Математика
Русский язык

18. Задачи с параметром

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Четные и нечетные функции

\(\blacktriangleright\) Функция \(f(x)\) называется четной, если при всех \(x\) из ее области определения верно: \(f(-x)=f(x)\).

График четной функции симметричен относительно оси \(y\):



Пример: функция \(f(x)=x^2+\cos x\) является четной, т.к. \(f(-x)=(-x)^2+\cos{(-x)}=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Функция \(f(x)\) называется нечетной, если при всех \(x\) из ее области определения верно: \(f(-x)=-f(x)\).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат:



Пример: функция \(f(x)=x^3+x\) является нечетной, т.к. \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде суммы четной и нечетной функции.

Например, функция \(f(x)=x^2-x\) является суммой четной функции \(f_1=x^2\) и нечетной \(f_2=-x\).

\(\blacktriangleright\) Некоторые свойства:

1) Произведение и частное двух функций одинаковой четности — четная функция.

2) Произведение и частное двух функций разной четности — нечетная функция.

3) Сумма и разность четных функций — четная функция.

4) Сумма и разность нечетных функций — нечетная функция.

5) Если \(f(x)\) — четная функция, то уравнение \(f(x)=c \ (c\in \mathbb{R}\)) имеет единственный корень тогда и только когда, когда \(x=0\).

6) Если \(f(x)\) — четная или нечетная функция, и уравнение \(f(x)=0\) имеет корень \(x=b\), то это уравнение обязательно будет иметь второй корень \(x=-b\).

\(\blacktriangleright\) Функция \(f(x)\) называется периодической на \(X\), если для некоторого числа \(T\ne 0\) выполнено \(f(x)=f(x+T)\), где \(x, x+T\in X\). Наименьшее \(T\), для которого выполнено данное равенство, называется главным (основным) периодом функции.

У периодической функции любое число вида \(nT\), где \(n\in \mathbb{Z}\) также будет являться периодом.

Пример: любая тригонометрическая функция является периодической;
у функций \(f(x)=\sin x\) и \(f(x)=\cos x\) главный период равен \(2\pi\), у функций \(f(x)=\mathrm{tg}\,x\) и \(f(x)=\mathrm{ctg}\,x\) главный период равен \(\pi\).



Для того, чтобы построить график периодической функции, можно построить ее график на любом отрезке длиной \(T\) (главный период); тогда график всей функции достраивается сдвигом построенной части на целое число периодов вправо и влево:



\(\blacktriangleright\) Область определения \(D(f)\) функции \(f(x)\) — это множество, состоящее из всех значений аргумента \(x\), при которых функция имеет смысл (определена).

Пример: у функции \(f(x)=\sqrt x+1\) область определения: \(x\in [0;+\infty)\).

\(\blacktriangleright\) Область значений \(E(f)\) функции \(f(x)\) — это множество, состоящее из всех значений функции \(f(a)\), где \(a\in D(f)\).

Пример: у функции \(f(x)=\sqrt x +1\) область значений: \(f(x)\in [1;+\infty)\).

\(\blacktriangleright\) Уравнение \(f(x)=a\) имеет решение тогда и только тогда, когда \(a\) принадлежит области значений функции \(f(x)\), т.е. \(a\in E(f)\).

\(\blacktriangleright\) Если область значений функции \(f(x)\) не превышает некоторого числа \(A\), т.е. \(f(x)\leq A\) при всех \(x\in D(f)\), а функция \(g(x)\geq A\) при всех \(x\in D(g)\), то уравнение \[{\large{f(x)=g(x)}} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=A\\g(x)=A\end{cases}\]

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

При каких значениях параметра \(a\) уравнение

\[2x^2+a\mathrm{tg}\,\cos x+a^2=0\]

имеем единственное решение?

Добавить задание в избранное

Заметим, что т.к. \(x^2\) и \(\cos x\) — четные функции, то если уравнение будет иметь корень \(x_0\), оно также будет иметь и корень \(-x_0\).
Действительно, пусть \(x_0\) – корень, то есть равенство \(2x_0^2+a\mathrm{tg}\,\cos x_0+a^2=0\) верно. Подставим \(-x_0\): \(2 (-x_0)^2+a\mathrm{tg}\,\cos(-x_0)+a^2=2x_0^2+a\mathrm{tg}\,\cos x_0+a^2=0\).

 

Значит, для того, чтобы уравнение имело единственное решение, необходимо, чтобы \(x_0=0\). Тогда:

 

\[2\cdot 0+a\mathrm{tg}\,\cos 0+a^2=0 \quad \Rightarrow \quad a^2-a\mathrm{tg}\,1=0 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &a=0\\ &a=\mathrm{tg}\,1 \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

Ответ:

\(a\in \{0;\mathrm{tg}\,1\}\)

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых график функции \[f(x)=3\mathrm{tg}\,\dfrac{ax}5 +2\sin \dfrac{8\pi a-3x}4\]

симметричен относительно начала координат.

Добавить задание в избранное

Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является четной, то есть выполнено \(f(-x)=-f(x)\) для любого \(x\) из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено \(f(-x)=-f(x).\)

 

\[\begin{aligned} &3\mathrm{tg}\,\left(-\dfrac{ax}5\right)+2\sin \dfrac{8\pi a+3x}4= -\left(3\mathrm{tg}\,\left(\dfrac{ax}5\right)+2\sin \dfrac{8\pi a-3x}4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm{tg}\,\dfrac{ax}5+2\sin \dfrac{8\pi a+3x}4= -\left(3\mathrm{tg}\,\left(\dfrac{ax}5\right)+2\sin \dfrac{8\pi a-3x}4\right) \quad \Rightarrow\\[3ex] \Rightarrow\quad &\sin \dfrac{8\pi a+3x}4+\sin \dfrac{8\pi a-3x}4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac{8\pi a+3x}4+\dfrac{8\pi a-3x}4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac{8\pi a+3x}4-\dfrac{8\pi a-3x}4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \frac34 x=0 \end{aligned}\]

Последнее уравнение должно быть выполнено для всех \(x\) из области определения \(f(x)\), следовательно, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb{Z}\).

Ответ:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb{Z}\)

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[f(x)=|a+2|\sqrt[3]x\] имеет 4 решения, где \(f\) – четная периодическая с периодом \(T=\dfrac{16}3\) функция, определенная на всей числовой прямой, причем \(f(x)=ax^2\) при \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Так как \(f(x)\) – четная функция, то ее график симметричен относительно оси ординат, следовательно, при \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^2\). Таким образом, при \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), а это отрезок длиной \(\dfrac{16}3\), функция \(f(x)=ax^2\).

 

1) Пусть \(a>0\). Тогда график функции \(f(x)\) будет выглядеть следующим образом:

Тогда для того, чтобы уравнение имело 4 решения, нужно, чтобы график \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrt[3]x\) проходил через точку \(A\):

Следовательно, \[\dfrac{64}9a=|a+2|\cdot \sqrt[3]8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &9(a+2)=32a\\ &9(a+2)=-32a \end{aligned} \end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &a=\dfrac{18}{23}\\[2ex] &a=-\dfrac{18}{41} \end{aligned} \end{gathered}\right.\] Так как \(a>0\), то подходит \(a=\dfrac{18}{23}\).

 

2) Пусть \(a<0\). Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:

Нужно, чтобы график \(g(x)\) прошел через точку \(B\): \[\dfrac{64}9a=|a+2|\cdot \sqrt[3]{-8} \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &a=\dfrac{18}{23}\\[2ex] &a=-\dfrac{18}{41} \end{aligned} \end{gathered}\right.\] Так как \(a<0\), то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\).

 

3) Случай, когда \(a=0\), не подходит, так как тогда \(f(x)=0\) при всех \(x\), \(g(x)=2\sqrt[3]x\) и уравнение будет иметь только 1 корень.

Ответ:

\(a\in \left\{-\dfrac{18}{41};\dfrac{18}{23}\right\}\)

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[a^2-7a+7\sqrt{2x^2+49}=3|x-7a|-6|x|\]

имеет хотя бы один корень.

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Перепишем уравнение в виде \[7\sqrt{2x^2+49}=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\] и рассмотрим две функции: \(g(x)=7\sqrt{2x^2+49}\) и \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\).
Функция \(g(x)\) является четной, имеет точку минимума \(x=0\) (причем \(g(0)=49\)).
Функция \(f(x)\) при \(x>0\) является убывающей, а при \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Действительно, при \(x>0\) второй модуль раскроется положительно (\(|x|=x\)), следовательно, вне зависимости от того, как раскроется первый модуль, \(f(x)\) будет равно \(kx+A\), где \(A\) – выражение от \(a\), а \(k\) равно либо \(-9\), либо \(-3\). При \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\), где \(k\) равно либо \(3\), либо \(9\).
Найдем значение \(f\) в точке максимума: \[f(0)=-a^2+7a+21|a|\]


Для того, чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, нужно, чтобы графики функций \(f\) и \(g\) имели хотя бы одну точку пересечения. Следовательно, нужно: \[f(0)\geqslant g(0) \quad\Rightarrow\quad -a^2+7a+21|a|\geqslant 49 \quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} a>0\\ a^2-28a+49\leqslant 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} a<0\\ a^2+14a+49\leqslant 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} a=0\\ 0\geqslant 49\end{cases} \end{aligned} \end{gathered}\right.\] Решая данную совокупность систем, получим ответ: \[a\in \{-7\}\cup [14-7\sqrt3;14+7\sqrt3]\]

Ответ:

\(a\in \{-7\}\cup[14-7\sqrt3;14+7\sqrt3]\)

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение

\[25x^5+25(a-1)x^3-4(a-7)x=0\]

имеет ровно пять различных решений, а сами решения, упорядоченные по возрастанию, образуют арифметическую прогрессию.

Добавить задание в избранное

Заметим, что данное уравнение при любых значениях \(a\) всегда имеет как минимум один корень \(x=0\). Значит, для выполнения условия задачи нужно, чтобы уравнение \[25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)=0 \qquad (*)\]

имело четыре различных корня, отличных от нуля, представляющих вместе с \(x=0\) арифметическую прогрессию.

 

Заметим, что функция \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) является четной, значит, если \(x_0\) является корнем уравнения \((*)\), то и \(-x_0\) будет являться его корнем. Тогда необходимо, чтобы корнями этого уравнения были упорядоченные по возрастанию числа: \(-2d, -d, d, 2d\) (тогда \(d>0\)). Именно тогда данные пять чисел будут образовывать арифметическую прогрессию (с разностью \(d\)).

 

Чтобы этими корнями являлись числа \(-2d, -d, d, 2d\), нужно, чтобы числа \(d^{\,2}, 4d^{\,2}\) являлись корнями уравнения \(25t^2+25(a-1)t-4(a-7)=0\). Тогда по теореме Виета:

\[\begin{cases} -\dfrac{4(a-7)}{25}=d^{\,2}\cdot 4d^{\,2}\\[4pt] -\dfrac{25(a-1)}{25}=d^{\,2}+4d^{\,2} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} d^{\,4}=\dfrac{7-a}{25}\\ \dfrac{7-a}{25}=\left(\dfrac{1-a}{5}\right)^2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &a=-2\\&a=3 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Причем при \(a=-2\) \(d=\pm \sqrt{\frac35}\), а при \(a=3\) \(d\in \varnothing\). Значит, подходит значение \(a=-2\) и \(d=\sqrt{\frac35}\) (т.к. должно быть \(d>0\)).

Ответ:

\(a\in \{-2\}\)

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[a^2+13|x|+2^{x^2+2}=20a+2|5x+12a|\]

имеет хотя бы один корень.

Добавить задание в избранное

Перепишем уравнение в виде \[13|x|-2|5x+12a|=20a-a^2-2^{x^2+2}\] и рассмотрим две функции: \(g(x)=20a-a^2-2^{x^2+2}\) и \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\).
Функция \(g(x)\) имеет точку максимума \(x=0\) (причем \(g_{\text{верш}}=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g'(x)=-2^{x^2+2}\cdot \ln 2\cdot 2x\). Ноль производной: \(x=0\). При \(x<0\) имеем: \(g'>0\), при \(x>0\): \(g'<0\).
Функция \(f(x)\) при \(x>0\) является возрастающей, а при \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Действительно, при \(x>0\) первый модуль раскроется положительно (\(|x|=x\)), следовательно, вне зависимости от того, как раскроется второй модуль, \(f(x)\) будет равно \(kx+A\), где \(A\) – выражение от \(a\), а \(k\) равно либо \(13-10=3\), либо \(13+10=23\). При \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\), где \(k\) равно либо \(-3\), либо \(-23\).
Найдем значение \(f\) в точке минимума: \[f_{\text{верш}}=f(0)=-24|a|\]


Для того, чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, нужно, чтобы графики функций \(f\) и \(g\) имели хотя бы одну точку пересечения. Следовательно, нужно: \[f(0)\leqslant g(0) \quad\Rightarrow\quad a^2-20a+4\leqslant 24|a| \quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} a\geqslant 0\\ a^2-44a+4\leqslant 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} a<0\\ a^2+4a+4\leqslant 0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered}\right.\] Решая данную совокупность систем, получим ответ: \[a\in \{-2\}\cup[22-4\sqrt{30};22+4\sqrt{30}]\]

Ответ:

\(a\in \{-2\}\cup[22-4\sqrt{30};22+4\sqrt{30}]\)

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

При каких значениях параметра \(a\) уравнение

\[\cos x+\dfrac32 \cos \dfrac{2x}3+3\cos \dfrac x3=a\]

имеет решения.

Добавить задание в избранное

1) Рассмотрим функцию \(f(x)=\cos x+\frac32 \cos \frac{2x}3+3\cos \frac x3\).
Главный период у \(\cos x\) – это \(2\pi\),   у \(\cos \frac{2x}3\) — это \(\dfrac{2\pi}{\frac23}=3\pi\),   у \(\cos\frac x3\) – это \(\dfrac{2\pi}{\frac13}=6\pi\).   Тогда главный период всей функции \(f(x)\) – это НОК этих периодов, то есть \(6\pi\).

 

2) Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы на любом отрезке длиной \(6\pi\) выполнялось: \(\mathrm{min}\,f(x)\leqslant a\leqslant \mathrm{max}\,f(x)\). Возьмем, например, отрезок \([0;6\pi]\).

 

3) Найдем критические точки функции и построим ее схематичный график для того, чтобы понять, чему равно \(\mathrm{min}\,f(x)\) и \(\mathrm{max}\,f(x)\).

 

\(f'(x)=\sin x+\sin \dfrac{2x}3+\sin \dfrac x3=0\quad \Rightarrow \quad \left(\sin x+\sin \dfrac{x}3\right)+\sin \dfrac{2x}3=0 \quad \Rightarrow\)

 

\(\Rightarrow \quad 2\sin \dfrac{2x}3\cos \dfrac x3+\sin \dfrac{2x}3=0 \quad \Rightarrow \quad \sin \dfrac{2x}3\left(2\cos \dfrac x3+1\right)=0\quad \Rightarrow \)

 

\(\Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\dfrac{2x}3=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[3pt] & \dfrac x3=\pm \dfrac{2\pi}3+2\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\dfrac32\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[3pt] &x=\pm 2\pi+6\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right.\)  

Промежутку \([0;6\pi]\) принадлежат точки \(0;\ \frac{3\pi}2;\ 2\pi;\ 3\pi;\ 4\pi; \ \frac{9\pi}2;\ 6\pi\). Значит, знаки производной такие:


 

Значит, минимальное значение на \([0;6\pi]\) функция принимает в одной из точек \(\frac{3\pi}2;\ 3\pi;\ \frac{9\pi}2\), а максимальное — в одной из \(0;\ 2\pi;\ 4\pi; \ 6\pi\).

 

\(\begin{aligned} &f(0)=f(6\pi)=\dfrac{11}2\\[4pt] &f\left(\dfrac{3\pi}2\right)=f\left(\dfrac{9\pi}2\right)=-\dfrac32\\[4pt] &f(2\pi)=f(4\pi)=-\dfrac54\\[4pt] &f(3\pi)=-\dfrac52 \end{aligned}\)

 

Тогда на \([0;6\pi]\) схематично функция выглядит так:


 

То есть \(\mathrm{min}\,f(x)=-\dfrac52, \ \mathrm{max}\,f(x)=\dfrac{11}2\). Значит, \(a\in\left[-\dfrac52;\dfrac{11}2\right]\).

Ответ:

\(a\in \left[-\dfrac52;\dfrac{11}2\right]\)