Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Нахождение угла между прямыми

\(\blacktriangleright\) Угол между прямыми – это такой угол \(\alpha\), что \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\).

 

\(\blacktriangleright\) В пространстве существует 4 типа взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются, параллельны, скрещиваются.

 

\(\blacktriangleright\) Скрещивающиеся прямые – это прямые, через которые нельзя провести одну плоскость.

Признак скрещивающихся прямых: если первая прямая пересекает плоскость, в которой лежит вторая прямая, в точке, не лежащей на второй прямой, то такие прямые скрещиваются.


 

\(\blacktriangleright\) Порядок нахождения угла между скрещивающимися прямыми:

 

Шаг 1: через одну из двух прямых \(a\) провести плоскость, параллельную второй прямой \(b\) (напомним признак: прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой из этой плоскости);

 

Шаг 2: в этой плоскости найти прямую \(c\), параллельную прямой \(b\);

 

Шаг 3: тогда угол между прямыми \(a\) и \(b\) будет равен углу между прямыми \(a\) и \(c\).

Задание 1 #934
Уровень задания: Равен ЕГЭ

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб. Найдите угол между прямыми, содержащими отрезки \(AC\) и \(B_1D_1\). Ответ дайте в градусах.

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00

Задание 2 #2847
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дана правильная треугольная пирамида \(SABC\) с вершиной \(S\). Найдите угол между высотой пирамиды и ребром \(SB\), если высота пирамиды равна \(2\sqrt3\), а сторона основания пирамиды равна \(6\). Ответ дайте в градусах.

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00

Задание 3 #933
Уровень задания: Равен ЕГЭ

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб. Точка \(K\) лежит на ребре \(AA_1\). Найдите угол между прямыми, содержащими отрезки \(D_1K\) и \(AB\). Ответ дайте в градусах.

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00

Задание 4 #2845
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан правильный тетраэдр \(SABC\). Найдите квадрат тангенса угла между высотой грани \(SAC\), опущенной из вершины \(S\), и высотой грани \(ABC\), опущенной из вершины \(B\).

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00

Задание 5 #1846
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите угол между прямыми \(AD_1\) и \(BD\). Ответ дайте в градусах.



Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00

Задание 6 #1847
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Точка \(K\) – середина стороны \(B_1C_1\), а точка \(L\) – середина стороны \(C_1D_1\). Найдите угол между прямыми \(AB_1\) и \(KL\). Ответ дайте в градусах.



Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00

Задание 7 #2846
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дана правильная треугольная пирамида \(SABC\) с вершиной \(S\). Найдите косинус угла между высотой основания \(AA_1\) и ребром \(SC\), если сторона основания равна \(\sqrt3\), а боковое ребро равно \(2\).

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00

Каждому школьнику, который готовится к ЕГЭ по математике, будет полезно повторить тему «Нахождение угла между прямыми». Как показывает статистика, при сдаче аттестационного испытания задачи по данному разделу стереометрии вызывают трудности у большого количества учащихся. При этом задания, требующие найти угол между прямыми, встречаются в ЕГЭ как базового, так и профильного уровня. Это значит, что уметь их решать должны все.

Основные моменты

В пространстве существует 4 типа взаимного расположения прямых. Они могут совпадать, пересекаться, быть параллельными или скрещивающимися. Угол между ними может быть острым или прямым.

Для нахождения угла между прямыми в ЕГЭ или, например, в решении задач по теореме о трех перпендикулярах, школьники Москвы и других городов могут использовать несколько способов решения задач по данному разделу стереометрии. Выполнить задание можно путем классических построений. Для этого стоит выучить основные аксиомы и теоремы стереометрии. Школьнику нужно уметь логически выстраивать рассуждение и создавать чертежи, для того чтобы привести задание к планиметрической задаче.

Также можно использовать векторно-координатный метод, применяя простые формулы, правила и алгоритмы. Главное в этом случае — правильно выполнить все вычисления. Отточить свои навыки решения задач по стереометрии и другим разделам школьного курса вам поможет образовательный проект «Школково».