Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение показательных неравенств

\(\blacktriangleright\) Стандартное показательное неравенство: \[{\Large{a^{f(x)}\geqslant a^{g(x)}}}\] где \(a>0,\ a\ne 1\)
(на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant,\ >,\ <\))

 

Если \({\large{a>1}}\), то данное неравенство равносильно \[{\Large{f(x)\geqslant g(x)}}\]

Если \({\large{0<a<1}}\), то данное неравенство равносильно \[{\Large{f(x)\leqslant g(x)}}\]

\(\blacktriangleright\) Если в основании находится не конкретное число, а неизвестная функция \(h(x)\), то при выполненном ОДЗ \[\textbf{I.}{\large{(h(x))^{f(x)}> (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)> g(x) \end{cases}\\ &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)< g(x) \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

\[\textbf{II.}{\large{(h(x))^{f(x)}\geqslant (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end{cases}\\ &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)\leqslant g(x) \end{cases}\\ &h(x)=1 \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

Заметим, что если знак неравенства нестрогий, то корни уравнения \(h(x)=1\) всегда являются решением такого неравенства, потому что правая и левая части обращаются в \(1\), а \(1\geqslant 1\) – верное неравенство.

 

\(\blacktriangleright\) С помощью формулы \({\large{b=a^{\log_ab}}}\) можно любое число \(b>0\) представить в виде степени необходимого нам числа \(a>0,\ a\ne 1\).

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \[17^{x^2-1}\geqslant 1\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

 

Преобразуем неравенство: \[17^{x^2-1}\geqslant 17^0\] Т.к. основание степени больше единицы (\(17>1\)), то неравенство равносильно \[x^2-1\geqslant 0 \quad \Leftrightarrow \quad (x-1)(x+1)\geqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов:



получим \(x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)\).

Ответ:

\((-\infty;-1]\cup[1;+\infty)\)

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \[4^{2x^2-23}<8\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

 

Преобразуем данное неравенство: \[(2^2)^{2x^2-23}<2^3 \quad \Leftrightarrow \quad 2^{4x^2-46}<2^3\] Т.к. основание степени больше единицы (\(2>1\)), то неравенство равносильно \[4x^2-46<3 \quad \Leftrightarrow \quad 4x^2-49<0 \quad \Leftrightarrow \quad (2x-7)(2x+7)<0\] Решая данное неравенство методом интервалов:



получим \(x\in\left(-\frac72; \frac72\right)\).

Ответ:

\(\left(-\frac72; \frac72\right)\)

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 2^x\geqslant 2 - 2^0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

Исходное неравенство равносильно неравенству \[2^x\geqslant 2^0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\geqslant 0\,.\]

Ответ:

\([0; +\infty)\)

Задание 4
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 4^{t+1} - 2^{t + 3} + 2^2\geqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(t\) – произвольный.

Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 4\cdot 2^{2t} - 8\cdot 2^{t} + 4\geqslant 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(y = 2^t\), \(y > 0\). Полученное неравенство примет вид:

\[\begin{aligned} 4\cdot y^2 - 8\cdot y + 4\geqslant 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad y^2 - 2y + 1\geqslant 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad (y - 1)^2\geqslant 0\,, \end{aligned}\]

что выполнено при любом \(y\). Таким образом, исходное неравенство справедливо при любом \(t\).

Ответ:

\((-\infty; +\infty)\)

Задание 5
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \[25^{2x-4}<\left(\frac15\right)^{x+3}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

 

Преобразуем данное неравенство: \[(5^2)^{2x-4}<(5^{-1})^{x+3} \quad \Leftrightarrow \quad 5^{4x-8}<5^{-x-3}\] Т.к. основание степени больше единицы (\(5>1\)), то неравенство равносильно \[4x-8<-x-3 \quad \Leftrightarrow \quad x<1 \quad \Leftrightarrow \quad x\in(-\infty;1).\]

Ответ:

\((-\infty;1)\)

Задание 6
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 2^x\geqslant 4^x\cdot 0,5 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 2^x\geqslant ({2^{2}})^x\cdot 2^{-1}\qquad\Leftrightarrow\qquad 2^x\geqslant 2^{2x - 1}\qquad\Leftrightarrow\qquad x\geqslant 2x - 1\qquad\Leftrightarrow\qquad x\leqslant 1, \end{aligned}\]

таким образом, ответ \[x\in(-\infty; 1].\]

Ответ:

\((-\infty; 1]\)

Задание 7
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решить неравенство \[{\large{2^{x^2}\cdot 5^{x^2}<10^{-3}\cdot \left(10^{3-x}\right)^2}}\]

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

По формуле \(a^x\cdot b^x=(ab)^x\) левую часть можно записать как \((2\cdot 5)^{x^2}=10^{x^2}\).
С помощью формулы \((a^x)^y=a^{xy}\) правую часть можно записать как \(10^{-3}\cdot 10^{6-2x}\), затем с помощью \(a^x\cdot b^x=(ab)^x\) как \(10^{-3+6-2x}\). Тогда неравенство примет вид: \[{\large{10^{x^2}<10^{3-2x}}}\] Данное неравенство равносильно \[x^2<3-2x\quad\Leftrightarrow\quad x^2+2x-3<0\quad\Leftrightarrow\quad (x-1)(x+3)<0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-3;1)\]

Ответ:

\((-3;1)\)

Показательные неравенства в ЕГЭ по математике профильного уровня неизменно встречаются из года в год. Безусловно, баллы, которые можно набрать или, наоборот, не получить за данное задание, никак не влияют на итоговую оценку по предмету. Но нельзя забывать, что от них во многом зависит ваш шанс поступить в желаемый вуз.

Научиться решать показательные неравенства важно не только с целью успешной сдачи аттестационного испытания и получения конкурентоспособных баллов по ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшем учебном заведении Москвы или другого города. Кроме того, выполнение данных заданий позволяет развить навыки систематизации и логическое мышление, помогает повысить творческие и умственные способности школьника.

Показательные уравнения и неравенства, которые предстоит решить школьникам из Москвы и других городов в ЕГЭ по математике (профиль), входят в курс 10 класса. На уроках на изучение этой темы отводится мало времени. Для того чтобы верно выполнить решение показательных неравенств в ЕГЭ, рекомендуем воспользоваться при подготовке нашим ресурсом. Мы разработали для вас уникальный инструмент, с помощью которого вы сможете грамотно выстроить подготовку к сдаче экзамена, восполнить пробелы в знаниях и отработать навыки решения задач.