Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Использование различных формул площадей многоугольников

\(\blacktriangleright\) Треугольник:


 

\(\blacktriangleright\) Произвольный выпуклый четырехугольник:


 

\(\blacktriangleright\) Параллелограмм:


 

\(\blacktriangleright\) Ромб:


 

\(\blacktriangleright\) Прямоугольник:


 

\(\blacktriangleright\) Квадрат:


 

\(\blacktriangleright\) Трапеция:

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(AD\) – высота, \(\cos{\angle DAC} = 0,7\), \(AC = 6\), \(BC = 9\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).

Добавить задание в избранное




 

Так как \(AD\) перпендикулярна \(DC\), то \(\sin{\angle C} = \cos{\angle DAC} = 0,7\).

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними,
тогда площадь треугольника \(ABC\) равна \(0,5\cdot 6 \cdot 9 \cdot 0,7 = 18,9\).

Ответ: 18,9

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Периметр треугольника \(ABC\) равен \(250\), одна из его сторон равна \(120\), ещё одна сторона равна \(17\). Найдите его площадь.

Добавить задание в избранное




 

Третья сторона треугольника равна \(250 - 120 - 17 = 113\).
По формуле Герона \(S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)}\), где \(p\) – полупериметр треугольника \(ABC\).

Для данного треугольника

 

\(S_{\triangle ABC} = \sqrt{125\cdot (125 - 120)\cdot (125 - 17)\cdot (125 - 113)} = \sqrt{125\cdot 5 \cdot 12 \cdot 108} =\)

 

\(= 25\sqrt{12\cdot 108} = 100\sqrt{3\cdot 27} = 900.\)

Ответ: 900

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите высоту треугольника, проведенную к стороне длиной \(8\), если высота, проведенная к стороне длиной \(6\), равна \(4\).

Добавить задание в избранное

Т.к. площадь треугольника равна полупроизведению высоты и стороны, к которой эта высота проведена, то с одной стороны площадь равна \[S=\dfrac12\cdot 6\cdot 4,\]

а с другой \[S=\dfrac12\cdot 8\cdot h,\]

где \(h\) – высота, которую нужно найти. Таким образом, получаем следующее равенство:

\[\dfrac12\cdot 6\cdot 4=\dfrac12\cdot 8\cdot h \quad \Leftrightarrow \quad h=3.\]

Ответ: 3

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(AC = 4\), \(AB = 6\), \(\cos{\angle BAC} = \dfrac{\sqrt{15}}{4}\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).

Добавить задание в избранное




 

Из основного тригонометрического тождества:
\(\sin^2\angle BAC = 1 - \dfrac{15}{16}\), тогда \(\sin\angle BAC = \pm 0,25\). Так как \(\angle BAC \in (0^{\circ}; 180^{\circ})\), то \(\sin\angle BAC = 0,25\).

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними,
тогда площадь треугольника \(ABC\) равна \(0,5\cdot 4 \cdot 6 \cdot 0,25 = 3\).

Ответ: 3

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна \(\sqrt[4]3\), а один из углов равен \(30^\circ\). Найдите площадь этого треугольника.

Добавить задание в избранное


 

Т.к. катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, то \(AC=0,5\cdot AB=0,5\cdot \sqrt[4]3\).

 

Т.к. \(\angle A=90^\circ -\angle B=60^\circ\), то площадь равна \[S=\dfrac12\cdot AC\cdot AB\cdot \sin 60^\circ=\dfrac12\cdot 0,5\cdot \sqrt[4]3\cdot \sqrt[4]3\cdot \dfrac{\sqrt3}2=\dfrac38=0,375.\]

Ответ: 0,375

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В ромбе \(ABCD\): \(O\) – точка пересечения диагоналей, \(BD = 8\), \(\mathrm{tg}\, \angle BDC = 3\). Найдите площадь ромба \(ABCD\).

Добавить задание в избранное




 

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам, тогда \(OD = 4\), \(\dfrac{CO}{OD} = \mathrm{tg}\, \angle BDC = 3\), откуда \(CO = 12\), следовательно, \(AC = 24\).

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, тогда \[S_{ABCD} = 0,5\cdot 8\cdot 24 = 96.\]

Ответ: 96

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен \(150^\circ\). Найдите боковую сторону этого треугольника, если его площадь равна \(100\).

Добавить задание в избранное

Пусть \(a\) – боковая сторона треугольника.
Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно, \[\dfrac12\cdot a^2\cdot \sin30^\circ=S=100\quad\Rightarrow\quad a^2=400\quad\Rightarrow\quad a=20\]

Ответ: 20

Подготовка выпускников к сдаче аттестационного испытания по математике, как правило, начинается с повторения базовых определений и формул, в том числе и тех, которые позволяют произвести вычисление площадей плоских фигур в ЕГЭ. Данный раздел геометрии изучается в средней школе. Неудивительно, что с необходимостью повторения основных формул для правильного нахождения площади любого многоугольника сталкиваются многие выпускники. Умея выполнять расчеты с их применением, учащиеся смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи аттестационного испытания.

Готовьтесь вместе с образовательным порталом «Школково»

Занимаясь перед сдачей экзамена, многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска определений и формул, которые позволяют выполнить вычисление площади правильного многоугольника в ЕГЭ. Школьный учебник далеко не всегда оказывается под рукой в нужный момент.

Вместе с образовательным порталом «Школково» подготовка к экзамену будет легкой и эффективной. Здесь представлен весь необходимый материал, подобранный и изложенный нашими специалистами в максимально понятной форме. Какая именно формула для нахождения площади многоугольника потребуется при работе с треугольником, четырехугольником, параллелограммом, ромбом, прямоугольником, квадратом, трапецией? Всю эту информацию вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Ознакомившись с ней, выпускники смогут восполнить пробелы в знаниях.

Чтобы научиться быстро находить правильный ответ, необходимо также попрактиковаться в решении задач на нахождение площади фигур. Большая подборка упражнений представлена в разделе «Каталог». Для каждой задачи на нахождение площади фигур, например, вычисление площади параллелограмма, наши специалисты прописали подробный ход решения и указали правильный ответ. Перечень упражнений на сайте постоянно дополняется и обновляется.

Любое задание, например, на подобие площадей подобных треугольников, выпускники могут сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем быстро найти интересующее упражнение, например, с целью обсуждения хода его решения с преподавателем.