dfrac 2t=3 \ \big|\cdot t\quad\Rightarrow\quad t^2-3t+2=0\] (имеем право умножать на \(t\), так как \(t\ne 0\))
По теореме Виета корнями данного уравнения будут числа \(2\) и \(1\). Следовательно:

 

1) \(2^{\sin^2x}=1\quad\Leftrightarrow\quad \sin^2x=0\quad\Leftrightarrow\quad x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\)  

2) \(2^{\sin^2x}=2\quad\Leftrightarrow\quad \sin^2x=1\quad\Leftrightarrow\quad \sin x=\pm 1\quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}2+\pi k, k\in\mathbb{Z}\).  

б) Отберем корни.   \(-\dfrac{5\pi}2\leqslant \pi n\leqslant -\pi \quad\Leftrightarrow\quad -2,5\leqslant n\leqslant -1\quad\Rightarrow\quad n=-2;-1\quad\Rightarrow\quad x=-2\pi; -\pi\)   \(-\dfrac{5\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}2+\pi k\leqslant -\pi\quad\Leftrightarrow\quad -3\leqslant k\leqslant -1,5\quad\Rightarrow\quad k=-3;-2\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{5\pi}2; -\dfrac{3\pi}2\)

Ответ:

а) \(\pi n, \dfrac{\pi}2+\pi k, n,k\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{5\pi}2; -2\pi; -\dfrac{3\pi}2; -\pi\)

Задание 2 #4008
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[2\sin(\pi+x)\cdot \sin\left(\dfrac{\pi}2+x\right)=\sin x\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi; \dfrac{7\pi}2\right].\)

 

(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 26 января 2018)

Добавить задание в избранное

а) По формулам приведения \(\sin(\pi+x)=-\sin x, \ \sin\left(\dfrac{\pi}2+x\right)=\cos x\). Тогда уравнение примет вид \[-2\sin x\cos x=\sin x\quad\Leftrightarrow\quad \sin x(1+2\cos x)=0 \quad\Leftrightarrow\quad\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=0\\[1ex]&\cos x=-\dfrac12\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Корнями уравнений будут являться \(x=\pi n\) и \(x=\pm\dfrac{2\pi}3+2\pi k\), \(n,k\in\mathbb{Z}\).  

б) Отберем корни.   \(2\pi\leqslant \pi n\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad 2\leqslant n\leqslant 3,5\quad\Rightarrow\quad n=2;3\quad\Rightarrow\quad x=2\pi; 3\pi\)   \(2\pi\leqslant \dfrac{2\pi}3+2\pi k\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac23\leqslant k\leqslant \dfrac{17}{12}\quad\Rightarrow\quad k=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{8\pi}3\)   \(2\pi\leqslant -\frac{2\pi}3+2\pi k\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad \Leftrightarrow\quad \dfrac43\leqslant k\leqslant \dfrac{25}{12}\quad\Rightarrow\quad k=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{10\pi}3\)

Ответ:

а) \(\pi n, \ \pm \dfrac{2\pi}3+2\pi k, \ n,k\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(2\pi, \ \dfrac{8\pi}3, \ 3\pi, \ \dfrac{10\pi}3\)

Задание 3 #3954
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\dfrac{\cos x}{1+\sin x}=1-\sin x\]

б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi; \dfrac{7\pi}2\right]\).

 

(ЕГЭ 2018, досрочная волна)

Добавить задание в избранное

а) Перепишем уравнение в следующем виде: \[\begin{aligned} &\dfrac{\cos x-(1-\sin x)(1+\sin x)}{1+\sin x}=0\quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\begin{cases} \cos x-\cos^2x=0\\ \sin x\ne -1\end{cases}\quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\begin{cases} \left[\begin{gathered} \cos x=0\\ \cos x=1\end{gathered}\right. \\ \sin x\ne -1\end{cases} \end{aligned}\] Пересечем решения данной системы по окружности:


Таким образом, мы видим, что нам подходят только точки \(x=2\pi n\), \(x=\dfrac{\pi}2+2\pi k\), \(n,k\in\mathbb{Z}\).  

б) Отберем корни.   \(2\pi \leqslant 2\pi n\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad 1\leqslant n\leqslant \dfrac74\quad\Rightarrow\quad n=1\quad\Rightarrow\quad x=2\pi \)   \(2\pi \leqslant \dfrac{\pi}2+2\pi k\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac34\leqslant k\leqslant \dfrac32\quad\Rightarrow\quad k=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{5\pi}2\)

Ответ:

а) \(2\pi n, \ \dfrac{\pi}2+2\pi k, \ n,k\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(2\pi ; \ \dfrac{5\pi}2\)

 

Задание 4 #3241
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\log^2_2x^2-16\log_2(2x)+31=0\]

б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку \([3;6].\)

 

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ уравнения: \(x^2>0\) и \(2x>0\), то есть \(x>0\).
Решим на ОДЗ.
Заметим, что \(\log_2(2x)=1+\log_2x\), \(\log^2_2(x^2)=(\log_2x^2)^2=(2\log_2|x|)^2\), что равно \(4(\log_2x)^2\) на ОДЗ. Следовательно, после замены \(\log_2x=t\) уравнение примет вид \[4t^2-16(1+t)+31=0 \quad\Leftrightarrow\quad 4t^2-16t+15=0 \quad\Leftrightarrow\quad 4t^2-16t+16=1\quad\Leftrightarrow\quad 4(t-2)^2=1\] Следовательно, \[t-2=\pm \dfrac12\quad\Rightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &t=\dfrac52\\[2ex] &t=\dfrac32 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\log_2x=\dfrac52\\[2ex] &\log_2x=\dfrac32 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=2^{\frac52}=2^{2+\frac12}=4\sqrt2\\[1ex] &x=2^{\frac32}=2\sqrt2 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad\] Заметим, что оба корня подходят по ОДЗ.

 

б) Так как \(1,4<\sqrt2<1,5\), то \(5,6<4\sqrt2<6\) и \(2\sqrt2<3\), следовательно, в отрезок \([3;6]\) входит только корень \(x=4\sqrt2\).

Ответ:

а) \(2\sqrt2; 4\sqrt2\)

б) \(4\sqrt2\)

Задание 5 #3233
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\log_3(x^2-24x)=4\]

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку \([\log_2(0,1); 12\sqrt5].\)

 

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ уравнения: \(x^2-24x>0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;0)\cup (24;+\infty)\).
Решим уравнение на ОДЗ. \[x^2-24x=3^4 \quad\Leftrightarrow\quad x^2-24x-81=0 \quad\Leftrightarrow\quad x_1=-3\quad {\small{\text{или}}}\quad x_2=27\] Заметим, что оба корня подходят по ОДЗ.

 

б) Так как \(\log_2(0,1)=-\log_210\) и \(3=\log_28<\log_210<\log_216=4\), то \(-4<\log_2(0,1)<-3\).
Так как \(\sqrt5>2\), то \(12\sqrt5>24\). Следовательно, корень \(x_1=-3\) принадлежит отрезку \([\log_2(0,1);12\sqrt5].\)
Проверим, принадлежит ли отрезку \([\log_2(0,1);12\sqrt5]\) корень \(x_2=27\). Для этого сравним \(12\sqrt5\) и \(27\): \[\begin{aligned} 12\sqrt5 \quad &\lor \quad 27\\ 4\sqrt5\quad &\lor \quad 9\\ 80\quad&\lor\quad 81 \end{aligned}\] Таким образом, \(12\sqrt5<27\). Следовательно, корень \(x_2=27\) не принадлежит отрезку \([\log_2(0,1);12\sqrt5]\).

Ответ:

а) \(-3; 27\)

б) \(-3\)

Задание 6 #3209
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\log_4(2^{2x}-\sqrt3\cos x-\sin2x)=x\]

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{\pi}2;\dfrac{3\pi}2\right].\)

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ уравнения: \(2^{2x}-\sqrt3\cos x-\sin2x>0\). Решим уравнение на ОДЗ. Его можно преобразовать: \[\begin{aligned} &2^{2x}-\sqrt3\cos x-\sin2x=4^x \ (*)\quad\Rightarrow\quad -\sqrt3\cos x-\sin2x=0 \quad\Rightarrow\\[1ex] &\Rightarrow\quad 2\sin x\cos x+\sqrt3\cos x=0\quad\Rightarrow\quad \cos x(2\sin x+\sqrt3)=0\end{aligned}\] Решениями данного уравнения будут \(\cos x=0\) и \(\sin x=-\dfrac{\sqrt3}2\): \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}2+\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=-\dfrac{\pi}3+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=-\dfrac{2\pi}3+2\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Проверим, подходят ли эти корни под ОДЗ. Так как эти корни получились из уравнения \((*)\), а \(4^x>0\) при всех \(x\), то при подстановке данных корней в уравнение левая часть \((*)\) также будет всегда \(>0\). А это и есть ОДЗ. Следовательно, все корни удовлетворяют ОДЗ.

 

б) Отберем корни. \[\begin{aligned} &-\dfrac{\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}2+\pi n\leqslant \dfrac{3\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad -1\leqslant n\leqslant 1\quad\Rightarrow \quad n=-1; 0; 1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}2; \dfrac{\pi}2; \dfrac{3\pi}2\\[2ex] & -\dfrac{\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}3+2\pi m\leqslant \dfrac{3\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac1{12}\leqslant m\leqslant \dfrac{11}{12}\quad\Rightarrow\quad m=0\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}3\\[2ex] &-\dfrac{\pi}2\leqslant -\dfrac{2\pi}3+2\pi k\leqslant \dfrac{3\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac1{12}\leqslant k\leqslant \dfrac{13}{12}\quad\Rightarrow\quad k=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{4\pi}3 \end{aligned}\]

Ответ:

а) \(x=\dfrac{\pi}2+\pi n, -\dfrac{\pi}3+2\pi m, -\dfrac{2\pi}3+2\pi k, n,m,k\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{\pi}2; -\dfrac{\pi}3; \dfrac{\pi}2; \dfrac{4\pi}3; \dfrac{3\pi}2\)

Задание 7 #3272
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[2\log^2_2(2\sin x)-7\log_2(2\sin x)+3=0\]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\dfrac{\pi}2; 2\pi\right].\)

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ уравнения: \(\sin x>0\). Сделаем замену \(\log_2(2\sin x)=t\). Тогда уравнение примет вид: \[2t^2-7t+3=0\] Его корнями будут \(t_1=3\) и \(t_2=\frac12\). Сделаем обратную замену:   \(\bullet\) \(\log_2(2\sin x)=3\quad\Rightarrow\quad \sin x=4\). Данное уравнение не имеет решений.   \(\bullet\) \(\log_2(2\sin x)=\frac12\quad\Rightarrow\quad \sin x=\frac{\sqrt2}2\quad\Rightarrow\quad \) \(x_1=\dfrac{\pi}4+2\pi n \ \) и \( \ x_2=\dfrac{3\pi}4+2\pi k\), \(n,k\in\mathbb{Z}\).  

б) Отберем корни: \[\begin{aligned} &\dfrac{\pi}2\leqslant x_1\leqslant 2\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac18\leqslant n\leqslant \dfrac78\quad\Rightarrow\quad n\in\varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in \varnothing\\[2ex] & \dfrac{\pi}2\leqslant x_2\leqslant 2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac 18\leqslant k\leqslant \dfrac58\quad\Rightarrow\quad k=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{3\pi}4\end{aligned}\]

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}4+2\pi n; \ \dfrac{3\pi}4+2\pi k; \ k,n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{3\pi}4\)