Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

Тренировочные варианты ЕГЭ-2018

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты «Школково». Вариант № 3 от 13.01.2018

Задание 1

Дональд Дак решил купить криптовалюту Биткоин, когда она стоила \(15\,000\$\) за единицу. Сколько Биткоинов сможет купить Дональд на \(500\,000\$\)?

Для того, чтобы найти количество Биткоинов, которое сможет купить Дональд, нужно разделить \(500\,000\) на \(15\,000\) и результат округлить в меньшую сторону. Следовательно, ответ: \(33\).

 

Ответ:

33

Задание 2

На рисунке жирными точками показана средняя продолжительность разговоров по мобильному телефону в городе Бендеры с 13 по 27 июня. По горизонтали указывается день месяца, по вертикали – средняя продолжительность разговоров в соответствующий день, в минутах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа в период с 13 по 27 июня средняя продолжительность разговоров в день впервые составила 3 минуты.

Из графика видно, что впервые продолжительность разговоров составила 3 минуты 13 июня, следовательно, ответ: 13.

 

Ответ:

13

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times 1\) изображен угол. Найдите синус этого угла.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Противолежащий катет равен \(3\). Нужно найти гипотенузу. Так как второй катет равен \(4\), то гипотенуза равна \(5\) (ее можно найти либо по теореме Пифагора, либо заметить, что это египетский треугольник со сторонами \(3, 4, 5)\).
Следовательно, синус равен \(3:5=0,6\).

 

Ответ:

0,6

Задание 4

В середине учебного года одиннадцатиклассники сдают устный экзамен по алгебре, в котором всего может встретиться \(20\) билетов, причем \(16\) из них содержат вопрос по показательной функции. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете ученику 11 класса достанется вопрос по показательной функции.

Вероятность того, что одиннадцатикласснику попадется вопрос по показательной функции, равна отношению “подходящих” исходов ко всем возможным исходам. Количество “подходящих” исходов равно количеству билетов с вопросом по показательной функции, количество всех исходов равно количеству всех билетов. Следовательно, вероятность равна \(16:20=0,8\).

 

Ответ:

0,8

Задание 5

Найдите корень уравнения \[\log_2(x+7)=\log_2(2x)+2\]

ОДЗ уравнения: \(x+7>0\) и \(2x>0\), то есть \(x>0\).
Решим на ОДЗ.
Так как любое число \(a\) можно представить в виде логарифма по нужному основанию по формуле \(a=\log_tt^a\), то \(2=\log_22^2=\log_24\). Так как \(\log_ab+\log_ac=\log_a(bc)\), то уравнение примет вид: \[\log_2(x+7)=\log_2(2x\cdot 4)\quad\Rightarrow\quad x+7=8x\quad \Rightarrow\quad x=1\] Полученный корень подходит по ОДЗ.

 

Ответ:

1

Задание 6

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен \(40\), её большая боковая сторона равна \(11\). Найдите радиус окружности.

Так как в данную трапецию можно вписать окружность, то суммы ее противоположных сторон равны. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон. Значит, сумма боковых сторон равна половине периметра, то есть \(20\). Следовательно, меньшая боковая сторона равна \(20-11=9\).
В прямоугольной трапеции диаметр вписанной в нее окружности равен боковой стороне, перпендикулярной основаниям, то есть равен \(9\). Тогда радиус равен \(9:2=4,5\).

 

Ответ:

4,5

Задание 7

На рисунке изображен график \(y=f'(x)\) производной функции \(f(x)\), определенной на интервале \((-4;9)\). Найдите промежутки убывания функции \(f(x)\). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Так как функция убывает там, где ее производная отрицательна, а на графике изображена производная, то нас интересует отрезок \([a;b]\):


В данный отрезок из целых точек входят: \(-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;8\). Сумма этих чисел равна \(33\).

 

Ответ:

33

Задание 8

Высота конуса равна \(21\), а длина образующей равна \(29\). Найдите диаметр основания конуса.

Так как высота конуса падает в центр основания и перпендикулярна ему, то мы получаем прямоугольный треугольник \(ABC\), где \(AB\) – высота, \(AC\) – образующая, \(BC\) – радиус основания.

 

Тогда по теореме Пифагора: \[BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{29^2-21^2}=\sqrt{(29-21)(29+21)}= \sqrt{8\cdot 50}= \sqrt{4\cdot 2\cdot 2\cdot 25}=2\cdot 2\cdot 5=20\] Тогда диаметр равен \(40\).

 

Ответ:

40

Задание 9

Найдите значение выражения \[{\large{\dfrac{\sqrt[15]5\cdot 5\cdot \sqrt[10]5}{\sqrt[6]5}}}\]

Так как \(\sqrt[n]a=a^{\frac1n}\), то \[{\large{\dfrac{5^{\frac1{15}}\cdot 5^1\cdot 5^{\frac1{10}}}{5^{\frac16}}=5^{\frac1{15}+1+\frac1{10}-\frac16}=5^1=5,}}\] так как \(a^n\cdot a^m=a^{n+m}\) и \(a^n:a^m=a^{n-m}\).

 

Ответ:

5

Задание 10

Во время полета кометы \(K\) вытянутой формы её видимая длина (для неподвижного на Земле Тимура), измеряемая в километрах, меняется по закону \[l = l_{\text{н}}\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}},\] где \(l_{\text{н}} = 10\) км – длина неподвижной относительно Тимура кометы, \(c = 300\,000\) км/с – скорость света, а \(v\) – скорость кометы \(K\) (в км/с). Тимур вдруг задумался, какой должна была бы быть скорость кометы \(K\), чтобы её наблюдаемая длина стала \(6\) км? Какой ответ он должен получить? Результат выразите в км/с.

Искомая скорость кометы может быть найдена из уравнения \[6 = 10\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}\qquad\Leftrightarrow\qquad 6 = 10\sqrt{1 - \left(\dfrac{v}{c}\right)^2}\qquad\Leftrightarrow\qquad 0,6 = \sqrt{1 - \left(\dfrac{v}{c}\right)^2}\qquad\Rightarrow\qquad \left(\dfrac{v}{c}\right)^2 = 0,64,\] что равносильно \(v = \pm0,8c\), откуда с учётом \(c = 300000\) км/с, \(v > 0\) находим \(v = 240000\) км/с.

 

Ответ:

240000

Задание 11

Войска Станниса Баратеона и Рамси Болтона идут навстречу друг другу, причем скорость войск Рамси на \(1\) км/ч больше скорости войск Станниса. Найдите скорость войск Рамси, если встретились они через \(3\) часа, а расстояние между ними в начале движения было \(30\) км. Ответ дайте в километрах в час.

Пусть скорость войск Станниса равна \(x\) км/ч, тогда скорость войск Рамси равна \(x+1\) км/ч. Так как войска идут навстречу друг другу, то скорость их сближения равна \(2x+1\) км/ч. Следовательно, можно составить следующее уравнение: \(3\cdot (2x+1)=30\), откуда \(x=4,5\), значит, скорость войск Рамси равна \(4,5+1=5,5\) км/ч.

 

Ответ:

5,5

Задание 12

Найдите точку минимума функции \[y=4x^2+9x-\dfrac{x^3}3+5\]

Найдем производную: \[f'(x)=8x+9-x^2\] Найдем точки, в которых производная равна нулю: \[-x^2+8x+9=0\quad\Rightarrow\quad x_1=-1, \ x_2=9\] Эти точки разбивают область определения производной на промежутки, в каждом из которых она непрерывна и не обращается в ноль, следовательно, принимает значения одного знака. Найдем знак производной на каждом из этих промежутков:


Следовательно, схематично график функции выглядит так:


Таким образом, точка минимума – это точка, где функция меняет свой характер монотонности с убывания на возрастание, то есть это \(x=-1\).

 

Ответ:

-1

Задание 13

а) Решите уравнение \[\sin 2x-\sqrt3\cos \left(\dfrac{\pi}2+x\right)=0\]

б) Укажите все корни уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\dfrac{5\pi}2;\dfrac{7\pi}2\right].\)

а) По формуле приведения \(\cos\left(\dfrac{\pi}2+x\right)=-\sin x\), по формуле синуса двойного угла \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), следовательно, \[2\sin x\cos x+\sqrt3\sin x=0\quad\Leftrightarrow\quad \sin x (2\cos x+\sqrt3)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=0\\[1ex] &\cos x=-\dfrac{\sqrt3}2 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Следовательно, \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=\pm \dfrac{5\pi}6+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни.   \(\dfrac{5\pi}2\leqslant \pi n\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac52\leqslant n\leqslant \dfrac72\quad\Rightarrow\quad n=3\quad\Rightarrow\quad x=3\pi\);   \(\dfrac{5\pi}2\leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi m\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac56\leqslant m\leqslant \dfrac43\quad\Rightarrow\quad m=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{17\pi}6\);   \(\dfrac{5\pi}2\leqslant -\dfrac{5\pi}6+2\pi m\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac53\leqslant m\leqslant \dfrac{13}6\quad\Rightarrow\quad m=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{19\pi}6\).

 

Ответ:

а) \(\pi n, \ \pm\dfrac{5\pi}6+2\pi m; \ n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{17\pi}6, 3\pi, \dfrac{19\pi}6\)

Задание 14

Дана прямая треугольная призма \(ABCA_1B_1C_1\). \(M\) – такая точка на \(BC\), что \(BM:MC=1:2\).

 

а) Постройте и определите вид сечения данной призмы плоскостью, проходящей через точки \(M\) и \(A\) параллельно прямой \(A_1C\).

 

б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые данная плоскость делит призму.

а) Назовем плоскость, проходящую через точки \(M\) и \(A\) параллельно \(A_1C\), плоскостью \(\alpha\).
Так как \(A_1C\) параллельно \(\alpha\), то \(A_1C\) параллельно некоторой прямой, лежащей в плоскости \(\alpha\). Построим эту прямую.
Рассмотрим плоскость \(BA_1C\). Точка \(M\) лежит в этой плоскости. Проведем \(MK\parallel A_1C\). Тогда \(\alpha\) – это плоскость, проходящая через точки \(A, M, K\).
Проведем \(AK\) до пересечения с \(BB_1\) в точке \(P\). Таким образом, сечение призмы плоскостью \(\alpha\) – это \(APM\).

 

б) Пусть \(S\) – площадь основания призмы, \(h\) – высота (или боковое ребро) призмы. Тогда объем призмы равен \(V=Sh\).
Рассмотрим основание \(ABC\). Так как \(\triangle ABM\) и \(\triangle ABC\) имеют одинаковую высоту, опущенную из вершины \(A\), то их площади относятся как основания, следовательно, \(S_{ABM}:S_{ABC}=BM:BC=1:3\), следовательно, \(S_{ABM}=\frac13S\).
Найдем \(BP:BB_1\).
Рассмотрим боковую грань \(ABB_1A_1\).
Так как \(AA_1\parallel BB_1\), то \(\triangle AKA_1\sim\triangle BKP\), причем коэффициент подобия \(k=A_1K:KB\).
Но по теореме Фалеса (так как \(MK\parallel A_1C\)) имеем: \[A_1K:KB=CM:MB=2:1\] Следовательно, \(AA_1:BP=2:1\), то есть \(BP=\frac12AA_1=\frac12BB_1\). Таким образом, так как \(PABM\) – пирамида, то \[V_{PABM}=\frac13\cdot \frac12h\cdot \frac13S=\frac1{18}Sh\] Следовательно, отношение объемов многогранников, на которые призму разделила плоскость \(\alpha\), равно: \[V_{PABM}:(V_{ABCA_1B_1C_1}-V_{PABM})=\left(\dfrac1{18}Sh\right): \left(Sh-\dfrac1{18}Sh\right)=1:17\]

Ответ:

б) \(1:17\)

Задание 15

Решите неравенство \[\dfrac 1{5^x+31}\leqslant \dfrac4{5^{x+1}-1}\]

Так как \(5^{x+1}=5\cdot 5^x\), то, сделав замену \(t=5^x\), \(t>0\), можно свести неравенство к виду: \[\dfrac 1{t+31}\leqslant \dfrac4{5t-1}\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t-125}{(t+31)(5t-1)}\leqslant 0\] Так как \(t>0\), то \(t+31>0\), следовательно, на множитель \(t+31\) можно умножить обе части неравенства: \[\dfrac{t-125}{5t-1}\leqslant 0\] Решая неравенство методом интервалов, получаем \[t\in \left(\dfrac15; 125\right]\] Перейдем к прежней переменной: \[\dfrac15<5^x\leqslant 125\quad\Leftrightarrow\quad -1<x\leqslant 3\]

Ответ:

\((-1;3]\)

Задание 16

В четырехугольник \(ABCD\) вписана окружность и \(N\) – точка касания этой окружности со стороной \(BC\). Вторая окружность касается стороны \(BC\) в точке \(T\) и продолжений сторон \(AB\) и \(CD\).

 

а) Докажите, что \(CN=BT\).

 

б) Найдите площадь четырехугольника \(ABCD\), если радиус окружности, вписанной в четырехугольник \(ABCD\), равен \(5\); радиус второй окружности равен \(2\); сумма противоположных углов четырехугольника \(ABCD\) равна \(180^\circ\), а острый угол между прямыми \(AB\) и \(CD\) равен \(2\mathrm{arctg}\,\dfrac3{16}\).

а) Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны, то обозначим: \(CR=CT=y\), \(CK=CN=z\), \(BT=BP=x\), \(OP=OR=a\).


Тогда \(NT=y-z\), следовательно, \(BN=x+y-z=BM\).
Так как также \(OK=OM\), то \[a+y+z=a+x+x+y-z\quad\Leftrightarrow\quad 2z=2x\quad\Leftrightarrow\quad x=z\] То есть \(BT=CN\), чтд.

 

б) Так как центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, то \(OQ\) – биссектриса угла \(O\), следовательно, \(\angle QOR=\mathrm{arctg}\,\frac3{16}\). Таким образом, \[\dfrac3{16}=\dfrac 2a\quad\Leftrightarrow\quad a=\dfrac{32}3\] Так как \(\triangle WOK\sim\triangle QOR\), то \[\dfrac52=\dfrac{KO}{\frac{32}3}\quad\Leftrightarrow\quad z+y=KR=16\] Тогда \(BC=y+x=y+z=16\).
Так как по формуле \(S=p\cdot r\), то \(S_{BOC}=p_{BOC}\cdot QR\), а \[p_{BOC}=0,5(BC+OB+OC)=0,5\left(16+x+\frac{32}3+y+\frac{32}3\right)= 16+\frac{32}3,\] то \[S_{BOC}=2\cdot \left(16+\dfrac{32}3\right)\] Так как по условию в четырехугольнике \(ABCD\) \(\angle A+\angle C=180^\circ\), то \(\angle BCO=\angle BAD\), следовательно, \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\) по двум углам, то есть \[\dfrac{S_{AOD}}{S_{BOC}}=\left(\dfrac52\right)^2\quad\Leftrightarrow\quad S_{AOD}=\dfrac{25}4\cdot 2\cdot \left(16+\dfrac{32}3\right)\] Тогда \[S_{ABCD}=\dfrac{25}4\cdot 2\cdot \left(16+\dfrac{32}3\right)- 2\cdot \left(16+\dfrac{32}3\right)=280\]

Ответ:

б) 280

Задание 17

В июле 2018 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на \(20\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную \(2, 16\) млн. рублей.
Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

Пусть \(A\) млн. рублей – сумма, взятая в кредит. Из условия задачи следует, что кредит будет выплачиваться аннуитетными платежами. Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Номер года} & \text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления }\% & \text{Долг после платежа}\\ \hline 1 & A & 1,2A & 1,2A-2,16 \\ \hline 2 & 1,2A-2,16 & 1,2(1,2A-2,16) & 1,2(1,2A-2,16)-2,16 \\ \hline 3 & 1,2(1,2A-2,16)-2,16 & 1,2(1,2(1,2A-2,16)-2,16) & 1,2(1,2(1,2A-2,16)-2,16)-2,16 \\ \hline \end{array}\]

Так как после третьего платежа долг должен быть выплачен полностью, то \[1,2(1,2(1,2A-2,16)-2,16)-2,16=0\quad\Leftrightarrow\quad 1,2^3A-2,16(1,2^2+1,2+1)=0\quad\Leftrightarrow\quad A=\dfrac{2,16\cdot 3,64}{1,2\cdot 1,2\cdot 1,2}=4,55\]

Ответ:

4,55

Задание 18

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение имеет ровно два различных решения: \[4^{|x-a|}\cdot \log_{\frac13} (|x|+3)+2^{|x|-1}\cdot \log_{\sqrt3}(2|x-a|+3)=0\]

1) ОДЗ данного уравнения: \(x\in\mathbb{R}\).
Данное уравнение можно преобразовать к виду: \[2^{2|x-a|}\cdot \left(-\log_3(|x|+3)\right)+2^{|x|-1}\cdot 2\cdot \log_3(2|x-a|+3)=0\quad\Leftrightarrow\quad 2^{|x|}\cdot \log_3(2|x-a|+3)=2^{2|x-a|}\cdot \log_3(|x|+3)\] Так как показательная функция всегда положительна, то можем разделить обе части равенства на \(2^{|x|}\cdot 2^{2|x-a|}\): \[2^{-2|x-a|}\cdot \log_3(2|x-a|+3)=2^{-|x|}\cdot \log_3(|x|+3)\] Сделаем замену: \(t=2|x-a|\), \(v=|x|\). Заметим, что \(t, v\geqslant 0\). Тогда уравнение примет вид: \[2^{-t}\cdot \log_3(t+3)=2^{-v}\cdot \log_3(v+3)\] Если рассмотреть функцию \(y(t)=2^{-t}\cdot \log_3(t+3)\), то полученное уравнение имеет вид \[y(t)=y(v)\]

2) Исследуем полученную функцию \(y(t)\) при \(t\geqslant 0\). Найдем ее производную: \[y'(t)=-2^{-t}\cdot \ln 2\cdot \log_3(t+3)+2^{-t}\cdot \dfrac1{(t+3)\ln 3}= 2^{-t}\cdot \left(\dfrac1{(t+3)\ln 3}-\ln 2\cdot \log_3(t+3)\right)\] Изобразим графики функций \(f=\dfrac1{(t+3)\ln 3}\) и \(g=\ln 2\cdot \log_3(t+3)\):


График функции \(f\) пересекает ось \(Oy\) в точке \(\left(0;\dfrac1{3\ln 3}\right)\), график функции \(g\) пересекает ось \(Oy\) в точке \(\left(0;\ln 2\right)\).   Заметим, что \(\ln 3>1\), \(\ln 2>0,5\), следовательно, \(\dfrac1{3\ln 3}<\ln 2\). Таким образом, из графиков \(f\) и \(g\) видно, что при любом \(t\geqslant 0\) имеем \(f(t)<g(t)\). Следовательно, так как к тому же \(2^{-t}>0\), \[y'(t)<0\] Таким образом, при любом \(t\geqslant 0\) функция \(y(t)\) является строго убывающей, следовательно, для того, чтобы уравнение \(y(t)=y(v)\) имело решения, нужно, чтобы \(t=v\). Значит, \[2|x-a|=|x|\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2x-2a=x\\ &2x-2a=-x\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=2a\\[1ex] &x=\dfrac{2a}3\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Следовательно, для того, чтобы исходное уравнение имело два различных корня, нужно, чтобы \(2a\ne \dfrac{2a}3\quad\Rightarrow\quad a\ne 0\). Следовательно, ответ: \[a\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\]

Ответ:

\(a\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\)

Задание 19

В приюте есть \(50\) черных, \(40\) белых, \(30\) рыжих и \(20\) серых котиков. Семья становится счастливой, если забирает из приюта домой трех котиков разного окраса.
а) Приведите пример, как можно осчастливить \(45\) семей.
б) Сможет ли приют осчастливить \(50\) семей?
в) Какое наибольшее количество семей можно осчастливить?

а) Возьмем 25 черных, 25 белых и 25 рыжих котиков. Тогда мы сможем осчастливить 25 семей.
У нас осталось 25 черных, 15 белых, 5 рыжих и 20 серых котиков. Возьмем 5 черных, 5 рыжих и 5 серых котиков. Тогда мы осчастливим еще 5 семей. То есть всего мы уже осчастливили 30 семей.
Осталось 20 черных, 15 белых и 15 серых котиков. Взяв 15 черных, 15 белых и 15 серых котиков, мы осчастливим еще 15 семей. Итого мы осчастливили 45 семей и осталось 5 черных котиков.

 

б) Нет, так как для того, чтобы осчастливить 50 семей, нужно как минимум \(50\cdot 3=150\) котиков, а у нас всего имеется \(50+40+30+20=140\) котиков.

 

в) 1 способ.
Так как на каждую семью приходится по 3 котика, а всего котиков 140, то можно осчастливить не более \(\left[\frac{140}3\right]=46\) семей (где \([x]\) — это целая часть от числа \(x\), то есть наибольшее целое число, не превосходящее \(x\)).
Докажем, что 46 семей осчастливить не получится, следовательно, наибольшее количество семей, которое мы сможем осчастливить, – это 45 семей (а для них был приведен пример в пункте а).
Предположим, что нам удалось осчастливить 46 семей.
Рассмотрим все возможные комбинации троек котиков, которые можно составить из котиков четырех разных окрасов. Первая тройка: взять черного, белого и рыжего; вторая тройка: взять черного, белого и серого; третья тройка: взять черного, рыжего и серого; четвертая тройка: взять белого, рыжего и серого.
Пусть мы взяли \(a\) троек первого типа, \(b\) – второго, \(c\) – третьего, \(d\) – четвертого: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & \text{ч} & \text{б} & \text{р} & \text{с}\\ \hline \text{ч,б,р} & a & a & a & \\ \hline \text{ч,б,с} & b & b & &b\\ \hline \text{ч,р,с} & c & & c & c\\ \hline \text{б,р,с} & &d &d &d\\ \hline \end{array}\] Учитывая количество котиков каждого окраса, а также то, что по предположению мы осчастливили 46 семей, можно составить следующую систему: \[\begin{cases} a+b+c\leqslant 50\\ a+b+d\leqslant 40\\ a+c+d\leqslant 30\\ b+c+d\leqslant 20\\ a+b+c+d=46\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} 46-d\leqslant 50\\ 46-c\leqslant 40\\ 46-b\leqslant 30\\ b+c+d\leqslant 20\\ a=46-b-c-d\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} d\geqslant -4\\ c\geqslant 6\\ b\geqslant 16\\ b+c+d\leqslant 20\\ a=46-b-c-d\end{cases}\] Из полученной системы мы видим, что \(b+c\geqslant 22\). Но \(b+c+d\leqslant 20\) и учитывая, что \(a,b,c,d\) – неотрицательные целые числа (так как это количество котиков), следовательно, мы получили противоречие.
Таким образом, предположение неверно и 46 семей нам осчастливить не получится.

 

2 способ.
Рассмотрим отдельно черных котиков (всего 50) – 1 группа, и отдельно белых, рыжих и серых котиков (всего 90) – 2 группа.
Заметим, что для того, чтобы осчастливить семью, нужно взять как минимум двух котиков из 2 группы. Следовательно, осчастливить можно \(\leqslant 90:2=45\) семей. А для 45 семей был приведен пример в пункте а), следовательно, ответ: 45.

Ответ:

а) пример

б) нет

в) 45