Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Математика ЕГЭ База

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение показательных неравенств

\(\blacktriangleright\) Стандартное показательное неравенство: \[{\Large{a^{f(x)}\geqslant a^{g(x)}}}\] где \(a>0,\ a\ne 1\)
(на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant,\ >,\ <\))

 

Если \({\large{a>1}}\), то данное неравенство равносильно \[{\Large{f(x)\geqslant g(x)}}\]

Если \({\large{0<a<1}}\), то данное неравенство равносильно \[{\Large{f(x)\leqslant g(x)}}\]

\(\blacktriangleright\) Если в основании находится не конкретное число, а неизвестная функция \(h(x)\), то при выполненном ОДЗ \[\textbf{I.}{\large{(h(x))^{f(x)}> (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)> g(x) \end{cases}\\ &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)< g(x) \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

\[\textbf{II.}{\large{(h(x))^{f(x)}\geqslant (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end{cases}\\ &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)\leqslant g(x) \end{cases}\\ &h(x)=1 \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

Заметим, что если знак неравенства нестрогий, то корни уравнения \(h(x)=1\) всегда являются решением такого неравенства, потому что правая и левая части обращаются в \(1\), а \(1\geqslant 1\) – верное неравенство.

 

\(\blacktriangleright\) С помощью формулы \({\large{b=a^{\log_ab}}}\) можно любое число \(b>0\) представить в виде степени необходимого нам числа \(a>0,\ a\ne 1\).

Задание 1 #2516
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \[17^{x^2-1}\geqslant 1\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

 

Преобразуем неравенство: \[17^{x^2-1}\geqslant 17^0\] Т.к. основание степени больше единицы (\(17>1\)), то неравенство равносильно \[x^2-1\geqslant 0 \quad \Leftrightarrow \quad (x-1)(x+1)\geqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов:



получим \(x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)\).

Ответ:

\((-\infty;-1]\cup[1;+\infty)\)

Задание 2 #2517
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \[4^{2x^2-23}<8\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

 

Преобразуем данное неравенство: \[(2^2)^{2x^2-23}<2^3 \quad \Leftrightarrow \quad 2^{4x^2-46}<2^3\] Т.к. основание степени больше единицы (\(2>1\)), то неравенство равносильно \[4x^2-46<3 \quad \Leftrightarrow \quad 4x^2-49<0 \quad \Leftrightarrow \quad (2x-7)(2x+7)<0\] Решая данное неравенство методом интервалов:



получим \(x\in\left(-\frac72; \frac72\right)\).

Ответ:

\(\left(-\frac72; \frac72\right)\)

Задание 3 #2400
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 2^x\geqslant 2 - 2^0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

Исходное неравенство равносильно неравенству \[2^x\geqslant 2^0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\geqslant 0\,.\]

Ответ:

\([0; +\infty)\)

Задание 4 #2402
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 4^{t+1} - 2^{t + 3} + 2^2\geqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(t\) – произвольный.

Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 4\cdot 2^{2t} - 8\cdot 2^{t} + 4\geqslant 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(y = 2^t\), \(y > 0\). Полученное неравенство примет вид:

\[\begin{aligned} 4\cdot y^2 - 8\cdot y + 4\geqslant 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad y^2 - 2y + 1\geqslant 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad (y - 1)^2\geqslant 0\,, \end{aligned}\]

что выполнено при любом \(y\). Таким образом, исходное неравенство справедливо при любом \(t\).

Ответ:

\((-\infty; +\infty)\)

Задание 5 #2518
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \[25^{2x-4}<\left(\frac15\right)^{x+3}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

 

Преобразуем данное неравенство: \[(5^2)^{2x-4}<(5^{-1})^{x+3} \quad \Leftrightarrow \quad 5^{4x-8}<5^{-x-3}\] Т.к. основание степени больше единицы (\(5>1\)), то неравенство равносильно \[4x-8<-x-3 \quad \Leftrightarrow \quad x<1 \quad \Leftrightarrow \quad x\in(-\infty;1).\]

Ответ:

\((-\infty;1)\)

Задание 6 #1559
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 2^x\geqslant 4^x\cdot 0,5 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 2^x\geqslant ({2^{2}})^x\cdot 2^{-1}\qquad\Leftrightarrow\qquad 2^x\geqslant 2^{2x - 1}\qquad\Leftrightarrow\qquad x\geqslant 2x - 1\qquad\Leftrightarrow\qquad x\leqslant 1, \end{aligned}\]

таким образом, ответ \[x\in(-\infty; 1].\]

Ответ:

\((-\infty; 1]\)

Задание 7 #3767
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решить неравенство \[{\large{2^{x^2}\cdot 5^{x^2}<10^{-3}\cdot \left(10^{3-x}\right)^2}}\]

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

По формуле \(a^x\cdot b^x=(ab)^x\) левую часть можно записать как \((2\cdot 5)^{x^2}=10^{x^2}\).
С помощью формулы \((a^x)^y=a^{xy}\) правую часть можно записать как \(10^{-3}\cdot 10^{6-2x}\), затем с помощью \(a^x\cdot b^x=(ab)^x\) как \(10^{-3+6-2x}\). Тогда неравенство примет вид: \[{\large{10^{x^2}<10^{3-2x}}}\] Данное неравенство равносильно \[x^2<3-2x\quad\Leftrightarrow\quad x^2+2x-3<0\quad\Leftrightarrow\quad (x-1)(x+3)<0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-3;1)\]

Ответ:

\((-3;1)\)

Показательные неравенства в ЕГЭ по математике профильного уровня неизменно встречаются из года в год. Безусловно, баллы, которые можно набрать или, наоборот, не получить за данное задание, никак не влияют на итоговую оценку по предмету. Но нельзя забывать, что от них во многом зависит ваш шанс поступить в желаемый вуз.

Научиться решать показательные неравенства важно не только с целью успешной сдачи аттестационного испытания и получения конкурентоспособных баллов по ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшем учебном заведении Москвы или другого города. Кроме того, выполнение данных заданий позволяет развить навыки систематизации и логическое мышление, помогает повысить творческие и умственные способности школьника.

Показательные уравнения и неравенства, которые предстоит решить школьникам из Москвы и других городов в ЕГЭ по математике (профиль), входят в курс 10 класса. На уроках на изучение этой темы отводится мало времени. Для того чтобы верно выполнить решение показательных неравенств в ЕГЭ, рекомендуем воспользоваться при подготовке нашим ресурсом. Мы разработали для вас уникальный инструмент, с помощью которого вы сможете грамотно выстроить подготовку к сдаче экзамена, восполнить пробелы в знаниях и отработать навыки решения задач.