19. Задачи на теорию чисел
В ряд выписаны числа от \(1\) до \(22\). Можно ли между ними расставить знаки “\(+\)”\(\ \)и “\(-\)”\(\ \)так, чтобы в результате получился \(0\)?
Среди чисел \(1, 2, 3, ..., 22\) всего \(11\) четных и \(11\) нечетных, то есть нечетных чисел нечетное количество, поэтому как бы мы ни поставили знаки в результате всегда получится нечетное число. А так как \(0\) – четное число, то так расставить знаки нельзя.
Ответ:
Нет
В ряд выписаны числа от \(1\) до \(98\). Можно ли между ними расставить знаки “\(+\)”\(\ \)и “\(-\)”\(\ \)так, чтобы в результате получилось \(2\)?
Среди чисел \(1,2,3, ..., 98\) всего \(49\) четных и \(49\) нечетных, то есть нечетных чисел нечетное количество, поэтому как бы мы ни поставили знаки в результате всегда получится нечетное число. А так как \(2\) – четное число, то так расставить знаки нельзя.
Ответ:
Нет
Можно ли разменять \(1000\) рублей купюрами по \(5, 25, 125\) рублей так, чтобы всего оказалось \(101\) купюра? (купюры в \(5, 25, 125\) рублей бывают)
Так как у нас купюры только нечетного номинала, и их должно быть нечетное количество, то мы сможем ими разменять только нечетную сумму рублей, поэтому не сможем разменять \(1000\) рублей.
Ответ:
Нет
Можно ли разменять \(600\) рублей купюрами по \(7, 49, 73\) рубля так, чтобы всего оказалось \(17\) купюр? (купюры в \(7, 49, 73\) рубля бывают)
Так как у нас купюры только нечетного номинала, и их должно быть нечетное количество, то мы сможем ими разменять только нечетную сумму рублей, поэтому не сможем разменять \(600\) рублей.
Ответ:
Нет
Сумму двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли в результате получиться число \(123456789\)?
Предположим, что такое может быть. Пусть \(a\) и \(b\) – целые числа из нашей задачи, тогда \((a+b)\cdot a\cdot b=123456789\). Так как число \(123456789\) – нечетное, то \(a\), \(b\) – нечетные, но тогда число \((a+b)\) – четное, но тогда число \((a+b)\cdot a\cdot b\) – четное, но \(123456789\) – нечетное, следовательно получили противоречие, а значит такого быть не могло.
Ответ:
Нет
Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли в результате получиться число \(10011001\)?
Предположим, что такое может быть. Пусть \(a\) и \(b\) – целые числа из нашей задачи, тогда \((a-b)\cdot a\cdot b=10011001\). Так как число \(10011001\) – нечетное, то \(a\), \(b\) – нечетные, но тогда число \((a-b)\) – четное, но тогда число \((a-b)\cdot a\cdot b\) – четное, но \(10011001\) – нечетное, следовательно получили противоречие, а значит такого быть не могло.
Ответ:
Нет
Можно ли представить \(1\) в виде суммы четырех дробей \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\), где \(a, b, c, d\) – нечетные натуральные числа?
Предположим, что можно. Тогда \[\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}=1,\] приведем в левой части все к общему знаменателю:
\[\dfrac{bcd+acd+abd+bcd}{abcd}=1\qquad\Rightarrow\qquad bcd+acd+abd+bcd=abcd.\] Но так как \(a, b, c, d\) – нечетные натуральные числа, то получаем, что четное число равно нечетному – противоречие, значит так представить \(1\) нельзя.
Ответ:
Нет
