При каких значениях параметра \(a\) уравнение
\[2x^2+a\mathrm{tg}\,(\cos x)+a^2=0\]
имеет единственное решение?
Заметим, что так как \(x^2\) и \(\cos x\) — четные функции, то если уравнение будет иметь корень \(x_0\), оно также будет иметь и корень \(-x_0\).
Действительно, пусть \(x_0\) – корень, то есть равенство \(2x_0^2+a\mathrm{tg}\,(\cos x_0)+a^2=0\) верно. Подставим \(-x_0\): \(2
(-x_0)^2+a\mathrm{tg}\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm{tg}\,(\cos
x_0)+a^2=0\).
Таким образом, если \(x_0\ne 0\), то уравнение уже будет иметь как минимум два корня. Следовательно, \(x_0=0\). Тогда:
\[2\cdot 0+a\mathrm{tg}\,(\cos 0)+a^2=0 \quad \Rightarrow \quad a^2+a\mathrm{tg}\,1=0 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &a=0\\ &a=-\mathrm{tg}\,1 \end{aligned} \end{gathered}\right.\]
Мы получили два значения параметра \(a\). Заметим, что мы использовали то, что \(x=0\) точно является корнем исходного уравнения. Но мы нигде не использовали то, что он единственный. Следовательно, нужно подставить получившиеся значения параметра \(a\) в исходное уравнение и проверить, при каких именно \(a\) корень \(x=0\) действительно будет единственным.
1) Если \(a=0\), то уравнение примет вид \(2x^2=0\). Очевидно, что это уравнение имеет лишь один корень \(x=0\). Следовательно, значение \(a=0\) нам подходит.
2) Если \(a=-\mathrm{tg}\,1\), то уравнение примет вид \[2x^2-\mathrm{tg}\,1\cdot \mathrm{tg}\,(\cos x)+\mathrm{tg}^2\,1=0\] Перепишем уравнение в виде \[2x^2+\mathrm{tg}^2\,1=\mathrm{tg}\,1\cdot \mathrm{tg}\,(\cos x)\qquad (*)\] Так как \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), то \(-\mathrm{tg}\,1\leqslant \mathrm{tg}\,(\cos x)\leqslant
\mathrm{tg}\,1\). Следовательно, значения правой части уравнения (*) принадлежат отрезку \([-\mathrm{tg}^2\,1; \mathrm{tg}^2\,1]\).
Так как \(x^2\geqslant 0\), то левая часть уравнения (*) больше или равна \(0+
\mathrm{tg}^2\,1\).
Таким образом, равенство (*) может выполняться только тогда, когда обе части уравнения равны \(\mathrm{tg}^2\,1\). А это значит, что \[\begin{cases} 2x^2+\mathrm{tg}^2\,1=\mathrm{tg}^2\,1 \\
\mathrm{tg}\,1\cdot \mathrm{tg}\,(\cos x)=\mathrm{tg}^2\,1
\end{cases}
\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x=0\\
\mathrm{tg}\,(\cos x)=\mathrm{tg}\,1
\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Следовательно, значение \(a=-\mathrm{tg}\,1\) нам подходит.
Ответ:
\(a\in \{-\mathrm{tg}\,1;0\}\)